% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

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\begin{center}
{\bf  9.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Parabolische Evolutionsgleichungen)
\end{center}
\vspace*{-0.4cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand. Gegeben sei die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t -\Delta u &=& f(x,t)   \qquad\mbox{in } \;\; \Omega\times (0,\infty), \\
	u(t) &=& 0                 \:\quad\quad\qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega,\; t\geq 0,\\
	u(t=0) &=& u_0            \!\qquad\quad\quad\mbox{in } \;\; \Omega,
\end{eqnarray*}
mit $u_0\in L^2(\Omega).$ Die Funktion $f\in L^\infty(\Omega\times[0,T]),$ $\forall\;T>0,$  sei f\"ur ein $\tau>0$ $\tau$-periodisch in $t,$ d.h. $f(x,t)=f(x,t+\tau)$ ($x\in\Omega, t\geq 0$). Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Anfangswert $u_0\in L^2(\Omega)$ gibt, so dass die zugeh\"orige L\"osung $u$ $\tau$-periodisch ist. \\
{\small Hinweis. Betrachten Sie die Fixpunktabbildung $A(u_0)=u(\tau).$}


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Gegeben sei die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t - u_{xx} &=& u^2,  \quad\qquad (x,t)\in (0,1)\times (0,\infty), \\
	u(0,t) &=& u(1,t),     \:\:\quad t\geq 0,     \\
	u_x(0,t) &=& u_x(1,t), \quad t\geq 0,\\
	u(x,t=0) &=& u_0(x),   \!\quad\quad x\in(0,1).
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie, dass f\"ur jedes $T>0$ ein $u_0\in L^2(0,1)$ existiert, so dass f\"ur die zugeh\"orige L\"osung das maximale Zeitintervall $t_{\mbox{max}}=T<\infty$ ist. 
Verwenden Sie dabei, dass die Gleichung eine eindeutige L\"osung $u\in C(0,t_{\mbox{max}},L^2(\Omega))$ hat. \\
{\small Hinweis. W\"ahlen Sie $u_0\equiv const.$ }


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Sei $\Omega\subset\R$ beschr\"ankt. Zeigen Sie f\"ur $u_0\in L^2(\Omega),$ dass die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t - u_{xx} &=& \arctan(u)u_x   \qquad\mbox{in } \;\; \Omega\times (0,T], \\
	u(t) &=& 0                 \quad\!\!\qquad\quad\quad\qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega,\; t\in[0,T],\\
	u(t=0) &=& u_0            \,\qquad\qquad\quad\quad\mbox{in } \;\; \Omega 
\end{eqnarray*}
eine eindeutige zeitglobale schwache  L\"osung $u\in C(0,\infty,L^2(\Omega))$ besitzt. \\
{\small Hinweis. Verwenden Sie den Satz 15.7. aus der Vorlesung.}


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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (7 Punkte)
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Seien $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand, $T>0,$ und $c\in C(0,T,L^p(\Omega)),$ wobei  $\frac{n}{2}<p\leq\infty,$ $1\leq p.$ Zeigen Sie, dass die Gleichung 
\begin{eqnarray*}
	u_t -\Delta u - c(x,t)u &=& 0   \qquad\mbox{in } \;\; \Omega\times (0,T], \\
	u(t) &=& 0                 \qquad\mbox{auf } \;\; \partial\Omega,\; t\geq 0,\\
	u(t=0) &=& u_0            \;\;\quad\mbox{in } \;\; \Omega
\end{eqnarray*}
eine eindeutige L\"osung $u\in L^2(0,T,H_0^1(\Omega))\cap H^1(0,T,H^{-1}(\Omega))\cap C(0,T,L^2(\Omega))$ besitzt.  
{\small Hinweis. Benutzen Sie die {\it Gagliardo-Nirenberg}--Ungleichung ($1\leq p,r,q \leq\infty$)
$$
	\Vert u\Vert_{L^p(\Omega)} \;\,\leq\;\, C \Vert \nabla u\Vert_{L^r(\Omega)}^\alpha \Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}^{1-\alpha}, \quad\; \frac{1}{p} \;=\; 
	\alpha\left( \frac{1}{r} - \frac{1}{n}\right) + (1-\alpha)\frac{1}{q}, \quad\;\alpha\in[0,1],
$$ 
und folgende Sobolev-Einbettungen: 
\begin{itemize}
\item $n=1:$ $\qquad H^1_{(0)}(\Omega) \;\,\hookrightarrow\;\, C(\overline{\Omega})$; 
\item $n=2:$ $\qquad H^1_{(0)}(\Omega) \;\,\hookrightarrow\;\, L^p(\Omega), \quad 1\leq p<\infty$; 
\item $n>2:$ $\qquad H^1_{(0)}(\Omega) \;\,\hookrightarrow\;\, L^p(\Omega), \quad 1\leq p\leq \frac{2n}{n-2}.$ 
\end{itemize}
}



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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 01.07. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










