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Finished Bachelor Theses
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In this bachelor thesis the Douglas-Rachford Algorithm for optimal transport will be introduced and analysed. The idea of optimal transport and its relevant definitions will be given as well as the necessary analytical tools to apply the Douglas-Rachfrod Algorithm tothe proposed optimal transport problem. The optimal transport problem, which is going to be the basis of our approach will be discretized and than transferred into the appropriate form demanded by the algorithm. Because the Douglas-Rachford Algorithm is a proximal splitting method, the proximal operator, a very important and crucial tool for proximal splitting methods is going to play a significant role in this work. Furthermore four constructed variations of the Douglas-Rachford Algorithm are given and evaluated by taking appropriate reference solutions f* and m* and looking at the L1 norm regarding the error |f - f* | and |m - m* |. This can be achieved because the Douglas-Rachford Algorithm is implemented in Matlab for our discretized optimal transport problem. Comparing the four variations of the Douglas-Rachford Algorithm, analysing the amount of iterations one has to compute for a satisfying result and the accuracy of the approximations, is done at last to evaluate the approach and algorithms at hand.
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Die vorliegende Arbeit behandelt Regression auf Mannigfaltigkeiten mittels optimaler Steuerung. Dabei wird von einem linearen Regressionsmodell im euklidischen Raum ausgegangen, welches auf eine Riemannsche Mannigfaltigkeit übertragen wird. Es wird der Frage nachgegangen, wie eine mögliche Verallgemeinerung der linearen Regression auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit aussehen kann. Ziel ist es, mittels eines Gradientenabstiegs das Optimum des Regressionsmodells zu ermitteln.
Im Verlauf der Arbeit wird zuerst ein Optimierungsproblem der optimalen Steuerung aufgestellt. Durch eine Parametrisierung der Mannigfaltigkeit wird es in den euklidischen Raum zurückgeführt, um Rechnungen wie gewohnt im euklidischen Raum aufstellen zu können. Dann werden, auf dem Optimierungsproblem aufbauend, Optimalitätsbedingungen erarbeitet. Schließlich wird mittels Gradientenabstieg das Minimum des Optimierungsproblems erreicht. Abschließend wird der Gradientenabstieg des Regressionsmodells auf einer zweidimensionalen Sphäre mit der Software MATLAB realisiert.
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Finished Master Theses
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Identifying and modelling the ground surface observed by a camera e.g. mounted in a car or robot plays an important role for many applications, like automated driving or robot navigation. As an example, knowing the ground surface can be exploited to detect obstacles (pedestrians, guardrails, other cars) in order to avoid accidents. In this thesis we first present basic concepts necessary for understanding ground surface estimation, including (1) geometric relationships between the three dimensional world and two dimensional image, (2) relating two images that are showing approximately the same scene, (3) presenting flexible mathematical models for data fitting and (4) robust parameter estimation. Afterwards an algorithm is developed that initially represents the surface in the camera's vicinity as a very simple model - a plane. This plane is fitted based on image point correspondences employing the concept of homographies. In a region growing process, more and more ground surface points are identified. Eventually a spline is estimated to describe the whole ground surface. As a last point, we evaluate our algorithm on the KITTI dataset in terms of classification performance and ability to model 3D data.
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In dieser Arbeit entwickeln wir einen Algorithmus, der junction-associated intermittend lammelipodia (JAIL) in Mikroskopie-Videos von Endothelzellen automatisch detektiert. Dazu werden wir neben dem biologischen Hintergrund der JAIL zunächst diverse grundlegende Verfahren aus der Bildverarbeitung kennen lernen. Im weiteren Verlauf der Arbeit geht es um die explizite Verarbeitung eines JAIL-Videos. Dies schließt sowohl die Vorverarbeitung durch Entrauschung und Segmentierung der Daten als auch die Anwendung einiger selbst entwickelter Methoden zur Detektion von JAIL mit ein.
