% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  1.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Separation der Variablen, Charakteristikenmethode)
\end{center}
\vspace*{-0.35cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 

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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip

Gegeben sei die {\it por\"ose Medium} -- Gleichung  
$$
	u_t - \Delta(u^\gamma) \;\,=\;\, 0 \quad \mbox{ in }\;\; \R^n\times(0,\infty), 
$$
wobei $u$ nichtnegativ ($u\geq 0$) und $\gamma>1$ eine Konstante seien. 
Finden Sie eine L\"osung dieser Gleichung mit Hilfe des Separationsansatzes $u(\mbox{{\bf x}},t) = v(t)w(\mbox{{\bf x}}).$ \\
{\small Hinweis: Machen Sie f\"ur $w$ den Ansatz $w(\mbox{{\bf x}}) = |\mbox{{\bf x}}|^\alpha$ f\"ur ein $\alpha>0.$ }

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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

Finden Sie mit Hilfe der Charakteristikenmethode eine L\"osung f\"ur die {\it Eikonal }-- Gleichung aus der geometrischen Optik 
$$
	|\nabla u| \;\,=\;\, 1 \quad \mbox{ in }\;\; \Omega \;\,=\;\,\left\{ (x,y)\in\R^2 \,\mid\, y\,>\,0 \right\}, \qquad u|_{\partial\Omega} \;\,=\;\, \frac{x}{\sqrt{2}}.
$$
%mit den Cauchy-Daten: 
%$$
	%\Gamma \;\,=\;\, \left\{ (x,y)\in\R^2 \,\mid\, y\,=\,0 \right\}, \quad \mbox{ und } \quad u|_\Gamma \;\,=\;\, \frac{x}{\sqrt{2}}.
%$$
{\small Hinweis: 
F\"ur die nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung 
\begin{eqnarray*}
F(Du,u,x) &=& 0 \quad \mbox{ in }\;\; \Omega\subset\R^n, \\
u &=& f \quad \mbox{ auf }\;\; \Gamma \subseteq\partial\Omega, 
\end{eqnarray*}
erh\"alt man mit der Charakteristikenmethode folgendes System von gew\"ohnlichen DGLen: 
$$
\left\{
\begin{array}{rc@{=\quad}l}
\dot{\mbox{{\bf p}}}(s) & & -D_x F(\mbox{{\bf p}}(s),z(s),\mbox{{\bf x}}(s)) - D_z F(\mbox{{\bf p}}(s),z(s),\mbox{{\bf x}}(s))\mbox{{\bf p}}(s) \\
\dot{z}(s) & & D_p F(\mbox{{\bf p}}(s),z(s),\mbox{{\bf x}}(s))\cdot\mbox{{\bf p}}(s) \\
\dot{\mbox{{\bf x}}}(s) & & D_p F(\mbox{{\bf p}}(s),z(s),\mbox{{\bf x}}(s)),
\end{array} 
\right.
$$
wobei $z,\mbox{{\bf p}}$ durch $z(s):=u(\mbox{{\bf x}}(s))$ und $\mbox{{\bf p}}(s):= Du(\mbox{{\bf x}}(s))$ definiert sind. \\
Bemerkung: Das gew. DGL-System zur {\it Hamilton--Jacobi} -- Gleichung aus der Vorlesung ist ein Spezialfall davon. 
}

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\bigskip
\underline {\bf 3.~Aufgabe} (4 Punkte)
\bigskip

Zeigen Sie, dass man aus einer stetigen schwachen L\"osung der Erhaltungsgleichung 
\begin{eqnarray*}
w_t + H(w)_x &=& 0 \quad \mbox{ in }\;\; \R\times(0,\infty), \\
w(x,t=0) &=& f(x), 
\end{eqnarray*}
mit $f\in C(\R),$ $H\in C(\R),$ eine klassische L\"osung der {\it Hamilton--Jacobi} -- Gleichung  
\begin{eqnarray*}
u_t + H(u_x) &=& 0 \quad \mbox{ in }\;\; \R\times(0,\infty), \\
u(x,t=0) &=& g(x) 
\end{eqnarray*}
gewinnen kann. Welcher Beziehung m\"ussen die Anfangsdaten gen\"ugen?\\
{\small Bemerkung: Der Einfachheit halber nehmen Sie in der Rechnung zus\"atzlich an, dass das gewonnene $u$ stetig differenzierbar in $t$ sei. }

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\begin{comment}
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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip

Berechnen Sie die klassische L\"osung von 
\begin{eqnarray*}
S_t + \frac{1}{c}\,|\nabla S| &=& 0 \quad \mbox{ in }\;\; \R^n\times(0,\infty), \\
S(\mbox{{\bf x}},0) &=& S_0(|\mbox{{\bf x}}|), 
\end{eqnarray*}
mit $S_0\in C^1([0,\infty)),$ $S_0|_{[0,r_0)}>0,$ $S_0|_{(r_0,\infty)} < 0,$ und $S_0'(0)=0,$ wobei $r_0>0$ eine feste Konstante sei. 
Zeigen Sie, dass sich die Wellenfront $S(\mbox{{\bf x}},t)=0$ unabh\"angig von der ``Form'' der Anfangsbedingung $S_0$ ausbreitet.

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\bigskip
\underline {\bf 5.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip
\end{comment}


\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 29.04. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des jeweiligen \"Ubungsleiters.

\end{document}










