Sekundärverzweigung bei Reaktions-Diffusionsgleichungen

Diplomarbeit

von Rolf Bronstering

Münster/Westfalen, im September 1990

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3 1.1 Allgemeine Verzweigungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Verzweigungsprobleme bei Differentialgleichungen . . . . . . . . 5 1.3 Zentralmannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Formulierung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Reduktion auf ein planares System 15

2.1 Spektralzerlegung des Hilbertraums B . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Die Projektion auf X längs Y . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Reduktion auf eine Zentralmannigfaltigkeit M . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Existenz von M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Einige Eigenschaften von M . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Asymptotische Berechnung des Flusses auf M . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Der lineare Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Quadratische Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3 Kubische Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Diskussion des planaren Systems 26

3.1 Quadratische Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Bestimmung der kritischen Punkte . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Stabilität der stationären Lösungen . . . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Behandlung der Terme höherer Ordnung . . . . . . . . . 36 3.1.4 Periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Kubische Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Bestimmung der kritischen Punkte . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Stabilität der stationären Lösungen . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Behandlung der Terme höherer Ordnung . . . . . . . . . 52

4 Abstrahierung auf das unendlichdimensionale System 54 4.1 Formulierung der Hauptergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Anwendung der Ergebnisse auf ein Beispiel . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Eine numerische Berechnung von M . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Eine numerische Lösung der Reaktions–Diffusions–Gleichung . . 64 4.5 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Allgemeine Verzweigungsprobleme

Viele Probleme aus Mathematik und Naturwissenschaften lassen sich — ganz oder teilweise — auf das Problem zurückführen, die Nullstellen einer gegebenen Funktion F : B × IR → B, wobei B ein Banachraum ist, zu bestimmen. Betrachtet man dabei λ ∈ IR als extern kontrollierbaren Parameter, so stellt sich sofort die Frage nach der Abhängigkeit der Nullstellen von λ. Ist etwa für ein λ die Nullstellenmenge N (λ, F) = {w ∈ B | F (w, λ) = 0} von F bekannt, so wird man ”im Normalfall“ erwarten, daß bei ”kleiner“ Variation von λ die N (λ, F) zueinander homöomorph sind. Diejenigen λ ∈ IR, für die dieser Normalfall nicht gilt, werden gemeinhin als Verzweigungswerte oder Bifurkationswerte bezeichnet.

Wir betrachten hier den Spezialfall, daß lokal zwei differenzierbare, voneinander verschiedene Nullstellen–Funktionen w_{1}(λ) und w_{2}(λ) gegeben sind, deren Graphen einen Punkt gemeinsam haben, d.h:

F (w_{1}(λ), λ) = F (w_{2}(λ), λ) = 0, und es gibt ein λ_{0} mit w_{1}(λ_{0}) =
w_{2}(λ_{0}), w_{1}(λ) ≠ w_{2}(λ) für λ ≠ λ_{0}.

Dann ist λ_{0} ein Verzweigungswert im obigen Sinne. Entsprechend heißt w_{0} = w_{1}(λ_{0}) = w_{2}(λ_{0}) Verzweigungspunkt. Ist w_{1} eine triviale ^{1} und w_{2} eine weniger triviale Lösung, so wird w_{2} als verzweigende Lösung oder einfach als Verzweigung bezeichnet.

1So werden gewöhnlich Lösungen bezeichnet, die eine besonders einfache Darstellung besitzen oder deren Vorhandensein offensichtlich ist

[figure: λ; w; w_{1}(λ); w_{2}(λ); w_{3}(λ)]

Abbildung 1.1: Verzweigungen

Wenn von w_{2} wiederum eine Lösung w_{3} verzweigt, wird diese als Sekundärverzweigung bezeichnet.

Wenn w_{2} nur für λ ≥ λ_{0} bzw. λ ≤ λ_{0} definiert ist, spricht man von einer superkritischen bzw. subkritischen Verzweigung; wenn w_{2} in einer offenen Umgebung von λ_{0} definiert ist, von einer transkritischen Verzweigung.

Beispiel: B = IR

1. F (w, λ) = w^{3}−λw hat Nullstellen w = ±\sqrt{λ}, w = 0 für λ ≥ 0 und w = 0 für λ ≤ 0. λ = 0 ist superkritischer Verzweigungswert, w(λ) = ±\sqrt{λ} sind von der trivialen Lösung w = 0 verzweigende Lösungen.

2. F (w, λ) = w^{3} + λw: Hier liegt eine subkritische Verzweigung vor

3. F (w, λ) = w^{2} − λw hat Nullstellen w = 0, w = λ. Man hat eine transkritische Verzweigung bei λ_{0} = 0.

Der wichtigste Satz in der Bifurkationstheorie ist der aus dem IR^{n} bekannte Satz über implizite Funktionen, der sich auf beliebige Banachräume verallgemeinern läßt. Wir nehmen hier wie auch in der ganzen Arbeit an, daß alle benötigten Ableitungen existieren.

Satz 1.1 (Implizite Funktionen) Es seien X, Y und Z Banachräume, U ⊂ X und V ⊂ Y offen, F : U × V → Z stetig, (x_{0}, y_{0}) ∈ U × V mit F (x_{0}, y_{0}) = 0.

D_{x}F (x_{0}, y_{0}) habe eine beschränkte Inverse. Dann gibt es offene Umgebungen U_{1} ⊂ U von x_{0} und V_{1} ⊂ V von y_{0} und eine Funktion f : V_{1} → U_{1}, sodaß in U_{1} × V_{1} die Äquivalenz

F (x, y) = 0 ⇔ x = f(y)

gilt. f hat dieselbe Regularität wie F.

Beweis in [6]. □

Damit erhält man sofort eine notwendige Bedingung:

Bei (w_{0}, λ_{0}) kann nur dann Verzweigung stattfinden, wenn C := D_{w}F (w_{0}, λ_{0}) keine beschränkte Inverse besitzt, d.h. wenn 0 ∈ σ(C).

Eine Verzweigung mit 0 ∈ σ_{p}(C) und dim N (C) < ∞ wird — der Dimension entsprechend — als Verzweigung von einem einfachen bzw. mehrfachen Eigenwert bezeichnet.

Eine naheliegende Verallgemeinerung des Problems ist nun, mehrdimensionale Parameter zuzulassen. Bei einem zweidimensionalen Problem mit Parameter (λ, σ) ∈ IR^{2} wird man dann zunächst σ fest lassen und die Verzweigungswerte λ(σ) bestimmen. Bei Variation von σ werden dann aus den Verzweigungswerten Verzweigungskurven.

1.2 Verzweigungsprobleme bei Differentialgleichungen

Wir betrachten hier eine verallgemeinerte gewöhnliche DGL der Form

ẇ = F (w, λ)  (1.1)

für w(t) ∈ B (t ≥ 0) mit Bifurkationsparameter λ ∈ IR^{n} und F (0, λ) = 0 ∀ λ. In Anwendungen repräsentiert t meistens die Zeit.

Zur Diskussion eines solchen Dynamischen Systems wird man zuerst versuchen, zeitlich stationäre und periodische Lösungen ^{2} — zusammengefaßt auch bezeichnet als kritische Lösungen — und deren Stabilität zu bestimmen.

2im unendlichdimensionalen Fall muß der Lösungsbegriff erst noch definiert werden, s.

nächster Abschnitt

Sei C := D_{w}F (0, 0). Die stationären Lösungen sind genau die Nullstellen von F. Ist 0 ∈ σ(C), besteht also die Möglichkeit, daß von Null verschiedene stationäre Lösungen von der trivialen Lösung w(t) ≡ 0 verzweigen. Ist 0 ∉ σ(C), kann keine Verzweigung im bisherigen Sinn stattfinden. Falls σ(C) ∩ iIR ≠ ∅, besteht dann aber die Möglichkeit, daß periodische Lösungen von (1.1) auftreten, die den Nullpunkt umkreisen und bei λ = 0 von ihm verzweigen. Dieses Phänomen ist als Hopf–Verzweigung bekannt.

Bei Verzweigungsproblemen im Zusammenhang mit Differentialgleichungen hat man also zu untersuchen, ob σ(C) ∩ iIR ≠ ∅ gilt.

Wenn F linear in w ist, können wir (1.1) gleich in der Form

ẇ = Cw  (1.2)

schreiben. In vielen Fällen besteht σ(C) nur aus diskreten Eigenwerten endlicher Vielfachheit mit #σ(C) ∩ iIR < ∞. Dann kann man B in C–invariante Teilräume E_{s} ⊕ E_{c} ⊕ E_{u} zerlegen [2] mit ^{3}

Re σ(C|E_{s}) < 0, Re σ(C|E_{c}) = 0, Re σ(C|E_{u}) > 0,
dim E_{c} < ∞.

Wäre eine derartige Zerlegung auch im nichtlinearen Fall möglich, dann würde es also zur Bestimmung von Verzweigungen von (1.1) genügen, diese Gleichung auf E_{c} zu betrachten. Falls dim B = ∞, hätte man damit eine Reduzierung eines unendlichdimensionalen Problems auf ein endlichdimensionales erreicht! Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie man die Zerlegung im nichtlinearen Fall erhält.

1.3 Zentralmannigfaltigkeiten

Wir schreiben zunächst mittels Taylorentwicklung (1.1) als Anfangswertproblem der Form

ẇ = C(λ)w + N(w, λ)  (1.3)

mit Anfangswert w(0) = w_{0} ∈ B, wobei für festes λ ∈ IR^{n} • C(λ) : B → B linear und

3Die Indizes stehen für engl. stable, central und unstable

• N(·, λ) : B → B mit N(0, λ) = 0 ∈ B und D_{w}N(0, λ) = 0 ∈ L(B).

λ wird im folgenden nicht mitgeschrieben.

Wir nehmen an, daß C infinitesimaler Generator einer stetigen Halbgruppe

E(t) := e^{tC} ∈ L(B)

ist.^{4} Dann folgt aus (1.3) die Formel

w(t) = e^{tC}w_{0} + ∫_{0}^{t} e^{(t−s)C}N(w(s)) ds,  (1.4)

die unter dem Begriff Variation der Konstanten bekannt ist.

Jetzt können wir definieren, was unter einer Lösung von (1.1) zu verstehen ist.

1. Eine Funktion w ∈ C([0, T); B) ∩ C^{1}((0, T); B) mit w(t) ∈ D(C) für 0 ≤ t ≤ T, die (1.3) erfüllt, heißt starke oder klassische Lösung.

2. Eine Funktion w mit N(w(·)) ∈ L^{1}((0, T); B), die (1.4) erfüllt, heißt milde Lösung.

Eine starke Lösung ist auch immer eine milde Lösung, was umgekehrt nicht gilt. Der folgende Satz besagt, daß (1.3) lokal eindeutig lösbar ist.

Satz 1.2 Zu w_{0} ∈ B existiert ein T > 0 und genau eine milde Lösung w(t) in [0, T). w ist stetig in t. Falls T maximal und T < ∞, gilt lim_{t→T^{−}} ||w(t)|| = ∞. Falls w_{0} ∈ D(C), ist w sogar starke Lösung.

Beweis in [16]. □

Es sei nun B = X ⊕ Y eine Zerlegung von B in C–invariante Teilräume und P die Projektion auf X längs Y. Dann erhält man mit w = P w+(I −P)w = x+y

ẋ = P ẇ = P Cw + P N(w) = Cx + P N(x + y)
ẏ = (I − P)ẇ = (I − P)Cw + (I − P)N(w) = Cy + (I − P)N(x + y),

4Eine gute Einführung von Halbgruppen wird z.B. in [5] oder [10] gegeben. Ist C beschränkt, so kann die Definition von e^{tC} über die Exponentialreihe erfolgen.

mit A = C|_{X}, B = C|_{Y}, f(x, y) = P N(x, y), g(x, y) = (I − P)N(x + y) kann man also (1.3) zerlegen als

\begin{aligned}ẋ & = & Ax + f(x, y) \\ ẏ & = & By + g(x, y). \end{aligned}  (1.5)

Der folgende Satz liefert dann — unter gewissen Voraussetzungen an A, B, f und g — eine Reduktion von (1.5) auf ein endlichdimensionales Problem.

Satz 1.3 (Zentralmannigfaltigkeiten) Es seien X endlichdimensional, Y abgeschlossen, U(t) := E(t)|_{Y} und folgende Spektralannahmen gültig:

1. σ(A) ⊂ iIR

2. Es gibt a, b > 0 mit ||U(t)|| ≤ ae^{−bt} ∀ t > 0

Dann existiert eine Umgebung U ⊂ X von 0 und eine C^{2}–Funktion h : U → Y mit h(0) = 0 ∈ Y und h′(0) = 0 ∈ L(X, Y), sodaß

M := {w = x + y ∈ B |y = h(x)} ⊂ B

eine bzgl. (1.5) invariante Mannigfaltigkeit ^{5} ist.

