Wir untersuchen eine neue Technik für die Zeitschrittadaption bei hyperbolischen Erhaltungssätzen. Der Kern der Methode ist eine räumlich-zeitliche Aufspaltung der adjungierten Fehlerdarstellung für Zielfunktionale ähnlich wie bei Süli und Hartmann. Diese stellt eine effiziente Wahl der Zeitschrittweiten für implizite Berechnung von schwach instationären Strömungen zur Verfügung. Der Zeitschritt ist in Bereichen stationärer Lösung sehr groß, und wird klein, wenn eine Störung ins Strömungsfeld einläuft. Neben der Anwendung der bekannten adjungierten Techniken führen wir einen neuen Ansatz ein, der die Berechnung des dualen Problems vereinfacht. Aufgrund der Galerkin-Orthogonalität, taucht die duale Lösung selbst nicht in der Fehlerdarstellung auf. Stattdessen ist der relevante Ausdruck die Differenz zwischen dualer Lösung und deren Projektion in den Finite-Elemente-Raum. Wir können zeigen, dass es reicht den räumlichen Gradient der dualen Lösung zu berechnen. Dieser Gradient erfüllt einen Erhaltungssatz, anstelle einer Transportgleichung und kann deshalb mit dem gleichen Algorithmus wie das Vorwärtsproblem und im gleichen Finite Element Raum berechnet werden. Das Potential dieses Ansatzes zeigen wir zunächst anhand eines schwach instationären skalaren eindimensionalen Testproblems. Dann dehnen wir die Berechnung auf die zweidimensionalen Euler Gleichungen aus. Dabei koppeln wir die zeitadaptive Methode mit einer räumlichen Adaption. Für die räumliche Adaption verwenden wir eine Multiskalen-basierte Strategie, die von Müller entwickelt wurde. Diese kombinieren wir mit der zeitlichen Adaption. Die kombinierte räumlich-zeitliche Adaption liefert eine effiziente Wahl der Zeitschritte für implizite Diskretisierungen von schwach instationären Strömungen. Die Zeitschritte sind in den Bereichen stationärer Lösung sehr groß und werden klein, wenn eine Störung in das Rechengebiet einläuft. Die Leistungsfähigkeit des Lösers wird für eine reibungsfreie Strömung über eine Bodenwelle untersucht.