% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

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\begin{center}
{\bf  8.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Parabolische Sobolevr\"aume)
\end{center}
\vspace*{-0.22cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei $\xi\in\Omega\subset \R^n.$ Zeigen Sie mit dem Satz 15.1 aus der Vorlesung, dass f\"ur $n=1$ $\delta_\xi\in H^{-1}(\Omega)$ gilt. 
Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, dass im Allgemeinen $\delta_\xi\notin H^{-1}(\Omega)$ f\"ur $n\geq 2.$ \\
{\small Hinweis.  $H_0^1(\Omega)\; \hookrightarrow\!\!\!\!\!\!\!/ \quad C(\overline{\Omega})$ f\"ur $n\geq 2.$ }

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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand und $f\in L^2(\Omega).$ Sei $\{w_k\}_{k\in\N}$ eine ON-Basis von $H^1_0(\Omega)$ und $u_m = \sum_{k=1}^m d_m^k w_k$ die L\"osung von
$$
	\int_\Omega \nabla u_m\cdot\nabla w_k \,dx \;\,=\;\, 	\int_\Omega fw_k\,dx 
$$
f\"ur alle $k=1,...,m$ (vgl. Galerkin-Methode aus der VL, Kap. 14.1). 
Zeigen Sie, dass eine Teilfolge von $(u_m)_{m\in\N}$ existiert, die in $H_0^1(\Omega)$ gegen die schwache L\"osung von 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u &=& f \quad \mbox{ in }\; \Omega,\\
 u &=& 0 \quad \mbox{ auf }\; \partial\Omega
\end{eqnarray*}
schwach konvergiert. Konvergiert die ganze Folge dann auch schwach dagegen? 


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, und $T>0.$
Es gelte f\"ur die Folge $(u_k)$: 
\begin{eqnarray*}
u_k  \;\rightharpoonup\; u  && \mbox{ in  } \;L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \\
u'_k \;\rightharpoonup\; v  && \mbox{ in  } \;L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)).
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie, dass $v=u'.$ \\
{\small Hinweis. Sei $\phi\in C_0^1(0,T),$ $w\in H^1_0(\Omega).$ Dann gilt 
$$
	\int\limits_0^T \langle\,u'_k(t) , \phi(t) w\rangle\,dt \;\, =\;\, -\int\limits_0^T \langle\,u_k(t) , \phi'(t) w\rangle\,dt, 
$$ 
wobei das Symbol $\langle .,.\rangle$ entsprechend zu interpretieren ist.}


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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, 
$m\geq0,$ $1<p<\infty,$ $V:=W_{0}^{m,p}(\Omega),$ und $f\in L^q(\Omega\times(0,T))$ mit $T>0$ und $q=p/(p-1).$ Das Funktional $b$ sei definiert durch 
$$
	\langle \,b(t), v\rangle \;\,:=\;\, \int_\Omega f(x,t)v(x)\,dx, \qquad \forall \;v\in V, \quad t\in(0,T).
$$
\newpage
Zeigen Sie: $b\in L^q(0,T; V').$ \\
{\small Hinweis. Pr\"ufen Sie die Me\ss{}barkeit von $t\mapsto\langle \,b(t), v\rangle.$}



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\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 24.06. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