Beweis Es soll hier nur die Hauptidee des Beweises dargestellt werden. Der komplette Beweis steht z.B. in [5]. Man wählt eine C^{∞}–Abschneidefunktion ψ : X → [0, 1] mit ψ(x) = 1 für ||x|| ≤ 1 und ψ(x) = 0 für ||x|| ≥ 2 und definiert für ε > 0

F (x, y) = f(ψ(\frac{x}{ε})x, y),
G(x, y) = g(ψ(\frac{x}{ε})x, y).

Man betrachtet das System

\begin{aligned}ẋ & = & Ax + F (x, y) \\ ẏ & = & By + G(x, y) \end{aligned}  (1.6)

und beweist für hinreichend kleine ε > 0 die Existenz einer globalen ZM M für (1.6). Dann ist M zugleich eine lokale ZM für (1.5), da (F, G) und (f, g) für ||x|| ≤ ε übereinstimmen. M selber bzw. die parametrisierende Abbildung h erhält man als Fixpunkt einer Integralgleichung mit dem Banachschen Fixpunktsatz. □

5Das bedeutet für eine Lösung w(t) = x(t) + y(t) von (1.5):

w(0) ∈ M ⇒ w(t) ∈ M ∀ 0 < t < T

Bemerkungen:

1. M heißt Zentralmannigfaltigkeit (ZM) und ist i.a. nicht eindeutig.

2. Vor wenigen Jahren wurde bewiesen [7], daß h und damit M C^{k} ist, wenn auch f und g C^{k} sind.

Setzt man in der ersten Gleichung von (1.5) h(x) für y ein, so erhält man auf M die Gleichung

u̇ = Au + f(u, h(u)),  (1.7)

die schon die gewünschte Reduktion von (1.3) darstellt. Leider läßt sich in den wenigste Fällen eine ZM explizit angeben. Hier hilft einem der folgende Satz weiter, der zeigt, daß man im Prinzip eine ZM — und damit auch (1.7) — mit beliebiger Genauigkeit approximieren kann.

Satz 1.4 (Approximation einer ZM) Es sei U ⊂ X eine Umgebung von 0 und ϕ : X → D(B) ⊂ Y mit ϕ(0) = 0 ∈ Y und ϕ′(0) = 0 ∈ L(X, Y). Für x ∈ X sei weiter

(Mϕ)(x) := ϕ′(x) [Ax + f(x, ϕ(x))] − Bϕ(x) − g(x, ϕ(x)).  (1.8)

Gilt dann für ein q > 1 : (Mϕ)(x) = O(|x|^{q}) (|x| → 0), so ist auch ||h(x) − ϕ(x)|| = O(|x|^{q}).

Beweis in [5] □

Die Formel (1.8) wird anschaulicher, wenn man die Gleichung h(x(t))−y(t) = 0 mit der Kettenregel nach t ableitet, (1.5) einsetzt und Mh = 0 erhält.

Schließlich sei hier noch ein Satz über die exponentielle Attraktivität von M zitiert.

Satz 1.5 (Attraktivität der ZM) Es sei (x(t), y(t)) eine Lösung von (1.6) mit genügend kleinen Anfangswerten (x(0), y(0)). Dann gibt es positive Konstanten c und μ mit

||y(t) − h(x(t))|| ≤ ce^{−μt}||y(0) − h(x(0))||,

d.h. die Lösung nähert sich mit exponentieller Rate der globalen ZM.

Beweis in [5]. □

Bemerkung: Ist (x(t), y(t)) eine Lösung von (1.5), die für alle t > 0 in einer kleinen Umgebung von 0 bleibt, so ist Satz 1.5 natürlich auch anwendbar, d.h. (x(t), y(t)) strebt gegen die lokale ZM.

Die Sätze 1.3–1.5 liefern nun den Schlüssel zur Untersuchung von (1.1):

1. Reduktion von (1.1) mittels Satz 1.3 und 1.4 auf das endlichdimensionales Problem (1.7).

2. Diskussion von (1.7).

3. Verallgemeinerung der Ergebnisse dieser Diskussion auf (1.1) mittels Satz 1.5.

Dabei sind natürlich noch viele Einzelheiten zu klären. Dies geschieht am Beispiel eines speziellen Bifurkationsproblems, einer von zwei Parametern abhängenden Reaktions–Diffusions–Gleichung.

1.4 Formulierung des Problems

In dieser Arbeit soll das System von Reaktions–Diffusions–Gleichungen

\begin{aligned}ẇ & = & Dw′′ + (A + λB + σC)w + Ñ(w) \\ w(0, t) & = & w(π, t) = 0 \end{aligned}  (1.9)

auf Verzweigungen, insbesondere Sekundärverzweigungen, untersucht werden.

Dabei sind

• w : IR_{+} → B := {L^{2}(0, π)}^{2}

• w(t) = (u(t), v(t)) für t ≥ 0

• A, B, C, D reelle 2 × 2-Matrizen, D positive Diagonalmatrix

• Ñ : B → B nichtlinear mit Ñ(0) = 0, D_{w}Ñ(0) = 0.

Dieses System modelliert eine biochemische Reaktion, die in der entsprechenden Fachliteratur als Brusselator bekannt ist.

Nach Satz (1.2) ist das System für jeden Anfangswert w_{0} ∈ B lokal eindeutig lösbar. Insbesondere ist w ≡ 0 immer eine Lösung.

Zur Anwendung der Theorie aus den letzten Abschnitten betrachten wir zunächst den linearen Teil

L(λ, σ)w := Dw′′ + (A + λB + σC)w.

Mit dem Definitionsbereich

D := {H^{2}(0, π) ∩ H_{0}^{1}(0, π)}^{2}

besitzt L(λ, σ) ein Spektrum, das nur aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit besteht, die sich nirgends häufen.^{6} Insbesondere ist also L(λ, σ) ein sektorieller^{7} Operator und damit infinitesimaler Generator einer stetigen Halbgruppe E(t) = e^{tL}.

Zur Berechnung des Spektrums betrachten wir das zugehörige lineare Eigenwertproblem

\begin{aligned}Dw′′ + (A + λB + σC − μI)w & = & 0 \\ w(0) = w(π) & = & 0 \end{aligned}  (1.10)

für w ∈ D.

Mit dem Ansatz

w_{k} = \binom{a_{k}}{b_{k}} sin kξ, k ∈ IN  (1.11)

erhält man als Bedingung an die Eigenwerte μ_{k} von L(λ, σ)

(A + λB + σC − k^{2}D − μ_{k}I)\binom{a_{k}}{b_{k}} sin kξ = 0,

daraus folgt

det(A + λB + σC − k^{2}D − μ_{k}I) = 0  (1.12)

und

\binom{a_{k}}{b_{k}} ∈ Kern (A + λB + σC − k^{2}D − μ_{k}I).

6L(λ, σ) ist eine beschränkte Störung des selbstadjungierten Laplace-Operators. Mit [12] (Theorem 3.17, p.214) erhält man dann, daß L(λ, σ) für ein komplexes μ eine kompakte Resolvente besitzt. Daraus folgt die Beschaffenheit des Spektrums.

7Zur Definition eines sektoriellen Operators s. [10]

Wir nehmen an, daß es eine Verzweigungskurve λ(σ) gibt mit λ(0) = 0, und daß nur Verzweigungen von stabilen Ruhepunkten auftreten ^{8}. Daraus folgt für die Eigenwerte von L = L(0, 0), daß es m_{1},…, m_{j} ∈ IN gibt mit

Re (μ_{k}) = 0 für k = m_{1},…, m_{j}  (1.13)
Re (μ_{k}) < 0 für k ≠ m_{1},…, m_{j}.  (1.14)

Aus (1.12) erhält man mit

Σ_{k} := spur (A − k^{2}D) = spur (A) − k^{2}(D_{1} + D_{2})
Δ_{k} := det(A − k^{2}D) = k^{4}D_{1}D_{2} − k^{2}(D_{1}a_{22} + D_{2}a_{11}) + det(A)

nach Auflösen der entsprechenden quadratischen Gleichung folgende Formel für die Eigenwerte von L(0, 0):

μ_{k}^{±} = \frac{1}{2} \{Σ_{k} ± (Σ_{k}^{2} − 4Δ_{k})^{\frac{1}{2}} \} .

Wie man aus dieser Formel leicht ersieht, gilt (1.13) für μ_{k}^{+} oder μ_{k}^{−} genau dann, wenn

(Σ_{k} < 0 und Δ_{k} = 0)  (1.15)
oder (Σ_{k} = 0 und Δ_{k} ≥ 0)  (1.16)

und (1.14) für μ_{k}^{+} und μ_{k}^{−} genau dann, wenn

Σ_{k} < 0 und Δ_{k} > 0.  (1.17)

Δ_{k} hat höchstens zwei Nullstellen in IN. Ist Δ_{k} = 0 für k = m_{1}, m_{2} und Δ_{k} > 0 für k ≠ m_{1}, m_{2}, so folgt |m_{1} − m_{2}| = 1, weil sonst {Δ_{k}}_{k∈IN} ein negatives Minimum zwischen m_{1} und m_{2} annehmen würde. O.E. sei m_{2} = m_{1} + 1. Σ_{k} hat höchstens eine Nullstelle in IN. Ist Σ_{k} = 0 für k = m_{1} und Σ_{k} < 0 für k ≠ m_{1}, so folgt m_{1} = 1, weil {Σ_{k}}_{k∈IN} eine streng monotone Folge ist.

Mit diesen Überlegungen erhält man, daß nur folgende Fälle zur Erfüllung von (1.13) und (1.14) auftreten können.

1. (1.15) gilt für k = m_{1}, (1.17) gilt für k ≠ m_{1}. Dann ist μ_{m_{1}}^{+} = 0 und μ_{m_{1}}^{−} = spur (A − m_{1}^{2}D) < 0.

8Instabile Ruhepunkte werden in der Natur gewöhnlich nicht beobachtet, weil jede noch so kleine Störung dieser Ruhepunkte, die z.B. bei Experimenten nicht zu vermeiden ist, zum Verlassen der Ruhelage führt

2. (1.16) gilt für k = 1, (1.17) gilt für k > 1.

(a) Falls Δ_{1} > 0, ist μ_{1}^{±} = ±i\sqrt{det(A − D)} ≠ 0.

(b) Falls Δ_{1} = 0, ist μ_{1}^{+} = μ_{1}^{−} = 0.

3. (1.15) gilt für k = m_{1} und k = m_{2} = m_{1} + 1 und (1.17) gilt für k ≠ m_{1}, m_{2}. Dann ist μ_{m_{j}}^{+} = 0, μ_{m_{j}}^{−} = spur (A − m_{i}^{2}D) < 0. (j = 1, 2)

4. (1.15) gilt für k = m_{1} > 1, (1.16) gilt für k = 1 und (1.17) gilt für k ≠ 1, m_{1}.

(a) Falls Δ_{1} > 0, ist μ_{m_{1}}^{+} = 0,μ_{m_{1}}^{−} = spur (A − m_{2}^{2}D) < 0 und μ_{1}^{±} = ±i\sqrt{det(A − D)} ≠ 0.

(b) Falls Δ_{1} = 0, ist μ_{1}^{+} = μ_{1}^{−} = μ_{m_{1}}^{+} = 0, μ_{m_{1}}^{−} = spur (A − m_{2}^{2}D) < 0.

5. (1.15) gilt für k = m_{1} > 1 und k = m_{2} = m_{1} + 1, (1.16) gilt für k = 1 und (1.17) gilt für k ≠ 1, m_{1}, m_{2}. Dann ist μ_{m_{j}}^{+} = 0, μ_{m_{j}}^{−} = spur (A−m_{j}^{2}D) < 0, μ_{1}^{±} = ±i\sqrt{det(A − D)} ≠ 0. (j = 1, 2)

L_{i} bezeichne die Einschränkung von L auf den Eigenraum zu μ_{i}^{±}, ist also eine (2 × 2)–Matrix. Dann sind noch folgende Fallunterscheidungen zur Wahl einer geeigneten Normalform von L_{i} notwendig: Ist Σ_{i} < 0 und Δ_{i} = 0, so ist L_{i} immer diagonalisierbar. Sei Σ_{1} = 0. Für Δ_{1} > 0 ist L_{1} ähnlich zu einer Drehung, für Δ_{1} = 0 entweder eine Tridiagonalmatrix, also nicht diagonalisierbar, oder die Nullmatrix.

