% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  7.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Variationsprobleme mit einseitigen Nebenbedingungen, Variationsungleichungen)
\end{center}
\vspace*{-0.25cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


%------------------------------------------------------------------

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\bigskip
%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (7.5 Punkte)
\bigskip

Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand und $f\in L^2(\Omega).$ 
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})\hspace{0.2cm}}
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass ein eindeutiger Minimierer $u\in U$ von 
$$
	E(w)\;\,=\;\,\int_\Omega \frac{1}{2}\,|\nabla{w}|^2 - fw\,dx  
$$
existiert, wobei 
$$
	U \,\;:=\,\;\left\{\: w\in H^1_0(\Omega) \,\mid\; |\nabla w| \,\leq\,1 \;\;\mbox{ f. \"u. in } \Omega \:\right\}\!.
$$
\item Beweisen Sie die Ungleichung 
$$
	\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla( w - u)\,dx \;\,\geq\;\, \int_\Omega f(w-u)\,dx, \quad\; \forall \;w\in U.
$$
\end{enumerate}



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\bigskip
\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

%Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand und $f\in L^2(\Omega).$ \\
%Man definiere f\"ur $\varepsilon>0$:
%$$
%	\beta_\varepsilon(z) \,\;:=\,\;\left\{ 
%	\begin{array}{l@{\quad}l}
%	0, & z\geq 0 \\
%	\frac{z}{\varepsilon}, & z\leq 0, \\
%	\end{array}
%	\right.
%$$
%und nehme an, dass $u_\varepsilon\in H_0^1(\Omega)$ die schwache L\"osung von 
%\begin{eqnarray}
%\label{eq:1}
%-\Delta u_\varepsilon +\beta_\varepsilon(u_\varepsilon) &=& f(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
%u_\varepsilon & = & 0 \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega\nonumber
%\end{eqnarray}
%sei. 
%Zeigen Sie: 
%$$
%	 u_\varepsilon \;\rightharpoonup\; u \quad   \mbox{ in } \; H_0^1(\Omega), \quad \mbox{ f"ur } \;\varepsilon \rightarrow 0, 
%$$
%wobei $u$ die eindeutige L\"osung der Variationsungleichung 
%$$ 
%	\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla( v - u)\,dx \;\,\geq\;\, \int_\Omega f(v-u)\,dx, 
%$$
%f\"ur alle $v\in H_0^1(\Omega)$ mit $v\geq0\,$ f. \"u. in  $\Omega$ ist. \\
%{\small Bemerkung. Das Approximieren der Variationsungleichung mittels des RWP (\ref{eq:1}) nennt man {\it Penalty--}Methode. }

Seien $\Omega := (-1,1) \subset\R$ und $E$ das folgende Energie-Funktional:
$$
E(u) \;\,:=\;\, \int\limits_{-1}^1 \frac{1}{2} (u')^2 - f u \; dx
$$
mit
$$
	f(x) \,\;:=\,\;\left\{ 
	\begin{array}{r@{\;\quad}l}
	1, & |x| > 0.5 \\
	-2, & |x| < 0.5 \;.\\
	\end{array}
	\right.
$$
L\"osen Sie folgende Minimierungsprobleme ``per Hand'' 
und skizzieren (oder plotten) Sie das Ergebnis:
\begin{enumerate}
\item Minimieren Sie $E$ in $H_0^1(\Omega)$,
\item Minimieren Sie $E$ in $\{u \in H_0^1(\Omega) \;| \;u \ge 0\}$,
\item L\"osen Sie die zugeh\"orige {\it Penalty--}Approximation  f\"ur 
   $\varepsilon > 0$: schwache L\"osungen von 
\begin{eqnarray*}
- u_\varepsilon^{''} + \frac{1}{\varepsilon} u_\varepsilon H(-u_\varepsilon) &=& f, \quad in\; (-1,1)\\
u_\varepsilon(1) = u_\varepsilon(-1) &=& 0,
\end{eqnarray*}
wobei $H$ die Heaviside-Funktion ist.
\end{enumerate}
{\small Hinweis zu (ii): $u \in H^2(\Omega)$  -- laut Vorlesung .}


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\newpage
\bigskip
\underline {\bf 3.~Aufgabe} (7.5 Punkte)
\bigskip

Seien $\phi, f\in L^2(\Omega),$ $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand.  Definiere 
$$
	U \,\;:=\,\;\left\{\: w\in L^2(\Omega) \,\mid\; w \,\geq\,\phi \;\;\mbox{ f. \"u. in } \Omega \:\right\}\!.
$$
Zeigen Sie, dass eine eindeutige L\"osung $u\in U$ der Variationsungleichung 
$$
	\int_\Omega u(w - u)\,dx \;\,\geq\;\, \int_\Omega f(w-u)\,dx, 	\qquad \forall \;w\in U 
$$
existiert. 


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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 17.06. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










