% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

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\begin{center}
{\bf  10.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Parabolische Evolutionsgleichungen II)
\end{center}
\vspace*{-0.25cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit $C^2$-Rand. Zeigen Sie, dass die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t +\Delta\Delta u &=& 0   \qquad\mbox{in } \;\; \Omega\times (0,T), \\
	u(t) \;\:=\;\: \frac{\partial u}{\partial\nu}(t) &=& 0 \qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega,\; t\in [0,T],\\
	u(t=0) &=& u_0            \;\;\quad\mbox{in } \;\; \Omega,
\end{eqnarray*}
mit $u_0\in L^2(\Omega),$ eine eindeutige schwache L"osung besitzt. Wo liegt sie? 
  

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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (6 Punkte)
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Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand.
Gegeben sei die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t - \Delta u &=& -u|u|  \;\quad\mbox{in } \;\; \Omega\times(0,\infty), \\
	u(t) &=& 0                \:\quad\qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega,\; t\geq 0,\\
	u(t=0) &=& u_0            \!\qquad\quad\mbox{in } \;\; \Omega,
\end{eqnarray*}
mit $u_0\in L^2(\Omega).$ Zeigen Sie f\"ur $n=2$ und $n=3$, dass sie 
eine eindeutige schwache L\"osung $u\in C(0,\infty,L^2(\Omega))$ besitzt. \\
{\small Hinweis. Beachten Sie: f\"ur $u\in L^2(\Omega)$ gilt i.A. $u|u|\notin H^{-1}(\Omega)$! Benutzen Sie bei der Fixpunktiteration $-|u(t)|w(t)$ als rechte Seite, und sch\"atzen Sie dann mit Hilfe der {\it Gagliardo-Nirenberg}--Ungleichung ab.}


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Beweisen Sie den Satz 15.6 aus der Vorlesung dadurch, dass Sie die Kontraktivit\"at von $A^n$ ab einem gewissen $n$ bei festgehaltenem $T>0$ zeigen, d.h. ohne das Zeitintervall verkleinern zu m\"ussen. Zeigen Sie dabei, dass der Fixpunkt von $A^n$ dann auch Fixpunkt von $A$ ist. 

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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei $X$ ein reflexiver Banachraum und $A:X\longrightarrow X'$ eine Abbbildung. % zwischen zwei Banachr\"aumen $X$ und $Y.$ 
Beweisen Sie folgende Aussagen: 
\begin{enumerate}
\item $A$ {\it demistetig} $\;\Longrightarrow\;$ $A$ {\it hemistetig}$\,$; 
\item  $A$ {\it hemistetig} und monoton $\;\Longrightarrow\;$ $A$ ist {\it vom Typ M}.
\end{enumerate}


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\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 08.07. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