In [14] zeigt J.Keener, daß in einer Umgebung von (λ, σ) = (0, 0) Sekundärverzweigung auftreten kann, wenn die Verzweigung von der trivialen Lösung bei σ = 0 von einem mehrfachen Eigenwert ausgeht. Etwas vereinfacht stellt man sich vor, daß der mehrfache Eigenwert in mehrere einfache Eigenwerte zerfällt, wenn σ sich von 0 wegbewegt.

Im dritten Fall hat man bei σ = 0 einen doppelten Eigenwert. Keener hat 1976 in seiner Arbeit [13] genau diesen Fall behandelt und das Auftreten von Sekundärverzweigung bewiesen, wobei (1.9) mit der two–timing–Methode^{9} auf ein zweidimensionales System projiziert wurde. Hauptziel dieser Arbeit ist es, analoge Ergebnisse mit der im vorigen Kapitel vorgestellten Methode der Zentralmannigfaltigkeit zu erhalten.

9Diese Methode wird z.B. in [4] vorgestellt

Im fünften Fall tritt ebenfalls ein doppelter Eigenwert 0 auf, allerdings kommen hier die beiden rein–imaginären Eigenwerte noch dazu, so daß man ein vierdimensionales System erhalten würde, dessen Lösungen u.U. chaotisches Verhalten an den Tag legen. So interessant dieser Fall auch sein mag, eine einigermaßen umfassende Diskussion würde sicherlich den Rahmen dieser Arbeit sprengen. æ

Reduktion auf ein planares System

2.1 Spektralzerlegung des Hilbertraums B

Zur Anwendung von Satz 1.3 zerlegt man nun B wie folgt:

B = X ⊕ Y

wobei die Teilräume X und Y folgende Eigenschaften haben:

• L|_{X} hat nur Eigenwerte mit Re = 0 (hier auch Im = 0)

• L|_{Y} hat nur Eigenwerte mit Re < 0 Zunächst gilt die Fourier–Zerlegung

B = ⨁_{k=1}^{∞} ⟨\binom{1}{0} sin kξ , \binom{0}{1} sin kξ⟩ =: ⨁_{k=1}^{∞} B_{k}.

Auf dem zweidimensionalen Teilraum B_{m_{i}} entspricht L der diagonalisierbaren (2 × 2)–Matrix

L_{i} := L|B_{m_{i}} = A − m_{i}^{2}D

mit Eigenwerten μ_{m_{i}}^{+} und μ_{m_{i}}^{−} und Eigenvektoren \binom{a_{i}^{+}}{b_{i}^{+}} und \binom{a_{i}^{−}}{b_{i}^{−}}. Diese Basisvektoren normieren wir gleich so, daß

| \begin{matrix}a_{i}^{+} & a_{i}^{−} \\ b_{i}^{+} & b_{i}^{−} \end{matrix} | = 1.  (2.1)

Mit

X = ⟨\binom{a_{1}^{+}}{b_{1}^{+}} sin m_{1}ξ, \binom{a_{2}^{+}}{b_{2}^{+}} sin m_{2}ξ⟩ := ⟨w_{1}^{+}, w_{2}^{+}⟩,
Y_{1} = ⟨\binom{a_{1}^{−}}{b_{1}^{−}} sin m_{1}ξ, \binom{a_{2}^{−}}{b_{2}^{−}} sin m_{2}ξ⟩ := ⟨w_{1}^{−}, w_{2}^{−}⟩,
Y_{2} = ⨁_{k≠m_{1},m_{2}} B_{k},
Y = Y_{1} ⊕ Y_{2}

hat man die gesuchte Zerlegung B = X ⊕ Y. Es ist klar, daß X und Y L– invariante Teilräume sind.

Bemerkung: X ist gerade der Kern von L. Betrachtet man das linearisierte Problem

\begin{aligned}ẇ & = & L(0, 0)w = Dw′′ + Aw \\ w(0, t) & = & w(π, t) = 0, w(ξ, 0) = w_{0}(ξ) \end{aligned}  (2.2)

so erhält man mit linearer Stabilitätstheorie, daß die zu k ≠ m_{1}, m_{2} gehörenden Terme in der Fourierentwicklung von w(t) für t → ∞ exponentiell gegen Null konvergieren. w(t) konvergiert also sozusagen gegen den Kern von L und damit in eine Gleichgewichtslage.

2.1.1 Die Projektion auf X längs Y

Wir suchen lineare Funktionale f_{1}, f_{2} ∈ B′ mit

f_{i}(w_{j}^{−}) = 0 und f_{i}(w_{j}^{+}) = δ_{ij} für i, j ∈ {1, 2}.

Dies wird geleistet durch

f_{i}(w) = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} | \begin{matrix}u(ξ) & a_{i}^{−} \\ v(ξ) & b_{i}^{−} \end{matrix} | sin m_{i}ξ dξ,

mit w = (u, v).

Ist w von der Form w(ξ) = w_{0}(ξ)ρ, wobei w_{0} : IR → IR und ρ = (ρ^{1}, ρ^{2}) ∈ IR^{2}, dann lassen sich f_{1} und f_{2} schreiben als

f_{i}(w) = | \begin{matrix}ρ^{1} & a_{i}^{−} \\ ρ^{2} & b_{i}^{−} \end{matrix} | ∫_{0}^{π} w_{0}(ξ) sin m_{i}ξ dξ.

Die gesuchte Projektion P : B → X ist dann

P w = f_{1}(w)w_{1}^{+} + f_{2}(w)w_{2}^{+}.

2.1.2 Ein Beispiel

A = ( \begin{matrix}10 & −9 \\ 12 & −10 \end{matrix} ) D = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) m_{1} = 1 m_{2} = 2

A − D = ( \begin{matrix}9 & −9 \\ 12 & −12 \end{matrix} ) A − 4D = ( \begin{matrix}6 & −9 \\ 12 & −18 \end{matrix} )

A − D hat Eigenwerte μ_{1}^{+} = 0 und μ_{1}^{−} = −3 mit Eigenvektoren \binom{1}{1} und \binom{3}{4}.

A − 4D hat Eigenwerte μ_{2}^{+} = 0 und μ_{2}^{−} = −12 mit Eigenvektoren \binom{3}{2} und \binom{1}{2}. Man hat also eine Zerlegung

X = ⟨\binom{1}{1} sin ξ, \binom{3}{2} sin 2ξ⟩ ⊕ ⟨\binom{3}{4} sin ξ, \binom{1}{2} sin 2ξ⟩

⊕ ⟨\binom{1}{0} sin kξ, \binom{0}{1} sin kξ⟩_{k≥3}

= ⟨w_{1}^{+}, w_{2}^{+}⟩ ⊕ ⟨w_{1}^{−}, w_{2}^{−}⟩ ⊕ ⨁_{k≥3} B_{k}
= X ⊕ Y_{1} ⊕ Y_{2}.

2.2 Reduktion auf eine Zentralmannigfaltigkeit M

2.2.1 Existenz von M

Mit L = L(0, 0) und λ, σ als zusätzlichen formalen Variablen kann man (1.9) schreiben als

ẇ = Lw + N(w, λ, σ)  (2.3)

wobei

N(w, λ, σ) = (λB + σC)w + Ñ(w, λ, σ),
Ñ(w, λ, σ) = ∑_{2≤|α|≤K} ρ_{α}w^{α}.

und K ∈ IN, α ∈ IN^{2}, ρ_{α} ∈ IR^{2}. Der Term (λB + σC)w wird jetzt also zum nichtlinearen Teil N gezählt.

Mit w = P w + (I − P)w = x + y erhält man dann wie in (1.5) das System

\begin{aligned}ẋ & = & P N(x, y, λ, σ) \\ ẏ & = & Ly + (I − P)N(x, y, λ, σ) \\ λ̇ & = & 0 \\ σ̇ & = & 0 \end{aligned}  (2.4)

wobei wir x + y mit (x, y) identifiziert haben.

Zur Anwendung von Satz (1.3) auf dieses System müssen zunächst die Voraussetzungen des Satzes überprüft werden. Wir betrachten zunächst die beiden ersten Gleichungen. Da alle in der linken offenen Halbebene liegenden Eigenwerte von L einen Mindestabstand von der imaginären Achse haben, gibt es a, b > 0 mit ||U(t)|| ≤ ae^{−bt}, wobei U(t) die Einschränkung von e^{tL} auf Y ist. Damit sind die Spektralbedingungen im Satz klar. Die Hinzunahme der beiden letzten Gleichungen ist trivial; der zugrundeliegende Banachraum ist dann B × IR^{2} = (X × IR^{2}) ⊕ Y anstatt B = X ⊕ Y.

Es gibt also eine vierdimensionale ZM M ⊂ B × IR^{2} und eine Funktion h : X × IR^{2} → Y, sodaß sich M parametrisieren läßt als

M = {(x, y, λ, σ) ⊂ X × Y × IR^{2} |y = h(x, λ, σ)}.

Der Fluß auf M ist gegeben durch die gewöhnliche DGL

\begin{aligned}ẋ & = & P N(x, h(x, λ, σ), λ, σ) \\ λ̇ & = & 0 \\ σ̇ & = & 0. \end{aligned}  (2.5)

Mit x = s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+}, s_{1}, s_{2} ∈ IR und P N = f_{1}(N)w_{1}^{+} + f_{2}(N)w_{2}^{+} erhält man wegen der linearen Unabhängigkeit von w_{1}^{+} und w_{2}^{+} folgende DGL für die Koordinaten:

\begin{aligned}ṡ_{1} & = & f_{1}(N(s_{1}, s_{2}, λ, σ)) =: F_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) \\ ṡ_{2} & = & f_{2}(N(s_{1}, s_{2}, λ, σ)) =: F_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) \end{aligned}  (2.6)

2.2.2 Einige Eigenschaften von M

In den wenigsten Fällen ist es möglich, M und damit F = (F_{1}, F_{2}) exakt zu bestimmen (dann hätte man nämlich auch das Ausgangsproblem (1.9) gelöst). Man kann aber zwei wichtige Eigenschaften von F a priori beweisen, die besonders bei der Diskussion von (2.6) im nächsten Kapitel von Nutzen sind.

Lemma 2.1 F (0, 0, λ, σ) = 0

Beweis Im Hinblick auf die Herleitung von (2.6) genügt es zu zeigen, daß h(0, 0, λ, σ) = 0. Wir setzen y_{0} := h(0, 0, λ, σ) und betrachten die Lösung w(t) von (1.9) mit y_{0} ∈ Y als Anfangswert. Für diese Lösung gilt:

• w(t) ist für alle Zeiten t > 0 definiert

• w(t) ∈ Y für alle t > 0

• w(t) ⟶^{t→∞} 0.

Die Spektralzerlegung von w(t) ist

w(t) = x(t) + y(t), x(t) = s_{1}(t)w_{1}^{+} + s_{2}(t)w_{2}^{+} ∈ X, y(t) ∈ Y.

Wegen der Invarianz von M gilt dann: w(t) = h(s_{1}(t), s_{2}(t), λ, σ) mit s_{1}(t) = s_{2}(t) = 0 ∀ t > 0, woraus w(t) = y_{0} = 0 ∀ t > 0 folgt. □

Lemma 2.2 F_{1}(0, s_{2}, λ, σ) = 0, falls m_{1} gerade ist. F_{2}(s_{1}, 0, λ, σ) = 0, falls m_{1} ungerade ist.

Beweis Wir zeigen nur den Fall: m_{1} gerade. Der andere Fall geht analog zu beweisen. Seien

B_{e} := \{w ∈ B |w(\frac{π}{2} − ξ) = w(\frac{π}{2} + ξ) ∀ ξ ∈ [0, \frac{π}{2}]\}
B_{o} := \{w ∈ B |w(\frac{π}{2} − ξ) = −w(\frac{π}{2} + ξ) ∀ ξ ∈ [0, \frac{π}{2}]\}

die Mengen der geraden bzw. ungeraden Funktionen in B (bezüglich \frac{π}{2}). Nach elementaren Regeln über gerade und ungerade Funktionen sind B_{e} und B_{o} abgeschlossene Teilräume von B — sozusagen die gerade und ungerade Hälfte von B — und es gilt: B = B_{e} ⊕ B_{o}.

Diese Zerlegung ist invariant bezüglich (1.9), d.h: Ist w(t) Lösung von (1.9) mit geradem/ungeradem Anfangswert w_{0}, so ist auch w(t) gerade/ungerade für alle t ∈ [0, T]. Man sieht das folgendermaßen: Sei w(t) Lösung von (1.9) mit Anfangsfunktion w_{0} ∈ B_{e}. Man transformiere das System von [0, π] nach [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]. Dann sind w(\frac{π}{2} + ξ, t) und w(\frac{π}{2} − ξ, t) für t ≥ 0 und −\frac{π}{2} ≤ ξ ≤ \frac{π}{2} Lösungen zur selben Anfangsfunktion, stimmen also wegen der Eindeutigkeit des Systems überein.

