Mannigfaltigkeiten sind topologische Räume, die lokal aussehen wie der R^n. Die Zahl n heißt in diesem Fall dann die Dimension der Mannigfaltigkeit. Typische Beispiele sind etwa die Einheitssphäre in R^n oder der Torus und insbesondere auch der Raum R^n selbst. Mannigfaltigkeiten heißen glatt, wenn wir sie uns "ohne Ecken" ın einem euklidischen Raum veranschaulichen können. Zwei kompakte glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeiten M_1 und M_2 heißen nun bordant, falls eine kompakte glatte n+1-dimensionale Mannigfaltigkeit W mit Rand existiert, deren Rand die disjunkte Vereinigung von M_1 und M_2 ist. Dies liefert eine Äquivalenzrelation für glatte, geschlossene Mannigfaltigkeiten, und viele Invarianten von solchen Mannigfaltigkeiten hängen nur von der zugehörigen Bordismusklasse ab. Die Menge der Äquivalenzrelationen besitzt zudem, zunächst völlig unerwartet, eine erstaunlich reiche algebraische Struktur: sie ist ein Polynomring! René Thom, der dies als erster erkannte und bewies, erhielt dafür 1958 die Fieldsmedaille. Des Weiteren führt die Bordismusrelation aber auch zur Definition einer ganzen Reihe von sogenannten verallgemeinerten Kohomologietheorien, die in vielen Aspekten der algebraischen Topologie und angrenzenden Gebieten Anwendung finden und auch heute noch Gegenstand einer Vielzahl von aktuellen Forschungsarbeiten sind.