% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  6.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Variationsprobleme mit Nebenbedingungen II)
\end{center}
\vspace*{-0.42cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Sei $M\,=\;\left\{ z\in\R^{n+1} \mid  G(z)\;=\;c\right\}$ eine regul\"are Hyperfl\"ache in $\R^{n+1}.$ Die geod\"atischen Linien auf $M$ sind 
definiert als die Extrema des Funktionals 
$$
	E(u)\;\,=\;\,\frac{1}{2}\int \!|\dot{u}(t)|^2 dt, 
$$
unter der Nebenbedingung $G(u)\,=\,c.$
Die k\"urzeste Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Fl\"ache ist stets Teil einer geod\"atischen Linie. \\[-0.2cm]
 
Zeigen Sie, dass jede geod\"atische Linie $u(t),$ $a\leq t\leq b,$ mit 
$$u\;\in\; \left\{ f\in C^2[a,b] \;\mid\;  |f'(t)| \not= 0, \;\forall\, t\in[a,b] \,\right\},$$ 
auf der Sph\"are 
$$
	S^n \;\,=\;\, \left\{ z\in\R^{n+1} \;\mid\; |z|\,=\,R \right\}
$$
mit Radius $R$ Teil eines Gro\ss{}kreises auf $S^n$ ist. \\
{\small Bemerkung. Analog kann man zeigen, dass jeder Gro\ss{}kreis auf $S^n$ eine geod\"atische Linie ist.} \\
{\small Hinweis. Zeigen Sie zun\"achst, dass $|\dot{u}(t)| \equiv \mathrm{const}$ ist.} %, und nehmen Sie der Einfachheit halber $|\dot{u}(t)| \equiv 1$ an.} %L\"osen Sie dann die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung. }


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Auf $\Omega=[0,\pi]\times[0,\pi]\subset\R^2$ sei das Variationsproblem:  
$$
  \int_\Omega |\nabla u|^2\,dx\,dy \;\,=\;\;\min!, \qquad u|_{\partial\Omega}\;\,=\,\;0, 
$$
mit der Nebenbedingung 
$$
	\int_\Omega u^2\,dx\,dy \;\,=\;\,1, 
$$
gegeben. 
%wobei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand ist. 
Finden Sie eine explizite L\"osung in $C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}).$ Ist sie eindeutig? \\
{\small Hinweis. Schreiben Sie es in ein Eigenwertproblem um.}


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (6 Punkte)
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Gegeben seien $\mu\in\R,$ $g$ ein Polynom in $\R,$ und 
$$h\in U\;=\;\left\{ f\in L^1(\R) \mid f\,>\,0 \right\} \quad\mbox{ mit }\quad \int_\R h\,dx = 1.$$  
Betrachten Sie das Variationsproblem f\"ur das (mathematische) Entropie-Funktional 
$$
  \int_\R f\log\left(\frac{f}{h}\right)\,dx \;\,=\;\;\min!  \qquad\mbox{ f\"ur }\quad f\in U,
$$
 unter den zwei Nebenbedingungen:
\begin{eqnarray*}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(i)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 	\int_\R f\,dx &=&1 \\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(ii)\quad\;\qquad\qquad\qquad\qquad	\int_\R f g\,dx &=&\mu. 
\end{eqnarray*}
%\newpage
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass $E(f)\,\geq\,0$ und konvex ist. \\
{\small Hinweis. {\it Jensen}--Ungleichung} mit $dy = f dx.$
\item Nehmen Sie an, dass es einen eindeutigen Minimierer gibt, und l\"osen Sie die zu den Nebenbedingungen variierte Euler-Lagrange-Gleichung.
\end{enumerate}


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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip

Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand und $f\in L^2(\Omega).$ Formulieren Sie, was es f\"ur $u\in H^1(\Omega)$ hei\ss{}t, schwache L\"osung des   Randwertproblems  
\begin{eqnarray*}
-\Delta u &=& f \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
\frac{\partial u}{\partial\nu}  \,+\, u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega 
\end{eqnarray*}
zu sein. Zeigen Sie, dass es eine eindeutige schwache L\"osung gibt. \\
{\small Hinweis. Leiten Sie ein zur schwachen Formulierung entsprechendes Energiefunktional ohne Nebenbedingungen her. 
Verwenden Sie, dass $\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}$ und $\Vert \nabla u\Vert_{L^2(\Omega)} + \Vert u\Vert_{L^2(\partial\Omega)}$ \"aquivalente Normen auf $H^1(\Omega)$ sind. Die Eindeutigkeit l\"asst sich direkt \"uberpr\"ufen.  
}

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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Fr, 11.06. vor \"Ubungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