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In dieser Arbeit übertragen wir eine Methode aus [2] zur konvexen Krümmungsregularisierung von Niveaulinien in zweidimensionalen Bildern auf einen dreidimensionalen Fall, in dem das Bild dünne, linienartige Strukturen enthält. Indem wir die Ecken dieser Strukturen in geeigneter Weise bestrafen erhalten wir Informationen über deren Krümmung. Mit Hilfe einer konvexen Relaxierung eines Funktionals zur Minimierung der Krümmung erhalten wir dann ein konvexes Optimierungsproblem. Zur Lösung eines Entrauschungsproblems, das auf dieser Krümmungsminimierung basiert, geben wir zum Abschluss eine geeignete Diskretisierung an und lösen das dabei entstehende Sattelpunktproblem numerisch.
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The aim of this master thesis is to solve the discrete version of Plateauâs problem in Riemannian manifolds. For Riemannian manifolds with additional conditions with regard to the curvature and injectivity radius differential geometry provides the existence of (classical) minimal surfaces. Geometric measure theory can be used to show the existence for Riemannian manifolds with fewer constraints. Pinkall and Polthier developed an algorithm to compute discrete minimal surfaces in an Euclidean space. This setting and algorithm were used and adapted to work in Riemannian manifolds. In the setting of shape spaces distance approximations were used, which are only valid for points close to each other. This is why a refinement step was added to the algorithm, to show that a finer triangulation achieves no better optimum of the minimized Dirichlet energy. Pinkall and Polthier showed that their algorithm works in the three-dimensional Euclidean space. This theorem also valid for the finite-dimensional Euclidean space. The convergence of the algorithm for Riemannian manifolds is not yet shown. However, the algorithm was applied to a distorted Euclidean space and the shape spaces of open and closed viscous rods and several experiments show that the algorithm converges but depends on a good selection of initial points and the initial triangulation.
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Höhenlinien, oder auch Level-Set Funktionen genannt, bieten nicht nur Geographen wichtige Informationen. Level-Set Funktionen finden auch in der Bildverarbeitung Anwendung. Ziel dieser Arbeit ist es, Level-Set Funktionen mit der Formoptimierung zu kombinieren und diese mithilfe von nicht-linearen Verfahren zu diskretisieren.
Dazu schaffen wir im ersten Teil der Arbeit die notwendigen analytischen Grundlagen der Formoptimierung, der Shape Sensitivity Analysis, und stellen das Chan-Vese Energiefunktional sowie die genutzen Algorithmen vor, mit welchen wir Bilder segmentieren wollen. Im zweiten Teil implementieren wir das Gradientenabstiegsverfahren, das nicht-lineare cg-Verfahren und das Quasi-Newton Verfahren für Formfunktionen mit Level-Set Funktionen und vergleichen diese mit der klassischen Heaviside-Implementierung.
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In optimal control theory there are often problems where the control takes on only values from a discrete set of given points. These problems are called multi-bang control problems. They are challenging since the penalty functional that achieves that the control takes on only values from the discrete set is neither convex nor lower semi-continuous. Replacing this penalty functional by its convex regularization yields that we can derive a primal-dual optimality system. It can be shown that the primal-dual optimality system has a unique solution and under certain condition coincides with the solution of the original problem. The Moreau-Yosida approximation can be applied to the optimality system. The regularized system is amenable to a solution with a semismooth Newton method.
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In this thesis we propose a new discretization scheme for an existing convex curvature regularization framework for image processing. The essential idea is to apply regularity on the level lines of images, which is accomplished using functional lifting of the image gradient into a Radon measure in three-dimensional space ΩxS1 , where Ω is the image domain, and the normals to the level lines are represented in S1 . Utilizing the special structure of this higher-dimensional measure we propose a new discretization based on linear combinations of short line measures, and present two efficient methods for numerically solving the resulting linear optimization problems.
Through various examples including deconvolution, binary segmentation, inpainting and a specialized noise removal we show the diversity of the framework and the effectiveness of the new discretization.
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