% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
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\begin{center}
{\bf  4.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Variationsprobleme)
\end{center}
\vspace*{-0.36cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


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%\vspace*{-0.1cm}
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (4 Punkte)
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Das Problem der {\it Brachistochrone} besteht darin, diejenige Kurve zu bestimmen, auf der ein K\"orper reibungsfrei unter dem alleinigen Einflu\ss{} 
der Schwerkraft in k\"urzester Zeit von $A=(a,c)\in\R^2$ nach $B=(b,d)\in\R^2$ gelangen kann. Sind die zul\"assigen Kurven Graphen stetig differenzierbarer 
Funktionen $f\in C^1[a,b]$ mit $f(a)=c$ und $f(b)=d,$ so gilt f\"ur die Geschwindigkeit nach dem Energiesatz $v(t)=\sqrt{2g(c-f(t))}.$ Es folgt f\"ur den 
zur\"uckgelegten Weg $s(t)=\int_a^b\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$ und f\"ur die Zeit 
$$
	T(f) \;\,=\;\, \frac{1}{\sqrt{2g}}\int\limits_a^b\sqrt{\frac{1+(f'(t))^2}{c-f(t)}}\:dt.
$$
Das durch $T(f)$ definierte Funktional ist zu minimalisieren. \\
{\small Hinweis. {\it Eugenio Beltrami (1835-1900)} ist es im Jahre $1868$ durch geignete Umformungen gelungen, die {\it Euler--Lagrange}--Gleichung (siehe Vorlesung) in die Gleichung 
$$
	-\nabla_x L(\nabla u,u,x) + \nabla_x\Bigl[L(\nabla u,u,x) - \nabla u\cdot\nabla_p L(\nabla u,u,x)\Bigr] \;\,=\;\, 0, \quad x\in\Omega 
$$
umzuschreiben. Man nennt sie die {\it Beltrami}--Gleichung. }


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\underline {\bf 2.~Aufgabe} (5 Punkte)
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Das Variationsproblem 
\begin{equation}
\label{eq:1} 
	\int_a^{b} \frac{n(x,y(x))}{c} \sqrt{1+(y'(x))^2}\,dx \;\,=\;\, \min !
\end{equation}
stellt das {\it Grundproblem der geometrischen Optik} dar, das Prinzip von {\it Fermat (1601-1665)} , das aussagt, dass sich die Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten so bewegen, dass sie die k\"urzeste Zeit ben\"otigen. Dabei ist $y=y(x)$ die Bahnkurve eines Lichtstrahls, $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und $n(x,y)$ der Brechungsindex im Punkt $(x,y).$ Das Integral in (\ref{eq:1}) ist gleich der Zeit, die das Licht in dem brechenden Medium ben\"otigt, um vom Punkt $(a,c)$ zum 
Punkt $(b,d)$ zu gelangen. \\[-0.2cm]

L\"osen Sie das Variationsproblem mit $n(x,y)=\sqrt{1+y},$ f\"ur $y>-1.$ Nehmen Sie der Einfachheit halber als Startpunkt $(0,0),$ und zeigen Sie, dass alle Lichtstrahlen durch $(0,0)$  "`oberhalb"' der Parabel ({\it Kaustik}) $y(x)=\frac{x^2}{4}-1$ verlaufen. \\
{\small Hinweis. Der Integrand erf\"ullt zwar die Koerzivit\"atsbedingung in $y'$ nicht, dennoch liefert der Satz 14.15 aus der Vorlesung die hinreichende Bedingung f\"ur die Minimierer.}


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\underline {\bf 3.~Aufgabe} (6 Punkte)
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Sei $q>1$ und $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand.
\begin{enumerate}
\item Gegeben sei das Dirichlet--Problem  
\begin{eqnarray*}
-\Delta u &=& -|u|^{q-1}u + f(x) \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega,
\end{eqnarray*}
wobei $f\in L^\infty(\Omega)$ ist. Zeigen Sie  die Existenz eines Minimierers f\"ur das entsprechende Energiefunktional in $W^{1,q}_0(\Omega)$ f\"ur $q\geq2.$
\item Betrachten Sie nun das Problem 
\begin{eqnarray*}
-\Delta u &=& |u|^{q-1}u  \quad \mbox{ in }\;\; \Omega, \\
u & = & 0  \quad \mbox{ auf }\;\; \partial\Omega. 
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie, dass  
\begin{itemize}
\item die direkten Variationsmethoden aus der Vorlesung nicht anwendbar sind; 
\item das entsprechende Energiefunktional $E(u)$ weder nach oben noch nach unten beschr\"ankt ist. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
{\small Bemerkung. Es existieren tats\"achlich nichttriviale L\"osungen f\"ur beide Probleme in $W^{1,q}_0(\Omega)$ (mit Hilfe von {\it Sattelpunkt--Methoden}). }


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\underline {\bf 4.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet mit glattem Rand. 
Erkl\"aren Sie, warum die Methoden aus der Vorlesung zum Beweis der Existenz eines Minimierers f\"ur das Funktional 
$$
	E(u) \;\,=\;\, \int_\Omega (1+|\nabla u|^2)^{1/2}\,dx
$$
auf 
$$
	U \;\,=\;\, \left\{ u\in W^{1,q}(\Omega) \mid u=g \mbox{ auf } \partial\Omega \right\}, \quad \mbox{ f\"ur alle }\;  1\leq q<\infty, 
$$
nicht funktionieren. 

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\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Fr, 21.05. vor \"Ubungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










