% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

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\bigskip
\begin{center}
{\bf  3.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Fixpunkts\"atze, Variationsprobleme)
\end{center}
\vspace*{-0.35cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (8 Punkte)
\bigskip

Seien $\Omega\in\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, $g\in L^\infty(\Omega),$ und $f:\R\rightarrow\R$ eine bijektive $C^2$-Funktion mit $f'(x)\geq 0,$ $\forall\, x\in\R$ gegeben. Man zeige, dass die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
\Delta u &=& f(u) + g(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
eine eindeutige L\"osung in $H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ hat.

{\small Hinweise:
\begin{enumerate}
\item Benutzen Sie folgende Version des Fixpunktsatzes von Schauder: \\[0.1cm]
{\it Es sei $K$ eine nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge eines Banachraumes X. Ist eine Abbildung $F : K \rightarrow K$ stetig und kompakt, d.h. sie bildet beschr\"ankte Mengen in pr\"akompakte Mengen ab, so hat $F$ einen Fixpunkt in $K.$ }
\item Daf\"ur schreiben Sie die rechte Seite der Gleichung in
$$
	f(u)+g(x) \;\,=\;\, \int_0^1f'(tu\mbox{*}(x)+(1-t)u(x))dt \cdot (u-u\mbox{*})
$$
mit einem geeignetem $u$* um, und benutzen Sie dann f\"ur die Definition des Fixpunkt-Operators
$$
 a[\phi](x) \;\,:=\;\, \int_0^1f'(tu\mbox{*}(x)+(1-t)\phi(x))dt.
$$ Wenden Sie das Vergleichsprinzip f\"ur {\it schwache} L\"osungen anstelle vom klassischen Maximumprinzip an. 
\item Zeigen Sie anschlie\ss{}end, dass die L\"osung eindeutig ist (z.B. mit der "`Energiemethode"' wie im Satz 14.5 aus der Vorlesung).
\end{enumerate}
}

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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (8 Punkte)
\bigskip

Gegeben sei das Dirichlet--Problem  
\begin{eqnarray*}
\Delta u &=& e^u - c(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
wobei $\Omega\in\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand ist, und $c\in L^\infty(\Omega).$
\begin{enumerate}
\item Finden Sie eine untere L\"osung $\underline{u}(x),$ und eine obere konstante  L\"osung $\overline{u}$ f\"ur die obige Gleichung. \\
{\small Hinweis. Benutzen Sie f\"ur die untere L\"osung die Green'sche Funktion f\"ur den Laplace--Operator auf $\Omega.$ }%und das Maximumprinzip.}
\item Zeigen Sie, dass die Gleichung eine L\"osung $u$ in $H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$ hat. \\
{\small Hinweis. Ersetzen Sie die Nichtlinearit\"at zuerst durch $h(u),$ mit 
$$
h(z) \;\,= \; \left\{
\begin{array}{lrl}
e^{\overline{u}}, &\; z \!\!\!\!& \geq \overline{u}\\ 
e^z, & \; z \!\!\!\!& < \overline{u},
\end{array}
\right.
$$
und benutzen Sie den Fixpunktsatz von Leray--Schrauder/Sch\"afer. Motivieren Sie anschlie\ss{}end mit dem Vergleichsprinzip, warum das Abschneiden mittels $h$ keine Wirkung auf die gefundene L\"osung hat. } 
\item Zeigen Sie, dass die L"osung $u$ eindeutig ist. 
\end{enumerate}

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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Formulieren Sie das Problem: "`Finde die k\"urzeste Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten in $\R^n$"'  in ein Variationsproblem um, und l\"osen Sie es. 


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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 13.05. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