Es ist also sinnvoll, (1.9) auf B_{e} einzuschränken. Wir erhalten dann, analog zum obigen Vorgehen, eine Zerlegung B_{e} = X_{e} ⊕ Y_{e}, X_{e} eindimensional, und eine ZM M_{e}, parametrisiert durch eine Funktion h_{e}:

M_{e} = {(x, y, λ, σ) ∈ X_{e} × Y_{e} × IR^{2} |y = h_{e}(x, λ, σ)}.

Da Lösungen des eingeschränkten Problems auch Lösungen des allgemeinen Problems sind, gilt

M_{e} = M ∩ (B_{e} × IR^{2}),

d.h. M_{e} enthält genau die geraden Funktionen in M; M_{e} entsteht durch Projektion von M auf die geraden Funktionen. Mit der Darstellung u(ξ, t) = s_{2}(t) sin m_{2}ξ für u ∈ X_{e} folgt:

h_{e}(s_{2}, λ, σ) = h(0, s_{2}, λ, σ) ∈ B_{e}.  (2.7)

Nach Definition entsteht F_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) durch Anwendung des linearen Funktionals f_{1} auf N.

N(0, s_{2}, λ, σ)
= (λB + σC)(s_{2}w_{2}^{+} + h(0, s_{2}, λ, σ)) + ∑_{2≤α≤K} ρ_{α}(s_{2}w_{2}^{+} + h(0, s_{2}, λ, σ))^{α}.

Nun gilt:

w_{2}^{+} = \binom{a_{2}^{+}}{b_{2}^{+}} sin m_{2}ξ ∈ B_{e}, da m_{2} ungerade

Anwendung der Rechenregeln für gerade Funktionen ergibt zusammen mit (2.7):

N(0, s_{2}, λ, σ) ∈ B_{e}.

f_{1} bildet gerade Funktionen auf Null ab:

f_{1}(N(0, s_{2}, λ, σ)) = F_{1}(0, s_{2}, λ, σ) = 0
□

2.3 Asymptotische Berechnung des Flusses auf M

Wenn ein Term T von k-ter Ordnung in (s_{1}, s_{2}, λ, σ) ist, d.h. T = O((|λ| + |σ| + |s_{1}| + |s_{2}|)^{k}), k ∈ IN, schreiben wir zur Abkürzung: T = O(k).

Entsprechend der Zerlegung von B läßt sich w ∈ B schreiben als

w = s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+} + h(s_{1}, s_{2}, λ, σ) (h ∈ Y)
h = p_{1}w_{1}^{−} + p_{2}w_{2}^{−} + h_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) (h_{2} ∈ Y_{2}).

p_{1} und p_{2} sind die Fourierkoeffizienten von h zu den Moden sin m_{1}ξ und sin m_{2}ξ. Da (λB + σC)w = O(2) zum nichtlinearen Teil N der zu reduzierenden Differentialgleichung gehört, ist auch h = h(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = O(2) und damit p_{i} = p_{i}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = O(2) für i = 1, 2.

2.3.1 Der lineare Teil

Für i = 1, 2 sei W_{i} die Matrix zum Basiswechsel (e_{1}, e_{2}) → (w_{i}^{+}, w_{i}^{−}). ^{1} Dann beschreibt W_{i}^{−1}(λB + σC)W_{i} die lineare Abbildung λB + σC in Koordinaten der Basis (w_{i}^{+}, w_{i}^{−}). Die Bilder der Basisvektoren sind dann

w_{i}^{+} ↦ d_{11}^{(i)}w_{i}^{+} + d_{21}^{(i)}w_{i}^{−}
w_{i}^{−} ↦ d_{12}^{(i)}w_{i}^{+} + d_{22}^{(i)}w_{i}^{−}

wobei d_{11}^{(i)}, d_{12}^{(i)}, d_{21}^{(i)}, d_{22}^{(i)} die Komponenten von W_{i}^{−1}(λB+σC)W_{i} sind und linear von λ und σ abhängen.

Wir erhalten also

(λB + σC)w = s_{1}(d_{11}^{(1)}w_{1}^{+} + d_{21}^{(1)}w_{1}^{−}) + s_{2}(d_{11}^{(2)}w_{2}^{+} + d_{21}^{(2)}w_{2}^{−})
+ p_{1}(d_{12}^{(1)}w_{1}^{+} + d_{22}^{(1)}w_{1}^{−}) + p_{2}(d_{12}^{(2)}w_{2}^{+} + d_{22}^{(2)}w_{2}^{−})
+ (λB + σC)h_{2}.

Bei Anwendung von f_{1} und f_{2} fallen nun die meisten Terme weg:

f_{i} ((λB + σC)w) = s_{i}d_{11}^{(i)} + p_{i}d_{12}^{(i)}.

1w_{i}^{±} sind Funktionen, aber wir identifizieren X mit IR^{2}

Bei der Berechnung von W_{i}^{−1}(λB + σC)W_{i} läßt sich wegen (2.1) die Inverse von W_{i} besonders einfach darstellen:

W_{i} = ( \begin{matrix}a_{i}^{+} & a_{i}^{−} \\ b_{i}^{+} & b_{i}^{−} \end{matrix} ) , W_{i}^{−1} = ( \begin{matrix}b_{i}^{−} & −a_{i}^{−} \\ −b_{i}^{+} & a_{i}^{+} \end{matrix} ) .  (2.8)

2.3.2 Quadratische Nichtlinearitäten

Da (λB + σC)w = O(2) zum nichtlinearen Teil N gehört, ist auch h = O(2). Die Terme zweiter Ordnung in N lassen sich darstellen als

N = (λB + σC)(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+}) + ∑_{|α|=2} ρ_{α}(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+})^{α} + O(3),

es treten also überhaupt keine Terme mit h auf. Durch Ausmultiplizieren erhält man

∑_{|α|=2} ρ_{α}(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+})^{α}

= ∑_{|α|=2} ρ_{α}(s_{1}a_{1}^{+} sin m_{1}ξ + s_{2}a_{2}^{+} sin m_{2}ξ)^{α_{1}}(s_{1}b_{1}^{+} sin m_{1}ξ + s_{2}b_{2}^{+} sin m_{2}ξ)^{α_{2}}
= s_{1}^{2} sin^{2} m_{1}ξ{(a_{1}^{+})^{2}ρ_{20} + a_{1}^{+}b_{1}^{+}ρ_{11} + (b_{1}^{+})^{2}ρ_{02}}

+ s_{1}s_{2} sin m_{1}ξ sin m_{2}ξ{2a_{1}^{+}a_{2}^{+}ρ_{20} + (a_{1}^{+}b_{2}^{+} + a_{2}^{+}b_{1}^{+})ρ_{11} + 2b_{1}^{+}b_{2}^{+}ρ_{02}} + s_{2}^{2} sin^{2} m_{2}ξ{(a_{2}^{+})^{2}ρ_{20} + a_{2}^{+}b_{2}^{+}ρ_{11} + (b_{2}^{+})^{2}ρ_{02}}

=: (s_{1}^{2} sin^{2} m_{1}ξ)η_{20} + (s_{1}s_{2} sin m_{1}ξ sin m_{2}ξ)η_{11} + (s_{2}^{2} sin^{2} m_{2}ξ)η_{02}.

Bei Anwendung von f_{1} und f_{2} auf N sind dann Integrale dritter Potenzen von Sinus auszurechnen. Mit der Eulerschen Formel sin ξ = \frac{1}{2i}(e^{iξ} − e^{−iξ}) und n = m_{1}, n + 1 = m_{2} gilt

∫_{0}^{π} sin^{3} nξ dξ = \{ \begin{matrix}0 & falls n gerade \\ \frac{4}{3n} & falls n ungerade \end{matrix}

∫_{0}^{π} sin^{2} nξ sin(n + 1)ξ dξ = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} (\frac{2}{n+1} + \frac{1}{n−1} − \frac{1}{3n+1}) & falls n gerade \\ 0 & falls n ungerade \end{matrix}

∫_{0}^{π} sin nξ sin^{2}(n + 1)ξ dξ = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} (\frac{2}{n} + \frac{1}{n+2} − \frac{1}{3n+2}) & falls n ungerade \\ 0 & falls n gerade \end{matrix}
∫_{0}^{π} sin^{3}(n + 1)ξ dξ = \{ \begin{matrix}0 & falls n ungerade \\ \frac{4}{3n+3} & falls n gerade \end{matrix}

Zusammenfassend erhält man dann für die Terme 2. Ordnung in F_{1} und F_{2}:

n gerade:

F_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = d_{11}^{(1)}(λ, σ)s_{1}

+ \frac{1}{π} (\frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n − 1} − \frac{1}{3n + 1}) | \begin{matrix}η_{11}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{11}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | s_{1}s_{2} + O(3)

F_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = d_{11}^{(2)}(λ, σ)s_{2} + \frac{1}{π} (\frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n − 1} − \frac{1}{3n + 1}) | \begin{matrix}η_{20}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{20}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | s_{1}^{2}

+ \frac{2}{π} \frac{4}{3n + 3} | \begin{matrix}η_{02}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{02}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | s_{2}^{2} + O(3)

n ungerade:

F_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = d_{11}^{(1)}(λ, σ)s_{1} + \frac{2}{π} \frac{4}{3n} | \begin{matrix}η_{20}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{20}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | s_{1}^{2}

+ \frac{1}{π} (\frac{2}{n} + \frac{1}{n + 2} − \frac{1}{3n + 2}) | \begin{matrix}η_{02}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{02}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | s_{2}^{2} + O(3)

F_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = d_{11}^{(2)}(λ, σ)s_{2}

+ \frac{1}{π} (\frac{2}{n} + \frac{1}{n + 2} − \frac{1}{3n + 2}) | \begin{matrix}η_{11}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{11}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | s_{1}s_{2} + O(3).

Für den Fall n gerade erhält man also ein gewöhnliches DGL–System folgender Form:

\begin{aligned}ṡ_{1} & = & (A_{1}λ + B_{1}σ)s_{1} + C_{1}s_{1}s_{2} + H_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) \\ ṡ_{2} & = & (A_{2}λ + B_{2}σ)s_{2} + Cs_{1}^{2} + C_{2}s_{2}^{2} + H_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ), \end{aligned}  (2.9)

dabei sind die Konstanten A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, C_{1}, C_{2}, C gemäß der oben hergeleiteten Formeln zu bestimmen und H_{1}, H_{2} = O(3) die Terme höherer Ordnung in F_{1} und F_{2}.

Man kann sich auf den Fall n gerade beschränken; den Fall n ungerade erhält man durch Vertauschen von s_{1} und s_{2}.

2.3.3 Kubische Nichtlinearitäten

Falls Ñ keine quadratischen Nichtlinearitäten enthält, sondern nur solche dritter und höherer Ordnung, müssen auch die Terme dritter Ordnung in F = (F_{1}, F_{2})^{T} ausgerechnet werden. Es gilt

N = (λB + σC)(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+} + h) + ∑_{|α|=3} ρ_{α}(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+} + h)^{α} + O(4),

wir benötigen also eine Approximation ϕ von h zweiter Ordnung, die wir durch Satz 1.4 erhalten. Wenn man den Satz auf (2.4) anwendet, folgt mit

Mϕ := \frac{d}{ds_{1}} ϕf_{1}(N) + \frac{d}{ds_{2}} ϕf_{2}(N) − Lϕ − (I − P)N

daß h = ϕ + O(k) genau dann gilt, wenn Mϕ = O(k). Wegen \frac{d}{ds_{i}} ϕ = O(1) und f_{i}(N) = O(2) für i = 1, 2 ist Mϕ = −Lϕ − (I − P)N + O(3). Wir haben also eine Approximation zweiter Ordnung ϕ von h gefunden, wenn

Lϕ = −(I − P)N.

Weil keine quadratischen Terme in Ñ auftreten, ist

N = (λB + σC)(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+}) + O(3)
= s_{1}d_{11}^{(1)}w_{1}^{+} + s_{1}d_{21}^{(1)}w_{1}^{−} + s_{2}d_{11}^{(2)}w_{2}^{+} + s_{2}d_{21}^{(2)}w_{2}^{−} + O(3),
(I − P)N = s_{1}d_{21}^{(1)}w_{1}^{−} + s_{2}d_{21}^{(2)}w_{2}^{−} + O(3).

