% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  5.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Variationsprobleme mit Nebenbedingungen)
\end{center}
\vspace*{-0.25cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Gesucht wird eine Funktion $u(x),$ die die Lage eines an zwei Punkten $(x_0,u_0)$ und $(x_1,u_1)$ aufgeh\"angten Seils der L\"ange $l$ unter dem Einflu\ss{} der Schwerkraft beschreibt. Das Prinzip der minimalen potentiellen Energie ergibt das folgende Variationsproblem: 
$$
	\int_{x_0}^{x_1}\!\!u\sqrt{1+u'^{2}}dx \;\,=\;\,\min!, \quad u(x_0)\;=\;u_0, \quad u(x_1)\;=\;u_1, 
$$
unter der Nebenbedingung 
$$
	\int_{x_0}^{x_1}\!\!\sqrt{1+u'^2}dx \;\,=\;\, l.
$$
Die L\"osung ist bekannt als die {\it Kettenlinie}. \\
{\small Hinweis. Variieren Sie den Integrand um $\lambda\sqrt{1+u'^2}$ ($\lambda$ Lagrange'scher  Multiplikator): 
$$
  L(u)=u\sqrt{1+u'^2}+\lambda \sqrt{1+u'^2},
$$ 
und l\"osen Sie die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung, unter der Annahme, dass $u$ klassisch ist. (Gleiches Prinzip wie bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen aus der Analysis)}


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (7 Punkte)
\bigskip

Gegeben sei das folgende {\it isoperimetrische} Variationsproblem: 
$$
	\int_{-1}^{1} \sqrt{1+u'^{2}}dx \;\,=\;\,\min!, \qquad u(-1)\;=\;u(1)\;=\;0, 
$$
unter der Nebenbedingung 
$$
	F(u)\;\,=\;\, \int_{-1}^{1} \left(u-\frac{\pi}{4}\right)dx \;\,=\;\,0.
$$
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie f\"ur $1<q<2,$ dass es f\"ur $R>0$ hinreichend gro\ss{} einen Minimierer in 
$$
	U \;\,=\;\, \left\{ u\in W_0^{1,q}(-1,1) \; \mid \; F(u)=0, \;\; \Vert u\Vert_{W_0^{1,q}(-1,1)}\leq R \right\} 
$$
gibt. \\
{\small Hinweis. Passen Sie die Beweise der S\"atze 14.17, 14.18 aus der Vorlesung entsprechend an. Benutzen Sie dabei die stetige Einbettung % f\"ur $\alpha\in(0,1):$
$$
	W^{1,p}_0(-1,1) \;\hookrightarrow \;\, C^{0,\alpha}[-1,1], \qquad \alpha \;=\; 1 - \frac{1}{p}, \qquad 1\;<\; p\;<\;\infty.
$$
Der Satz von {\it Arzela--Ascoli} gilt auch f\"ur beschr\"ankte Folgen in $ C^{0,\alpha}[-1,1],$ $\;0<\alpha\leq1.$}

\item Warum wurde $q<2$ vorausgesetzt? \\
{\small Hinweis. s. formale L\"osung in der Vorlesung. }
\end{enumerate}


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\newpage
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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (8 Punkte)
\bigskip

Sei $q>1$ und $\Omega\subset\R^n,$ $n>2,$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand.
Betrachten Sie das Randwertproblem 
\begin{eqnarray}
\label{eq:3}
-\Delta u &=& |u|^{q-1}u  \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega. \nonumber
\end{eqnarray}
Zeigen Sie mit den Methoden aus der Vorlesung, Kapitel 14.5, die Existenz einer nichttrivialen L\"osung $u\in H^1_0(\Omega)$ f\"ur 
$1<q<\frac{n+2}{n-2}.$\\
{\small Hinweise: 
\begin{itemize}
\item Vermeiden Sie die triviale L\"osung beim Aufstellen der Nebenbedingung f\"ur das entsprechende Variationsproblem, n\"amlich  
$$
	u\in U \;\,=\;\, \left\{ w\in H_0^{1}(\Omega) \; \mid\; \int_\Omega G(w)\:=\:0 \right\},  
$$
wobei $G$ eine geeignete Stammfunktion von $g(x)=|x|^{q-1}x$ ist. 
\item Modifizieren Sie den Beweis vom Satz 14.18 aus der Vorlesung entsprechend. %so, dass die Nebenbedingung f\"ur den Grenzwert der Minimalfolge erf\"ullt bleibt. 
Verwenden Sie dazu folgenden Spezialfall vom Sobolev'schen Einbettungssatz (f\"ur $n>2$): 
$$
		H^1(\Omega) \;\hookrightarrow (\hookrightarrow)\;\, L^p(\Omega), \qquad 1\;\leq\; p \;\leq\;  \frac{2n}{n-2}.
$$
\vspace*{-0.87cm}
{\footnotesize
$$
 \;\,\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (<)
$$}
\item Skalieren Sie anschliessend den m\"oglichen Minimierer so um, dass er die Gleichung (\ref{eq:3}) schwach l\"ost (d.h. der Lagrange-Multiplikator $\lambda=1$).
\end{itemize}
}


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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 27.05. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










