% Elidon Dhamo, WS03/04, Partielle Differentialgleichungen

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\begin{document}
Westf\"alische Wilhelms-Universit\"at M\"unster\hfill SS 2004 \\
Institut f\"ur Numerische Mathematik \\
Prof.~Dr.~A.~Arnold / E.~Dhamo 

%\bigskip
\bigskip
\begin{center}
{\bf  13.~\"Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Differentialgleichungen''}\\
(Nichtlineare Wellengleichungen II)
\end{center}
\vspace*{-0.35cm}
\hrule \vspace{0.1cm} \hrule 


%------------------------------------------------------------------

\bigskip
\begin{center}
{\large Die Bearbeitung der folgenden Aufgaben ist freiwillig!\\ Die erreichten Punkte z\"ahlen als Bonuspunkte. }
\end{center}

\bigskip
\underline {\bf 1.~Aufgabe} (5 Punkte)
\bigskip

Zeigen Sie, dass aus der stetigen Einbettung 
$	H^1(\R^n) \; \hookrightarrow \; L^q(\R^n) $ f\"ur 
\begin{itemize}
\item $n\geq 3,$ $\quad 2 \leq q\leq \frac{2n}{n-2}$;
\item $n=2,$ $\quad 2 \leq q < \infty$;
\item $n=1,$ $\quad 2 \leq q \leq \infty,$
\end{itemize}
die {\it Sobolev}-Ungleichung 
$$
	\Vert u\Vert_{L^q(\R^n)} \;\:\leq\;\: C(q,n)\Vert u\Vert_{L^2(\R^n)}^{1-\alpha} \Vert \nabla u\Vert_{L^2(\R^n)}^\alpha 
	\quad \mbox{ mit }\quad \alpha \;=\; \frac{n}{2}\left(1-\frac{2}{q} \right) 
$$
folgt. \\
{\small Hinweis. Skalieren Sie $x\mapsto \lambda x$ um, und minimieren Sie in $\lambda.$ }


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\bigskip
\underline {\bf 2.~Aufgabe} (4 Punkte)
\bigskip

Sei $\Omega\subseteq\R^n$ und $R>0.$ Zeigen Sie, dass  
$$
	Y \;\: := \;\: \left\{ f\in H^1(\Omega) \;\;|\;\; \Vert f\Vert_{H^1(\Omega)}\;\leq\;R \right\}
$$ 
 eine (bzgl. der $L^2$-Norm) abgeschlossene Teilmenge von $L^2(\Omega)$ ist. 
 %vollst\"andiger metrischer Raum ist.% von $L^2(\Omega)$ ist (d.h. bzgl. der $L^2$-Norm). 



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\bigskip
\underline {\bf 3.~Aufgabe} (6 Punkte)
\bigskip

Zeigen Sie, dass die {\it Schr\"odinger-Poisson-}Gleichung 
\begin{eqnarray*}
i\psi_t + \Delta\psi + f(\psi) & = & 0 \quad \mbox{ in } \;\R^3 \times \R, \\
\psi(t=0) &=& \psi_0 \in H^1(\R^3),
\end{eqnarray*}
mit $f(\psi) \;=\; \frac{1}{4\pi}\left(|\psi|^2 \ast \frac{1}{|x|}\right)\psi,$ eine eindeutige L\"osung $\psi\in C(\R; H^1(\R^3))$ besitzt. \\
{\small Bemerkung. $V[\psi] := \frac{1}{4\pi}\left(|\psi|^2\ast \frac{1}{|x|}\right)$ l\"ost die {\it Poisson-}Gleichung  
$	\Delta V \;\:=\;\: |\psi|^2.$} \\

{\small Hinweis. Zeigen Sie zun\"achst mit Hilfe der {\it verallgemeinerten Young-}Ungleichung (siehe VL-Skript) und der Sobolev-Einbettung 
$ W^{1,p}(\R^n)\;\hookrightarrow \; C_B(\R^n)$ f\"ur $p>n,$ dass $f:H^1(\R^3)\rightarrow H^1(\R^3)$ eine lokal Lipschitz-stetige Funktion ist.
Benutzen Sie anschliessend folgenden Satz 6.1.4 aus \textsc{A. Pazy}, 
{\em Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations},
Springer, 1983: 
\newpage
{\footnotesize\it
\hspace*{0.7cm}
\begin{minipage}{14cm}
Let $X$ be a Banach space and $f:[0,\infty)\times X \rightarrow X$ be continuous in $t$ for $t\geq 0$ and locally Lipschitz continuous in $u,$ 
uniformly in $t$ on bounded intervals. If $-A$ is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup $T(t)$ on $X$ then for every 
$u_0\in X$ there is a $t_{\mathrm{max}}\leq\infty$ such that the initial value problem 
\begin{eqnarray*}
u_t(t) + Au(t)  & = & f(t,u(t)),  \quad t\geq 0 \\
u(0) &=& u_0,
\end{eqnarray*}
has a unique mild solution $u$ on $[0,t_{\mathrm{max}}).$ Moreover, if $t_{\mathrm{max}}<\infty$ then 
$$\lim\limits_{t\uparrow t_{\mathrm{max}}}\Vert u(t)\Vert_X = \infty.$$
\end{minipage}
}\\

Die Erhaltungen von $\Vert \psi(t)\Vert_{L^2(\R^3)}$ und 
$$
	E(\psi(t)) \;\:=\;\:  \Vert \nabla\psi(t)\Vert_{L^2(\R^3)}^2 + \,\frac{1}{2}\,\Vert \nabla V(t)\Vert_{L^2(\R^3)}^2
$$
liefern dann die a-priori-Absch\"atzungen. %\underline{zeitglobale} L\"osung.
}


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\bigskip\bigskip
\textbf{Abgabe} der L\"osungen am Do, 29.07. vor Vorlesungsbeginn in den Briefkasten des \"Ubungsleiters.

\end{document}