Wir setzen ϕ := p_{1}w_{1}^{−} + p_{2}w_{2}^{−}, dann ist Lϕ = μ_{1}^{−}p_{1}w_{1}^{−} + μ_{2}^{−}p_{2}w_{2}^{−}. Für

p_{1} = −s_{1}d_{21}^{(1)} (μ_{1}^{−})^{−1}
p_{2} = −s_{2}d_{21}^{(2)} (μ_{2}^{−})^{−1}

ist also Mϕ = O(3) und damit h = p_{1}w_{1}^{−} + p_{2}w_{2}^{−} + O(3).

Einsetzen von ϕ in N ergibt

N = (λB + σC)(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+} + p_{1}w_{1}^{−} + p_{2}w_{2}^{−}) + ∑_{|α|=3} ρ_{α}(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+}) + O(4)

∑_{|α|=3} ρ_{α}(s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+})^{α}

= ∑_{|α|=3} ρ_{α}(s_{1}a_{1}^{+} sin m_{1}ξ + s_{2}a_{2}^{+} sin m_{2}ξ)^{α_{1}}(s_{1}b_{1}^{+} sin m_{1}ξ + s_{2}b_{2}^{+} sin m_{2}ξ)^{α_{2}}

= s_{1}^{3} sin^{3} m_{1}ξ \{ \begin{matrix}(a_{1}^{+})^{3}ρ_{30} + (a_{1}^{+})^{2}b_{1}^{+}ρ_{21} \\ + a_{1}^{+}(b_{1}^{+})^{2}ρ_{12} + (b_{1}^{+})^{3}ρ_{03} \end{matrix} \}

+ s_{1}^{2}s_{2} sin^{2} m_{1}ξ sin m_{2}ξ \{ \begin{matrix}3(a_{1}^{+})^{2}a_{2}^{+}ρ_{30} + ((a_{1}^{+})^{2}b_{2}^{+} + 2a_{1}^{+}a_{2}^{+}b_{1}^{+})ρ_{21} \\ + (2a_{1}^{+}b_{1}^{+}b_{2}^{+} + (b_{1}^{+})^{2}a_{2}^{+})ρ_{12} + 3(b_{1}^{+})^{2}b_{2}^{+}ρ_{03} \end{matrix} \}

+ s_{1}s_{2}^{2} sin m_{1}ξ sin^{2} m_{2}ξ \{ \begin{matrix}3a_{1}^{+}(a_{2}^{+})^{2}ρ_{30} + (a_{1}^{+}(b_{2}^{+})^{2} + 2a_{1}^{+}a_{2}^{+}b_{2}^{+})ρ_{21} \\ + (2a_{2}^{+}b_{1}^{+}b_{2}^{+} + b_{1}^{+}(a_{2}^{+})^{2})ρ_{12} + 3b_{1}^{+}(b_{2}^{+})^{2}ρ_{03} \end{matrix} \}

+ s_{2}^{3} sin^{3} m_{2}ξ \{ \begin{matrix}(a_{2}^{+})^{3}ρ_{30} + (a_{2}^{+})^{2}b_{2}^{+}ρ_{21} \\ + a_{2}^{+}(b_{2}^{+})^{2}ρ_{12} + (b_{2}^{+})^{3}ρ_{03} \end{matrix} \}

=: (s_{1}^{3} sin^{3} m_{1}ξ)η_{30} + (s_{1}^{2}s_{2} sin^{2} m_{1}ξ sin m_{2}ξ)η_{21}

+ (s_{1}s_{2}^{2} sin m_{1}ξ sin^{2} m_{2}ξ)η_{12} + (s_{2}^{3} sin^{3} m_{2}ξ)η_{03}.

Diesmal treten bei der Projektion Integrale vierter Potenzen von Sinus auf, welche wieder mit der Eulerschen Formel ausgerechnet werden:

∫_{0}^{π} sin^{4} nξ dξ = \frac{3π}{8}

∫_{0}^{π} sin^{3} nξ sin(n + 1)ξ dξ = 0

∫_{0}^{π} sin^{2} nξ sin^{2}(n + 1)ξ dξ = \frac{π}{4}

∫_{0}^{π} sin nξ sin^{3}(n + 1)ξ dξ = 0

Hier ist also keine Fallunterscheidung m_{1} gerade/ungerade nötig.

Anwendung von f_{1} und f_{2} auf N ergibt hier

F_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = s_{1}d_{11}^{(1)} + p_{1}d_{12}^{(1)}

+\frac{3}{4} | \begin{matrix}η_{30}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{30}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | s_{1}^{3} + \frac{1}{2} | \begin{matrix}η_{12}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{12}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | s_{1}s_{2}^{2} + O(4),

F_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = s_{2}d_{11}^{(2)} + p_{2}d_{12}^{(2)}

+\frac{1}{2} | \begin{matrix}η_{21}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{21}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | s_{1}^{2}s_{2} + \frac{3}{4} | \begin{matrix}η_{03}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{03}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | s_{2}^{2} + O(4).

Damit erhalten wir als Approximation des Flusses auf der Zentralmannigfaltigkeit

\begin{aligned}ṡ_{1} & = & s_{1}(P_{1}(λ, σ) + C_{11}s_{1}^{2} + C_{12}s_{2}^{2}) + H_{1}(s_{1}, s_{2}, λ, σ) \\ ṡ_{2} & = & s_{2}(P_{2}(λ, σ) + C_{21}s_{1}^{2} + C_{22}s_{2}^{2}) + H_{2}(s_{1}, s_{2}, λ, σ). \end{aligned}  (2.10)

Dabei sind H_{1}, H_{2} = O(4) die Terme 4. Ordnung in F, die C_{ij} Konstanten und die P_{i} Polynome zweiten Grades in (λ, σ) der Form

P_{i}(λ, σ) = A_{i}λ + B_{i}σ + C_{i}λ^{2} + D_{i}λσ + E_{i}σ^{2}.

Die Konstanten A_{i} und B_{i} sind dieselben wie in (2.9).

Diskussion des planaren Systems

Nachdem die partielle DGL auf ein planares System reduziert wurde, soll dieses nun analysiert werden im Hinblick auf

• Stationäre Lösungen und ihre Stabilität

• Periodische Lösungen und ihre Stabilität

• Verzweigungskurven in der (λ, σ)–Ebene

• Stabilitätswechsel bei den Verzweigungen

3.1 Quadratische Nichtlinearitäten

Bei der Bestimmung der Nullstellen der rechten Seite von (2.9) werden wir zunächst das abgeschnittene System

\begin{aligned}ṡ_{1} & = & (A_{1}λ + B_{1}σ)s_{1} + C_{1}s_{1}s_{2} \\ ṡ_{2} & = & (A_{2}λ + B_{2}σ)s_{2} + Cs_{1}^{2} + C_{2}s_{2}^{2} \end{aligned}  (3.1)

betrachten und dessen Ruhepunkte und periodische Lösungen bestimmen. Es muß natürlich dann gezeigt werden, daß die Lösungen von (3.1) eine ”gute“ Approximation der Lösungen von (2.9) darstellen. Wir nehmen an, daß alle Koeffizienten sowie die Kombinationen (A_{1}B_{2}−A_{2}B_{1}), (A_{1}C_{2}−A_{2}C_{1}), (B_{1}C_{2}− B_{2}C_{1}) von Null verschieden sind.

3.1.1 Bestimmung der kritischen Punkte

Die stationären Lösungen von (3.1) sind genau die Nullstellen der rechten Seite von (3.1). Diese sind, wie man leicht ausrechnet, gegeben durch

s_{1} = 0,  s_{2} = 0  (3.2)
s_{1} = 0,  s_{2} = −\frac{A_{2}λ + B_{2}σ}{C_{2}}  (3.3)
s_{1}^{2} = P (λ, σ) = K_{1}λ^{2} + K_{2}λσ + K_{3}σ^{2},  s_{2} = −\frac{A_{1}λ + B_{1}σ}{C_{1}} , (3.4)

mit Koeffizienten

K_{1} = −\frac{A_{1}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})}{C_{1}^{2}C}
K_{2} = −\frac{A_{1}(B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}) + B_{1}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})}{C_{1}^{2}C}
K_{3} = −\frac{B_{1}(B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1})}{C_{1}^{2}C}.

Als Diskriminante δ von P (λ, σ) erhält man

δ = σ^{2}(K_{2}^{2} − 4K_{1}K_{3}) = σ^{2} \frac{(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})^{2}}{C_{1}^{2}C^{2}} > 0,

P (λ, σ) hat also zwei reelle Nullstellen λ_{+} und λ_{−}:

λ_{±} = \frac{−K_{2}σ ± \sqrt{δ}}{2K_{1}} .

Einsetzen von K_{1}, K_{2} und δ in den Bruch ergibt

λ_{−} = −σ \frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} , λ_{+} = −σ \frac{B_{1}}{A_{1}} .

Bei λ_{−} schneiden sich außerdem die beiden Geraden −\frac{A_{1}λ+B_{1}σ}{C_{1}} und −\frac{A_{2}λ+B_{2}σ}{C_{2}}.

Einen dritten Verzweigungswert λ_{0} erhält man als Schnittpunkt der Geraden −\frac{A_{2}λ+B_{2}σ}{C_{2}} mit der Achse \{s_{1} = s_{2} = 0\}:

λ_{0} = −σ \frac{B_{2}}{A_{2}} .

Durch (3.2)–(3.4) sind drei Lösungszweige bestimmt. Dabei ist (3.4) nur für die λ definiert, für welche P (λ, σ) ≥ 0 ist.

Falls K_{1} < 0, ist dies der Fall, wenn λ zwischen λ_{+} und λ_{−} liegt. Durch (3.4) ist dann eine Ellipse definiert. Falls K_{1} > 0, ist (3.4) definiert, wenn λ nicht zwischen λ_{+} und λ_{−} liegt. Man hat hier zwei Parabelzweige mit Scheitelpunkten bei λ_{−} bzw. λ_{+}. In den Abbildungen 3.1 bis 3.6 sind die einzelnen Zweige und ihre Stabilitäten dargestellt.

Setzt man die Verzweigungswerte λ_{+}, λ_{−}, λ_{0} in (3.2)–(3.4) ein, so erhält man folgende Verzweigungspunkte:

λ_{−} : s_{1} = 0,  s_{2} = −σ \frac{A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}}
λ_{+} : s_{1} = 0,  s_{2} = 0
λ_{0} : s_{1} = 0,  s_{2} = 0.

Diese Ergebnisse lassen sich zusammenfassend so darstellen:

• (3.2) und (3.3) schneiden sich bei λ_{0}

• (3.2) und (3.4) schneiden sich bei λ_{+}

• (3.3) und (3.4) schneiden sich bei λ_{−}

λ_{−} ist offenbar ein Sekundärverzweigungswert.

Variiert man σ in einer kleinen Ungebung von 0, so werden aus den Verzweigungswerten λ_{+}, λ_{−} und λ_{0} Verzweigungskurven. Diese drei Kurven teilen die (λ, σ)–Ebene in sechs Sektoren. In jedem Sektor sind die Phasenportraits von (3.1) zueinander topologisch äquivalent. Bei Übergang von einem Sektor in einen anderen können neue stationäre Lösungen und Stabilitätswechsel auftreten. (vgl. Abbildung 4.1 auf Seite 58) Unter gewissen Voraussetzungen an die Koeffizienten von (3.1) gibt es noch eine weitere Verzweigungskurve, auf der periodische Lösungen auftreten. Darüber mehr im nächsten Abschnitt.

3.1.2 Stabilität der stationären Lösungen

Die im vorigen Abschnitt berechneten stationären Lösungen von (3.1) werden mittels linearer Stabilitätsanalyse untersucht.

Sei x_{0} ∈ IR^{2} ein stationärer Punkt der Differentialgleichung ẋ = f(x), also f(x_{0}) = 0, und Df(x_{0}) die Linearisierung von f in x_{0}. Dann ist der Ruhepunkt x_{0} 1. instabil, wenn Df(x_{0}) mindestens einen Eigenwert mit positivem Realteil

hat, und

2. asymptotisch stabil, wenn beide Eigenwerte von Df(x_{0}) negativen Realteil haben.

Sind die Eigenwerte rein-imaginär oder Null, so ist hieraus keine Aussage über die Stabilität von x_{0} möglich.

Sehr nützlich ist folgendes Lemma, das die Bestimmung der Stabilität anhand der Determinante und der Spur von Df(x_{0}) erlaubt.

Lemma 3.1 (Stabilitätskriterium) Es seien x_{0} und f wie oben definiert.

