% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  12.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Nichtlineare Wellengleichungen)%, vollst\"andig integrierbare Systeme)
\end{center}
\vspace*{-0.25cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

Sei $u_0\in L^1(\R^n)\cap L^2(\R^n).$
Zeigen Sie ohne Anwendung des Interpolationssatzes 16.1 aus der Vorlesung, dass f\"ur die L\"osung der {\it freien Schr\"odinger}-Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	iu_t &=& \Delta u   \quad\mbox{in } \;\; \R^n\times\R,\\
	u(t=0) &=& u_0
\end{eqnarray*}
die Ungleichung 
$$
	\Vert u(t)\Vert_{L^{p'}(\R^n)} \;\:\leq\;\: C(u_0) (4\pi t)^{\frac{n}{2}-\frac{n}{p}}, \quad\forall\,p\in[1,2]
$$
gilt, wobei $p'$ den konjugierten Index zu $p$ bezeichne. \\
{\small Hinweis. Benutzen Sie das Lemma 12.2 aus dem Skript \"uber lineare PDGLen (auch auf der Web-Seite der Vorlesung erh\"altlich).}


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
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F\"ur die lineare Wellengleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_{tt} &=& \Delta u  \quad\mbox{in } \;\; \R^n\times\R, \quad n\geq 2,\\
  u(t=0) &=& 0, 	\\
 	u_t(t=0) &=& u_1
\end{eqnarray*}
gilt
%\begin{equation}
%\label{eq:estLW}
$$
	\Vert u(t)\Vert_{L^{q}(\R^n)} \;\:\leq\;\: C\,t^b \Vert u_1\Vert_{L^{p}(\R^n)}, 
$$
%\end{equation}
f\"ur geeignete Paare $(\frac{1}{p},\frac{1}{q})$ (n\"aheres dazu in W.A. Strauss: Nonlinear Wave Equations,..., S. 5).
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie $b=b(n,p,q)$ aus der Skalierung $x\rightarrow \lambda x,$ $t\rightarrow\lambda t$ in der Wellengleichung. 
%Dabei soll (\ref{eq:estLW}) skalierungsinvariant bleiben. 
\item In welchen $L^p$-R\"aumen m\"usste $u_1$ liegen, damit  
$$
	\Vert u(t)\Vert_{L^{2}(\R^n)} \;\:\leq\;\: C, \quad \forall\, t\in\R
$$
gilt.
\end{enumerate}


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei 
$$
	\mathcal{E}(u) \;\:=\;\: \int_{\R^{n+1}} \!\left[-\frac{1}{2}(u_t)^2 + \frac{1}{2}|\nabla u|^2 + F(u)\right]dx\,dt,
$$
gegeben, wobei $F$ eine geignete Funktion mit $F(0)=0$ ist (vgl. Beispiel 2 im Kapitel \"uber Erhaltungsgr\"ossen in der Vorlesung). Die entsprechende {\it Euler-Lagrange-}Gleichung ist die nichtlineare Wellengleichung (NLW) mit $f(u)=F'(u).$ \\
\newpage
Zeigen Sie, dass die Ortsverschiebung 
$$
	T_k(s): u(x,t) \;\:\mapsto \;\: u(x_1,\dots,x_k+s, \dots, x_n,t), \qquad k\in \{1,\dots,n\}
$$
in der NLW zur Erhaltung des Impulses f\"uhrt, wobei die Impulsdichte  durch $p_k(u)\;=\;u_t\frac{\partial u}{\partial x_k}$ definiert ist. 


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%\newpage
\bigskip
\underline {\bf 4.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

Zeigen Sie durch formale Rechnung, dass die lineare Wellengleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_{tt} &=& \Delta u  \quad\mbox{in } \;\; \R^3\times\R,\\
  u(t=0) &=& u_0, 	\\
 	u_t(t=0) &=& u_1
\end{eqnarray*}
durch 
$$
	u(x,t) \;\:=\;\: \frac{\partial}{\partial t}\left\{ \frac{1}{4\pi t}\int_{S(t)} u_0\,dS\right\} + \frac{1}{4\pi t}\int_{S(t)} u_1\,dS
$$ 
gel\"ost wird, wobei $S(t)$ die Oberfl\"ache der Sph\"are mit Ursprung in $x$ und Radius $t$ ist. \\
{\small Hinweis. Dabei gilt 
$$
\frac{1}{t}\int_{S(t)} f\,dS \;:=\; t\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi} \!\!f(x+t\mathcal{I})\sin\theta\,d\theta\,d\phi, \quad \mathcal{I}\;=\;(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta).
$$}


% ----------------------------------------------------------------------

\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 22.07. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










