% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

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\bigskip
\begin{center}
{\bf  11.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Parabolische Evolutionsgleichungen III)
\end{center}
\vspace*{-0.4cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Beweisen Sie das Lemma 15.3 (ii) aus der Vorlesung. \\
{\small Hinweis. Benutzen Sie dabei den Punkt (i) des Lemmas.}  


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, $T>0$ und der Operator $A: H^1_0(\Omega)\longrightarrow H^{-1}(\Omega)$ definiert durch 
$$
	 A(u) \;\::=\;\: - \,\diver\left( a(u) \nabla u \right), 
$$  
mit $a\in C(\R),$ $0<\delta_1 \leq a(u)\leq \delta_2.$ Zeigen Sie:  
\begin{enumerate}
\item $A(u(.)) :\, [0,T]\;\longrightarrow\; H^{-1}(\Omega)$ ist me\ss bar f\"ur alle $u\in X=L^2(0,T; H^1_0(\Omega))$;
\item $A:\, X\;\longrightarrow\; X'$;
\item $A:\, X\;\longrightarrow\; X'$ ist beschr\"ankt;
\item $A:\, X\;\longrightarrow\; X'$ ist koerziv.
\end{enumerate}


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Gegeben sei die {\it por\"ose Medium }- Gleichung 
\begin{eqnarray}
\label{eq:poroeseMedium}
	u_t - \Delta(u^m) &=& 0  \quad\mbox{in } \;\; \R^n\times\R, \quad m>1.
%	u(t) &=& 0 							 \qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega\times[0,T],\\
%	u(t=0) &=& u_0           \;\;\quad\mbox{in } \;\; \Omega,
\end{eqnarray}
\begin{itemize}
\item[(i)] Zeigen Sie, dass die {\it Barenblatt} - L\"osung 
$$
	U(x,t)\;\:=\;\: t^{-\lambda}\Biggl[ C- k\frac{|x|^2}{t^{2\mu}} \Biggr]_{+}^{\frac{1}{m-1}}
$$
mit $[s]_+ \;=\; \mathrm{max}\{s,0\},$ $\,C>0$ und 
$$
 \quad \lambda \;\:=\;\: \frac{n}{n(m-1)+2}, \qquad \mu\;\:=\;\: \frac{\lambda}{n}, \qquad k\;\:=\;\:\frac{\lambda(m-1)}{2mn}
$$
Fundamentall\"osung der Gleichung (\ref{eq:poroeseMedium}) ist. \\
{\small Hinweis. Formale Rechnung. Es gilt $U(x,t) \rightarrow M(C,n,m)\delta(x)$ f\"ur $t\rightarrow 0.$}  
\item[(ii)] Sei nun die Gleichung (\ref{eq:poroeseMedium}) auf $\R^n\times (0,\infty)$ %mit $u(t=0) = u_0\geq 0,$ $u_0\in L^2(\R^n)$ 
gegeben. 
Zeigen Sie, dass $U(x,t+\tau),$ f\"ur ein festes $\tau>0,$ eine schwache L\"osung dieser Gleichung ist (im Sinne von Def. 15.10). Begr\"unden Sie, warum sie keine klassische L\"osung sein kann. 
\end{itemize}


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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip

Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, $2\leq p<\infty,$ und $T>0.$
Gegeben sei die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t - \diver\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right) &=& 0  \qquad\mbox{in } \;\; \Omega\times(0,T), \\
	u(t) &=& 0                															 \qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega\times[0,T],\\
	u(t=0) &=& u_0                                           \;\;\quad\mbox{in } \;\; \Omega,
\end{eqnarray*}
mit $u_0\in L^2(\Omega).$ Zeigen Sie, dass sie 
eine eindeutige schwache L\"osung $u\in C(0,T; L^2(\Omega))$ besitzt. \\
%{\small Hinweis. Benutzen Sie dabei die S\"atze 15.9 und 15.10.}


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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Fr, 16.07. vor \"Ubungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