1. Falls det Df(x_{0}) < 0, ist x_{0} instabil.

2. Falls det Df(x_{0}) > 0 und spur Df(x_{0}) > 0, ist x_{0} instabil.

3. Falls det Df(x_{0}) > 0 und spur Df(x_{0}) < 0, ist x_{0} asymptotisch stabil.

Beweis Anwendung linearer Stabilitätstheorie und des Routh–Hurwitz– Kriteriums (genaueres in [11]). □

Ist (s_{1}, s_{2}) ein Ruhepunkt von (3.1), so ist die Jacobimatrix in diesem Punkt

A(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = ( \begin{matrix}A_{1}λ + B_{1}σ + C_{1}s_{2} & C_{1}s_{1} \\ 2Cs_{1} & A_{2}λ + B_{2}σ + 2C_{2}s_{2} \end{matrix} )  (3.5)

Da die Eigenwerte von A von den Koeffizienten abhängen, werden hiernach Fallunterscheidungen nötig sein, die am besten in Form von Tabellen vorgenommen werden. Wir nehmen zur Vereinfachung an, daß A_{1} > 0 und A_{2} > 0 gilt. Aus den folgenden Ausführungen wird klar werden, wie man die übrigen drei Fälle erhält.

Stabilität des Lösungszweiges s_{1} = 0, s_{2} = 0

Wir nehmen an, daß λ ≠ λ_{+}, λ_{0}.

A(0, 0, λ, σ) ist diagonal mit den Eigenwerten A_{1}λ + B_{1}σ und A_{2}λ + B_{2}σ. Die triviale Lösung (3.2) ist instabil, wenn

A_{1}λ + B_{1}σ > 0 oder A_{2}λ + B_{2}σ > 0 ⇔ λ > λ_{+} oder λ > 0

σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) λ_{+} − λ_{0} stabil instabil
+  +  λ < λ_{0} λ > λ_{0}
−  −  λ < λ_{+} λ > λ_{+}

Tabelle 3.1: Stabilitätsbereiche des Lösungszweiges s_{1} = 0, s_{2} = 0 Die Lage der Verzweigungswerte zueinander ist bestimmt durch

sgn (λ_{+} − λ_{0}) = −sgn σ (\frac{B_{1}}{A_{1}} − \frac{B_{2}}{A_{2}} ) = sgn σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}).

Damit erhält man Tabelle 3.1. (+ und − geben die Vorzeichen an) Stabilität des Lösungszweiges s_{1} = 0, s_{2} = −\frac{A_{2}λ+B_{2}σ}{C_{2}} Wir nehmen an, daß λ ≠ λ_{0}, λ_{−}. A(0, s_{2}, λ, σ) ist wieder diagonal mit den Eigenwerten

(A_{1} − \frac{C_{1}}{C_{2}} A_{2}) λ + (B_{1} − \frac{C_{1}}{C_{2}} B_{2}) σ, −(A_{2}λ + B_{2}σ).

(3.3) ist instabil, wenn

(A_{1} − \frac{C_{1}}{C_{2}} A_{2}) λ + (B_{1} − \frac{C_{1}}{C_{2}} B_{2}) σ > 0

oder − (A_{2}λ + B_{2}σ) < 0

⇔ (λ > λ_{−} und (A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})C_{2} > 0)

oder (λ < λ_{−} und (A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})C_{2} > 0) oder λ < λ_{0}.

sgn (λ_{0} − λ_{−}) = −sgn σ (\frac{B_{2}}{A_{2}} − \frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} ) = −sgn σ \frac{C_{2}(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})}{A_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})}
= −sgn σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}).

Damit erhält man Tabelle 3.2.

σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) λ_{0} − λ_{−}  stabil  instabil
+  +  −  λ_{0} < λ < λ_{−} λ < λ_{0} oder λ > λ_{−}
−  +  +  nie  immer
+  −  +  λ > λ_{0}  λ < λ_{0}
−  −  −  λ > λ_{−}  λ < λ_{−}

Tabelle 3.2: Stabilitätsbereiche des Lösungszweiges s_{1} = 0, s_{2} = −\frac{A_{2}λ+B_{2}σ}{C_{2}}

Stabilität des Lösungszweiges s_{1}^{2} = P (λ, σ), s_{2} = −\frac{A_{1}λ+B_{1}σ}{C_{1}}

Wir nehmen an, daß λ ≠ λ_{−}, λ_{+}. Hier ist

A(s_{1}, s_{2}, λ, σ) = ( \begin{matrix}0 & C_{1}s_{1} \\ 2Cs_{1} & S(λ, σ) \end{matrix} )

mit

S(λ, σ) := (A_{2} − 2\frac{C_{2}}{C_{1}} A_{1}) λ + (B_{2} − 2\frac{C_{2}}{C_{1}} B_{1}) σ.

Nach Definition von K_{1} gilt

sgn K_{1} = −sgn C_{1}^{2}C(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})  (3.6)
⇔ sgn C_{1}C_{2} = −sgn CC_{1}K_{1}C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}).  (3.7)

Weiter ist

sgn (λ_{+} − λ_{−}) = −sgn σ (\frac{B_{1}}{A_{1}} − \frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} ) = −sgn σ \frac{C_{1}(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})}{A_{1}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})}
= −sgn σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})C_{1}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1})
= sgn σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1})CC_{1}K_{1}.

(i) CC_{1} > 0 Wegen det A = −2CC_{1}s_{1}^{2} < 0 sind alle Ruhepunkte auf diesem Zweig instabil. Aus (3.7) erhalten wir die Implikation

C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) < 0 ⇒ K_{1} > 0,

denn C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) und C_{1}C_{2} können nicht beide negativ sein. In Tabelle 3.3 wurde das Vorzeichen von C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) nur mit aufgenommen, um einen Vergleich mit Tabelle 3.4 zu erleichtern.

σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) K_{1} λ_{+} − λ_{−} stabil  instabil
+  +  +  +  nie λ < λ_{−} oder λ > λ_{+}
−  +  +  −  nie λ < λ_{+} oder λ > λ_{−}
+  +  −  −  nie  λ_{+} < λ < λ_{−}
−  +  −  +  nie  λ_{−} < λ < λ_{+}
+  −  +  +  nie λ < λ_{−} oder λ > λ_{+}
−  −  +  −  nie λ < λ_{+} oder λ > λ_{−}

Tabelle 3.3: Stabilitätsbereiche des Lösungszweiges s_{1}^{2} = P (λ, σ), s_{2} = −\frac{A_{1}λ+B_{1}σ}{C_{1}}, CC_{1} > 0, A_{1} > 0, A_{2} > 0

(ii) CC_{1} < 0

Das Vorzeichen der Spur von A, S(λ, σ), ist hier entscheidend für die Stabilität. S ist linear in λ und hat die Nullstelle

λ_{∗} = −σ \frac{2B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{2A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} .

Liegt λ_{∗} im Definitionsbereich von (3.4), d.h. P (λ_{∗}, σ) > 0, dann findet bei λ_{∗} ein Stabilitätswechsel statt. Da A(s_{1}, s_{2}, λ_{∗}, σ) nur rein–imaginäre Eigenwerte besitzt, besteht außerdem die Möglichkeit, daß bei λ_{∗} periodische Lösungen auftreten. Ist P (λ_{∗}, σ) < 0, so findet kein Stabilitätswechsel statt. In diesem Fall bestimmen allein die Werte von S bei λ_{−} und λ_{+} das Stabilitätsverhalten des Zweiges (3.4).

Lemma 3.2 P (λ_{∗}, σ) > 0 ⇔ C_{1}C_{2} < 0

Beweis Man überlegt sich leicht, daß

P (λ_{∗}, σ) > 0 ⇔ sgn S(λ_{+}, σ)S(λ_{−}, σ) = sgn K_{1}.

Einsetzen von λ_{−} und λ_{+} in S ergibt

S(λ_{+}, σ) = σ \frac{A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}}{A_{1}} , S(λ_{−}, σ) = −σC_{2} \frac{A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}}

und damit sgn S(λ_{+}, σ)S(λ_{−}, σ) = −sgn C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}). Mit (3.6) folgt dann die Behauptung. □

Aus (3.7) erhalten wir hier die Implikation

C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) < 0 oder C_{1}C_{2} < 0 ⇒ K_{1} < 0.

σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) K_{1} λ_{+} − λ_{−}  stabil  instabil
+  +  +  −  λ > λ_{−}  λ < λ_{+}
−  +  +  +  λ > λ_{+}  λ < λ_{−}
+  +  −  +  λ_{−} < λ < λ_{∗} λ_{∗} < λ < λ_{+}
−  +  −  −  λ_{+} < λ < λ_{∗} λ_{∗} < λ < λ_{−}
+  −  −  +  nie  λ_{−} < λ < λ_{+}
−  −  −  −  λ_{+} < λ < λ_{−}  nie

Tabelle 3.4: Stabilitätsbereiche des Lösungszweiges s_{1}^{2} = P (λ, σ), s_{2} = −\frac{A_{1}λ+B_{1}σ}{C_{1}}, CC_{1} < 0, A_{1} > 0, A_{2} > 0

Das heißt nach obigem Lemma insbesondere, daß bei λ_{∗} nur dann ein Stabilitätswechsel stattfinden kann, wenn K_{1} < 0 ist, also im Fall einer Ellipse. Dann haben S(λ_{−}, σ) und S(λ_{−}, σ) entgegengesetzte Vorzeichen, weil λ_{∗} zwischen λ_{−} und λ_{+} liegt, und man kann deshalb die Stabilitätsbereiche der Ellipse an einem der Werte, etwa an S(λ_{+}, σ), bestimmen. Dessen Vorzeichen ist

sgn S(λ_{+}, σ) = sgn σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}).

Mit diesen Informationen erhalten wir Tabelle 3.4.

Bemerkung: Die Unterscheidung σ(A_{1}B_{2} −A_{2}B_{1}) positiv/negativ in den Tabellen entspricht dem Übergang σ ↔ −σ und ist deshalb als ein Fall zu betrachten. Es ist nun klar, daß insgesamt sechs Fälle zu unterscheiden sind, die in den Bifurkationsportraits (Abb. 3.1–3.6) graphisch dargestellt sind.

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.1: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) > 0 CC_{1} > 0 K_{1} > 0

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.2: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) < 0 CC_{1} > 0 K_{1} > 0

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.3: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) > 0 CC_{1} < 0 K_{1} > 0

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.4: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) > 0 CC_{1} > 0 K_{1} < 0

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.5: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) > 0 CC_{1} < 0 K_{1} < 0

\overline{}[figure]  λ s_{1} s_{2}  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) > 0  σ(A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}) < 0 λ  λ  λ  λ  λ  λ æ

Abbildung 3.6: C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}) < 0 CC_{1} < 0 K_{1} < 0 æ

3.1.3 Behandlung der Terme höherer Ordnung

Bei der Untersuchung des Systems (2.9) haben wir zunächst die Terme höherer Ordnung, H_{1} und H_{2}, ignoriert und nur die Bifurkationsportraits der ”abgeschnittenen“ Gleichung (3.1) erstellt. Dies muß nun gerechtfertigt werden, d.h. es muß gezeigt werden, daß die Bifurkationsportraits von (3.1) auch das qualitative Verhalten von (2.9) richtig wiedergeben. Das geschieht durch den folgenden

Satz 3.1 In einer hinreichend kleinen, offenen Umgebung U ⊂ IR^{4} von (s_{1}, s_{2}, λ, σ) = 0 sind (2.9) und (3.1) äquivalent in dem Sinne, daß gilt:

1. Die stationären Lösungen von (2.9) lassen sich darstellen als

s_{1} = 0, s_{2} = 0

s_{1} = 0, s_{2} = −\frac{A_{2}λ + B_{2}σ}{C_{2}} + O(σ^{2})

s_{1}^{2} = P (λ, σ) + O(σ^{2}), s_{2} = −\frac{A_{1}λ + B_{1}σ}{C_{1}} + O(σ^{2}).

2. Die Verzweigungskurven von (2.9) lassen sich darstellen als

λ_{−}(σ) = −σ \frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} + O(σ^{2})
λ_{+}(σ) = −σ \frac{B_{1}}{A_{1}} + O(σ^{2})
λ_{0}(σ) = −σ \frac{B_{2}}{A_{2}} + O(σ^{2})

Der Beweis dieses Satzes erfolgt in mehreren Schritten durch eine Reihe von Lemmata. Im folgenden sei U wie in Satz 3.1 und (s_{1}, s_{2}, λ, σ) ∈ U.

Zunächst bringen wir (2.9) durch geeignete Skalierung auf eine Form, die eine bessere Kontrolle der vernachlässigten Terme ermöglicht.

