% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  2.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Charakteristiken, obere/untere Schranken, Existenz schwacher L\"osungen)% Fixpunktsatz von Banach)
\end{center}
\vspace*{-0.35cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Berechnen Sie die klassische L\"osung von 	
\begin{eqnarray*}
S_t - c\,|\nabla S| &=& 0 \quad \mbox{ in }\;\; \R^n\times(0,\infty), \\
S(\mbox{{\bf x}},0) &=& S_0(|\mbox{{\bf x}}|), 
\end{eqnarray*}
wobei $c>0$ konstant ist, und $S_0\in C^1([0,\infty)),$ mit $S_0'\leq 0$ und $S_0'(0)=0.$ \\
Dar\"uber hinaus sollte f\"ur ein festes $r_0>0$ gelten: $S_0|_{[0,r_0)}>0$ und $S_0|_{(r_0,\infty)} < 0.$  
Zeigen Sie, dass sich die Wellenfront $S(\mbox{{\bf x}},t)=0$ unabh\"angig von der ``Form'' der Anfangsbedingung $S_0$ ausbreitet.


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei $\Omega\in\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, und $f\in C(\overline{\Omega}).$ 
Finden Sie konstante untere und obere (a-priori) Schranken f\"ur eine klassische L\"osung von 
\begin{eqnarray*}
%Lu & = & \Delta u - F(u) \;\:=\;\: f(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
\Delta u - F(u) &=& f(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0 \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
wobei $F:\R\rightarrow\R$ eine bijektive monoton wachsende Funktion ist, mit $F\in C^1(\R).$%($F'(u)>0,$ $\forall\, u\in\R$) sei. 


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Gegeben sei das nichtlineare Randwertproblem
\begin{eqnarray*}
-\Delta u + b(\nabla u)  &=& f(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0 \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
wobei $\Omega\in\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand ist. Zeigen Sie mit Hilfe des Banach'schen Fixpunktsatzes, dass eine eindeutig bestimmte schwache L\"osung $u\in H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)$ existiert, vorausgesetzt: $b:\R^n\rightarrow\R$ sei eine Lipschitz-stetige Abbildung mit einer hinreichend kleinen Lipschitz-Konstante. 

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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei $\Omega\in\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand. 
Seien $\overline{u},$ $\underline{u}$ obere und untere L\"osungen der nichtlinearen {\it Poisson}--Gleichung 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u  &=& f(u) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0 \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
wobei $f\in C^1(\R)$ ist, mit $|f'|\leq C.$ Zeigen Sie mit Hilfe des Maximumprinzipes, dass man f\"ur ein geeignetes $\lambda>0$ eine Folge $(u_k)$ von schwachen L\"osungen zum 
linearen Randwertproblem
\begin{eqnarray*}
- \Delta u_{k+1} +\lambda u_{k+1}  &=& f(u_k) + \lambda u_{k} \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u_{k+1} & = & 0 \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
definieren kann, mit 
$$
	\underline{u} \;=\; u_0 \;\leq\; u_1 \;\leq\; \cdots \;\leq\; u_k \;\leq\; \cdots \;\leq\; \overline{u}.
$$
{\small Bemerkung. Es stellt sich heraus, dass der Limes $u:=\lim_{k\rightarrow\infty}u_k$ im $L^2(\Omega)$-Sinn schwache L\"osung der nichtlinearen {\it Poisson}--Gleichung ist. }


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\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 06.05. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des jeweiligen \"Ubungsleiters.

\end{document}