Wir setzen s_{1} = σr_{1}, s_{2} = σr_{2}, λ = σβ. Einsetzen in (2.9) und Division durch σ führt zu

\begin{aligned}ṙ_{1} & = & σ((A_{1}β + B_{1})r_{1} + C_{1}r_{1}r_{2} + σH̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ)) \\ & = & σ(F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ)), \\ ṙ_{2} & = & σ((A_{2}β + B_{2})r_{2} + Cr_{1}^{2} + C_{2}r_{2}^{2} + σH̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, σ)) \\ & = & σ(F̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, σ)). \end{aligned}  (3.8)

Da wir uns hier nur für kritische Lösungen interessieren, ist die Geschwindigkeit und Richtung der Orbits nicht von Belang, wir können also (3.8) ohne den Vorfaktor σ betrachten und erhalten dann

\begin{aligned}ṙ_{1} & = & F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ), \\ ṙ_{2} & = & F̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, σ). \end{aligned}  (3.9)

Die Verzweigungskurven sind von der Ordnung O(σ), also können wir ohne Einschränkung annehmen, daß |λ| ≤ K|σ| gilt. Das folgende Lemma zeigt dann, daß das Problem, alle kleinen Nullstellen (s_{1}, s_{2}, λ, σ) von F zu finden, äquivalent ist zum Problem, für alle kleinen σ alle Nullstellen (r_{1}, r_{2}, β) von F̃(·, ·, ·, σ) auszurechnen.

Lemma 3.3 Es gibt eine Konstante γ > 0, so daß alle Ruhepunkte (s_{1}, s_{2}, λ, σ) ∈ U von (2.9) der Ungleichung

|s| = (s_{1}^{2} + s_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ γ(|λ| + |σ|)

genügen.

Beweis Man schreibt die rechte Seite von (2.9) als

F (s, λ, σ) = λAs + σBs + Q(s) + H(s, λ, σ) ∈ IR^{2}.

Q ist ein homogenes quadratisches Polynom mit s = (0, 0) als einziger Nullstelle. Angenommen, die Behauptung gilt nicht. Dann gibt es eine Folge (s_{n}, λ_{n}, σ_{n}) von Nullstellen von F, die gegen Null konvergiert, mit λ_{n}/|s_{n}|, σ_{n}/|s_{n}| → 0. Daraus folgt:

0 = \frac{1}{|s_{n}|^{2}} F (s_{n}, λ_{n}, σ_{n})
= (\frac{λ_{n}}{|s_{n}|}A + \frac{σ_{n}}{|s_{n}|}B)\frac{s_{n}}{|s_{n}|} + \frac{Q(s_{n}) + H(s_{n}, λ_{n}, σ_{n})}{|s_{n}|^{2}}.

Sei

v^{∗} := lim_{n→∞} \frac{s_{n}}{|s_{n}|},

dann ist |v^{∗}| = 1. Aus der Annahme und H = O(3) folgt dann

\frac{Q(s_{n})}{|s_{n}|^{2}} = Q(s_{n}/|s_{n}|) ⟶ Q(v^{∗}) ≠ 0,

Widerspruch. □

Wir werden also (3.9) untersuchen und dann durch Rückskalierung auf die Ruhepunkte von (2.9) schließen. L(σ) bezeichne die Lösungsmenge von (3.9) bei festem σ:

L(σ) := {(r_{1}, r_{2}, β) ∈ IR^{3} |(r_{1}, r_{2}, β, σ) ist Nullstelle von (F̃_{1}, F̃_{2})^{T} }

Sei zunächst σ = 0. L(0) ist die Lösungsmenge von

\begin{aligned}F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, 0) & = & (A_{1}β + B_{1})r_{1} + C_{1}r_{1}r_{2} = 0 \\ F̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, 0) & = & (A_{2}β + B_{2})r_{2} + Cr_{1}^{2} + C_{2}r_{2}^{2} = 0 \end{aligned}  (3.10)

und läßt sich direkt aus (3.1) ablesen, man erhält die Darstellungen

r_{1} = 0, r_{2} = 0  (3.11)
r_{1} = 0, r_{2} = −\frac{A_{2}β + B_{2}}{C_{2}}  (3.12)
r_{1}^{2} = P (β, 1) = K_{1}β^{2} + K_{2}β + K_{3}, r_{2} = −\frac{A_{1}β + B_{1}}{C_{1}} , (3.13)

wobei β ganz IR durchläuft. Die Verzweigungswerte von (3.10) sind dementsprechend

β_{−} = −\frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} , β_{+} = −\frac{B_{1}}{A_{1}} , β_{0} = −\frac{B_{2}}{A_{2}}

und die Verzweigungspunkte

β_{−} : r_{1} = 0 r_{2} = −\frac{A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}}  (3.14)
β_{+} : r_{1} = 0 r_{2} = 0  (3.15)
β_{0} : r_{1} = 0 r_{2} = 0.  (3.16)

Graphische Darstellungen von L(0) erhält man aus den Abbildungen 3.1–3.6, indem man einfach s_{1} durch r_{1}, s_{2} durch r_{2} und λ durch β ersetzt.

Sei nun σ ≠ 0. Es soll

L(σ) ≃ L(0)

gezeigt werden, wobei ≃ Äquivalenz im Sinne von Satz 3.1 mit Asymptotik O(σ) für σ → 0 bedeutet. Ist dies erst einmal gezeigt, so ist nach Lemma 3.3 auch Satz 3.1 bewiesen.

Seien U_{−}, U_{+} und U_{0} kleine offene Umgebungen der durch (3.14)–(3.16) beschriebenen Verzweigungspunkte und (r_{1}, r_{2}, β) einer dieser Punkte. Falls (r_{1}, r_{2}, β) ∈ L(0) \ (U_{−} ∪ U_{+} ∪ U_{0}), d.h. (r_{1}, r_{2}) nichtsinguläre Nullstelle von (3.10) bei festem β ist, dann liefert Satz 1.1 eine eindeutige Fortsetzung (r_{1}(σ), r_{2}(σ)) dieser Nullstelle für hinreichend kleine σ. Es genügt also, L(σ) ∩ (U_{−} ∪ U_{+} ∪ U_{0}) zu betrachten. Hier ist Satz 1.1 nicht anwendbar, weil in U_{−}, U_{+} und U_{0} ja gerade die Verzweigungspunkte liegen. Der Trick ist, daß man jeden der drei durch (3.11)–(3.13) definierten Lösungszweige separat betrachten kann, indem man die jeweils anderen beiden ”herauskürzt“. Das Problem wird dadurch generisch ^{1}.

Lemma 3.4 1. Die Lösungsmenge L(σ) in U_{0} ist gegeben durch

L(σ) ∩ U_{0}
= {(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{0} |r_{1} = r_{2} = 0}
∪ \{(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{0} |r_{1} = 0, r_{2} = −\frac{A_{2}β + B_{2}}{C_{2}} + O(σ)\}
:= (L_{1}(σ) ∩ U_{0}) ∪ (L_{2}(σ) ∩ U_{0}).

2. Der Verzweigungswert β_{0} bleibt bei (3.9) asymptotisch erhalten:

(L_{1}(σ) ∩ U_{0}) ∩ (L_{2}(σ) ∩ U_{0}) = {(0, 0, β(σ))}

mit einer eindeutig bestimmten Funktion β(σ) = β_{0} + O(σ).

Beweis ad 1. Zunächst gilt:

(r_{1}, r_{2}, β) ∈ L(σ) ∩ U_{0} ⇒ r_{1} = 0.

Denn ist r_{1} ≠ 0, so gilt F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, 0) ≠ 0, also auch F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ) ≠ 0 für kleine σ, also (r_{1}, r_{2}, β) ∉ L(σ) ∩ U_{0}. Sei

G̃_{2}(r_{2}, β, σ) := F̃_{2}(0, r_{2}, β, σ)r_{2}^{−1}
= A_{2}β + B_{2} + C_{2}r_{2} + σH̃_{2}(0, r_{2}, β, σ)r_{2}^{−1}.

Nach Lemma 2.1 ist G̃_{2} in r_{2} = 0 stetig differenzierbar. Für festes β und r_{2} = −\frac{A_{2}β+B_{2}}{C_{2}} ist

G̃_{2}(r_{2}, β, 0) = 0, \frac{∂G̃_{2}}{∂r_{2}} (r_{2}, β, 0) = C_{2} ≠ 0.

1Eine Funktion f : U ⊂ IR^{n} → IR^{n} heißt generisch, wenn f nur Nullstellen mit nichtverschwindender Funktionaldeterminante besitzt

Es läßt sich also r_{2} fortsetzen zu

r_{2}(σ) = r_{2} + O(σ) = −\frac{A_{2}β + B_{2}}{C_{2}} + O(σ),

G̃_{2}(r_{2}(σ), β, σ) = 0.

Daraus folgt mit Lemma 2.2: F̃(0, r_{2}(σ), β, σ) = 0. ad 2. Nach Satz 1.1 gibt es genau eine Funktion β(σ) mit

β(σ) = β_{0} + O(σ), −\frac{A_{2}β(σ) + B_{2}}{C_{2}} + O(σ) = 0.

Nach 1. ist die Behauptung dann klar. □ Lemma 3.5 1. Die Lösungsmenge L(σ) in U_{+} ist gegeben durch

L(σ) ∩ U_{+}

= {(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{+} |r_{1} = r_{2} = 0}
∪ \{(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{+} |r_{1}^{2} = P (β, 1) + O(σ), r_{2} = −\frac{A_{1}β + B_{1}}{C_{1}} + O(σ)\}
:= (L_{1}(σ) ∩ U_{+}) ∪ (L_{3}(σ) ∩ U_{+}).

2. Der Verzweigungswert β_{+} bleibt bei (3.9) asymptotisch erhalten: (L_{1}(σ) ∩ U_{+}) ∩ (L_{3}(σ) ∩ U_{+}) = {(0, 0, β(σ))}

mit einer eindeutig bestimmten Funktion β(σ) = β_{+} + O(σ). Beweis ad 1. Sei

G̃(r_{1}, r_{2}, β, σ) = \binom{F̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ)r_{1}^{−1}}{F̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, σ)}
= \binom{A_{1}β + B_{1} + C_{1}r_{2} + σH̃_{1}(r_{1}, r_{2}, β, σ)r_{1}^{−1}}{(A_{2}β + B_{2})r_{2} + Cr_{1}^{2} + C_{2}r_{2}^{2} + σH̃_{2}(r_{1}, r_{2}, β, σ)}.

Nach Lemma 2.2 ist G̃ stetig differenzierbar in r_{1} = 0. Die triviale Lösung {r_{1} = r_{2} = 0} ist herausgekürzt worden:

G̃(r_{1}, r_{2}, β, 0) = 0 und (r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{+} ⇔ (r_{1}, r_{2}, β) ∈ L_{3}(0) ∩ U_{+}.

Wir parametrisieren nun L_{3}(0) ∩ U_{+} als Funktion von r_{1}. Aus (3.13) erhält man die äquivalente Darstellung

β = β(r_{1}) = \frac{1}{2K_{1}} \{−K_{2} + \sqrt{K_{2}^{2} − 4K_{1}K_{3} + 4r_{1}^{2}}\}
r_{2} = r_{2}(r_{1}) = −\frac{A_{1}β(r_{1}) + B_{1}}{C_{1}} .

Setzt man r_{1} = 0 in diese Formeln ein, so erhält man erwartungsgemäß

β(0) = β_{+}, r_{2}(0) = −\frac{A_{1}β_{+} + B_{1}}{C_{1}} = 0.

Für σ = 0 ist

det D_{(β,r_{2})}G̃ = | \begin{matrix}\frac{∂G̃_{1}}{∂β} & \frac{∂G̃_{1}}{∂r_{2}} \\ \frac{∂G̃_{2}}{∂β} & \frac{∂G̃_{2}}{∂r_{2}} \end{matrix} | = | \begin{matrix}A_{1} & C_{1} \\ A_{2}r_{2} & A_{2}β + B_{2} + 2C_{2}r_{2} \end{matrix} | ,

also für σ = r_{1} = 0:

det D_{β,r_{2}} G̃(0, r_{2}(0), β(0), 0)
= det D_{β,r_{2}} G̃(0, 0, β_{+}, 0) = A_{1}(A_{2}β_{+} + B_{2}) = A_{1}B_{2} − A_{2}B_{1} ≠ 0

und damit ≠ 0 in einer kleinen Umgebung von r_{1} = 0.

Satz 1.1 ist also anwendbar und liefert für jedes feste r_{1} Funktionen β(r_{1}, σ) und r_{2}(r_{1}, σ) mit

G̃(r_{1}, r_{2}(r_{1}, σ), β(r_{1}, σ), σ) = 0,
β(r_{1}, σ) = β(r_{1}) + O(σ), r_{2}(r_{1}, σ) = r_{2}(r_{1}) + O(σ).

Setzt man die letzte Zeile in (3.12) und (3.13) ein, so erhält man die Beziehungen

r_{2}(r_{1}, σ) = −\frac{A_{1}β(r_{1}, σ) + B_{1}}{C_{1}} + O(σ)
r_{1}^{2} = P (β(r_{1}, σ), 1) + O(σ)
= K_{1}β^{2}(r_{1}, σ) + K_{2}β(r_{1}, σ) + K_{3} + O(σ).

ad 2. Nach 1. ist

G̃(0, 0, β, σ) = \binom{A_{1}β + B_{1} + σ lim_{r_{1}→0} H̃_{1}(r_{1}, 0, β, σ)r_{1}^{−1}}{0}.

Satz 1.1 liefert eine eindeutig bestimmte Funktion β(σ) = β_{+} + O(σ) mit G̃(0, 0, β(σ), σ) = 0, woraus die Behauptung folgt. (β(σ) ist genau die in 1. hergeleitete Funktion β(r_{1}, σ) für r_{1} = 0.) □

Lemma 3.6 1. Die Lösungsmenge L(σ) in U_{−} ist gegeben durch

L(σ) ∩ U_{−}

= \{(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{−} |r_{1} = 0, r_{2} = −\frac{A_{2}β + B_{2}}{C_{2}} + O(σ)\}
∪ \{(r_{1}, r_{2}, β) ∈ U_{−} |r_{1}^{2} = P (β, 1) + O(σ), r_{2} = −\frac{A_{1}β + B_{1}}{C_{1}} + O(σ)\}
:= (L_{2}(σ) ∩ U_{−}) ∪ (L_{3}(σ) ∩ U_{−}).

2. Der Verzweigungswert β_{−} bleibt bei (3.9) asymptotisch erhalten:

(L_{2}(σ) ∩ U_{−}) ∩ (L_{3}(σ) ∩ U_{−}) = {(0, r_{2}(σ), β(σ))}

mit eindeutig bestimmten Funktionen r_{2}(σ) = −\frac{A_{1}β_{−}+B_{1}}{C_{1}} + O(σ) und β(σ) = β_{−} + O(σ).

Beweis ad 1. Weitgehend analog zu den Beweisen von Lemma 3.4 und Lemma 3.5. Man kürzt zunächst — wie in Lemma 3.4 — L_{3}(0)∩U_{−} heraus und konstruiert L_{2}(σ) ∩ U_{−}. Dann kürzt man — wie in Lemma 3.5 — L_{2}(0) ∩ U_{−} heraus und konstruiert L_{3}(σ) ∩ U_{−}.

ad 2. Angenommen, die Behauptung gilt nicht. Dann hat

F̃_{2}(0, r_{2}, β, σ) = (A_{2}β + B_{2})r_{2} + C_{2}r_{2}^{2} + σH̃_{2}(0, r_{2}, β, σ)

für festes σ ≠ 0 eine isolierte Nullstelle (r_{2}(σ), β(σ)) der Form

β(σ) = β_{−} + O(σ),
r_{2}(σ) = −\frac{A_{1}β(σ) + B_{1}}{C_{1}} + O(σ).

(Dies ist gerade der Schnittpunkt der Ebene {r_{1} = 0} mit dem Kurvenstück L_{3}(σ) ∩ U_{−}.) Ableiten von F̃_{2}(0, r_{2}, β, σ) nach r_{2} und Einsetzen der Nullstelle ergibt

\frac{∂}{∂r_{2}} F̃_{2}(0, r_{2}(σ), β(σ), σ)

= A_{2}β(σ) + B_{2} + 2C_{2}r_{2}(σ) + O(σ)
= A_{2}β_{−} + B_{2} − 2C_{2} \frac{A_{1}β_{−} + B_{1}}{C_{1}} + O(σ)
= −C_{2} \frac{B_{1}C_{2} − B_{2}C_{1}}{A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}} + O(σ) ≠ 0.

Nach Satz 1.1 kann im Widerspruch zur Annahme (r_{2}(σ), β(σ)) also keine isolierte Nullstelle von F̃_{2}(0, r_{2}, β, σ) sein. □

Satz 3.1 ist damit vollständig bewiesen.

Bemerkung: Die Grundidee, nämlich die Einführung einer geeigneten Skalierung, stammt aus [6]. Dort werden noch eine ganze Reihe weiterer Systeme behandelt.

3.1.4 Periodische Lösungen

In diesem Unterabschnitt sei CC_{1} < 0, C_{1} > 0 und C_{2} < 0. ^{2} Wir betrachten wieder das zu (2.9) äquivalente System (3.9).

Sei zunächst σ = 0, das entspricht dem Verschwinden der Terme 3. Ordnung in (2.9), und β = β_{∗} = lim_{σ→0} λ_{∗}/σ. Wenn wir zur Abkürzung

K := −\frac{A_{1}β_{∗} + B_{1}}{C_{1}}

setzen, dann hat (3.9) die vier kritischen Punkte

r_{1} = 0, r_{2} = K ± K  (3.17)
r_{1} = ±\sqrt{\frac{C_{2}}{C}} K, r_{2} = K.  (3.18)

Wie gezeigt wurde, besitzen die Linearisierungen in den Punkten (3.18) reinimaginäre Eigenwerte. Es ist also zu vermuten, daß periodische Lösungen auftreten, welche die Fixpunkte (3.18) umkreisen. Tatsächlich ist das Phasenportrait von (3.9) durch Abbildung 3.7 richtig wiedergegeben, genauer: Die Ellipse mit Radien \sqrt{\frac{C_{2}−C_{1}}{C}} K und K und Mittelpunkt (r_{1}, r_{2}) = (0, K) bildet zusammen mit der Strecke {r_{1} = 0 und 0 ≤ r_{2} ≤ 2K} in der rechten und linken Halbebene jeweils einen heteroklinen Orbit, welcher die beiden Sattelpunkte (3.17) miteinander verbindet. Die Ellipse ist identisch mit der stabilen MF von (0, 2K) und der instabilen MF von (0, 0). Dasselbe gilt in umgekehrter Weise für die Gerade {r_{1} = 0}. Innerhalb der Ellipse sind alle Lösungen mit r_{1} ≠ 0 periodisch und umkreisen die Fixpunkte (3.18).

Ein kanonisches Vorgehen wäre nun, die topologische Äquivalenz der Phasenportraits in einer Umgebung von σ = 0 zu zeigen. Dies ist i.a. leider nicht möglich.^{3} Zur Diskussion des Falles σ ≠ 0 zitieren wir zunächst folgenden

2Für C_{1} < 0, C_{2} > 0 erhält man analoge Ergebnisse (vgl. Tabellen)

3vgl. das Beispiel in [9], S.13

Abbildung 3.7: Phasenportrait für σ = 0, β = β_{∗}

Satz 3.2 (Hopf-Verzweigung) Es sei f_{μ} : IR^{2} → IR^{2} ein parameterabhängiges C^{k}-Vektorfeld, k ≥ 4, f = (f_{μ}, 0) sei ebenfalls C^{k}, f_{μ}(0) = 0 für alle μ, D_{x}f_{μ}|_{x=(0,0)} habe komplex-konjugierte Eigenwerte ω(μ) und \overline{ω(μ)} mit Re ω(0) = 0, Im ω(0) ≠ 0, \frac{d}{dμ}Re ω(0) > 0. Wir betrachten das System ẋ = f_{μ}(x). Dann gilt:

1. Für ξ ∈ IR, |ξ| hinreichend klein, gibt es genau ein μ = μ(ξ) ∈ IR, sodaß (x_{1}, x_{2}) = (ξ, 0) auf einem periodischen Orbit liegt, wenn μ(ξ) eingesetzt wird. μ(ξ) ist C^{k−2}.

2. In einer Umgebung von (x_{1}, x_{2}, μ) = (0, 0, 0) sind alle periodischen Lösungen von dieser Form.

3. Es sei P_{μ} : IR → IR die Poincaré–Abbildung ^{4} von f_{μ} auf der Achse {x_{2} = 0} und V_{μ}(ξ) := P_{μ}(ξ) − ξ, V := V_{0}. Gilt V′′′(0) < 0^{5}, so ist μ(ξ) > 0 für alle ξ ≠ 0, und die Orbits sind alle attraktiv.

Beweis in [15]. □

4Nach 1. und 2. ist diese Abbildung in einer Umgebung von (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) wohldefiniert

5Ableitung nach ξ

Bemerkungen

1. Analoge Aussagen erhält man für \frac{d}{dμ}Re ω(0) < 0 oder V′′′(0) > 0, indem man die Vorzeichen von μ bzw. f_{μ} umkehrt. Dann wechselt die Richtung der Verzweigung bzw. die Stabilität der verzweigenden periodischen Orbits.

2. Falls V′′′(0) ≠ 0, sind diese Orbits genau dann stabil, wenn der Nullpunkt instabil ist. Es findet ein Stabilitätsaustausch statt.

Wir betrachten nun wieder (3.9). Sei ω̃(r_{1}, r_{2}, β, σ) ein Eigenwert von D_{r}F̃(r_{1}, r_{2}, β, σ). Wie üblich zeigt man, daß es implizit definierte Funktionen

r_{1}(σ) = ±\sqrt{\frac{C_{2}}{C}} K + O(σ), r_{2}(σ) = K + O(σ), β(σ) = β_{∗} + O(σ)

gibt mit

F̃(r_{1}(σ), r_{2}(σ), β(σ), σ) = Re ω̃(r_{1}(σ), r_{2}(σ), β(σ), σ) = 0.

Aus (3.5) erhält man

\frac{d}{dβ} Re ω̃(r_{1}(σ), r_{2}(σ), β(σ), σ)|_{σ=0} = A_{2} − 2\frac{C_{2}}{C_{1}} A_{1} > 0

und damit > 0 für kleine σ. Zur Anwendung des Hopf-Theorems benötigen wir einen parameterunabhängigen Ruhepunkt. Für festes σ gibt es Funktionen

r_{1}(σ, μ) = r_{1}(σ) + O(μ), r_{2}(σ, μ) = r_{2}(σ) + O(μ)

sodaß

F̃(r_{1}(σ, μ), r_{2}(σ, μ), β(σ) + μ, σ) = 0

für kleine μ. Setzt man nun

f_{μ}(x_{1}, x_{2}) := F̃(x_{1} + r_{1}(σ, μ), x_{2} + r_{2}(σ, μ), β(σ) + μ, σ),  (3.19)

so erfüllt f_{μ} die im Satz benötigten Voraussetzungen. Man erhält dann ein ε(σ) > 0 und eine Funktion μ(σ, ·), sodaß für |ξ| < ε(σ) der Punkt (x_{1}, x_{2}) = (ξ, 0) auf einem periodischen Orbit liegt, wenn man in (3.19) μ(σ, ξ) einsetzt. Da wir annehmen können, daß σ aus einem kompakten Intervall stammt, erhält man bei simultaner Anwendung des Satzes auf alle σ ein ε = inf_{σ} ε(σ) > 0.

Die Bestimmung der Stabilität dieser Orbits gestaltet sich einigermaßen kompliziert. In [15] ist eine Formel zur Berechnung von V′′′(0) in Termen der zweiten und dritten Ableitungen von f_{0}(x_{1}, x_{2}) angegeben. Diese kennen wir jedoch nur asymptotisch; wenn man (3.19) mal ausmultipliziert, erkennt man, daß sie in erster Ordnung linear von σ abhängen. Eine Inspektion der Formel zeigt dann, daß V′′′(0) genauso von σ abhängt. Einzelheiten sollen dem Leser erspart werden. Weiter wissen wir, daß für σ = 0 V′′′(0) = 0 ist, da für σ = 0 alle periodischen Orbits bei β = β_{∗} auftreten und somit wegen der Eindeutigkeitsaussage μ(0, ·) = 0 gilt. Bei σ = 0 findet also ein Vorzeichenwechsel von V′′′(0) statt, d.h. die Orbits wechseln beim Übergang σ ↔ −σ die Stabilität. Es gilt außerdem: μ(σ, ·) > 0 für σ ≠ 0.

Wir fassen die bisherigen Ergebnisse in einem Satz zusammen, den wir gleich für (2.9) formulieren.

Satz 3.3 1. Es gibt Funktionen

s_{1}(σ) = ±σ\sqrt{\frac{C_{2}}{C}} K + O(σ^{2}), s_{2}(σ) = σK + O(σ^{2}), λ(σ) = λ_{∗} + O(σ^{2})

sodaß F (s_{1}(σ), s_{2}(σ), λ(σ), σ) = 0 und D_{s}F (s_{1}(σ), s_{2}(σ), λ(σ), σ) reinimaginäre Eigenwerte hat.

2. Es gibt eine Konstante K_{5} > 0 und genau eine Funktion λ_{1}(σ, η), sodaß (s_{1}, s_{2}) = (s_{1}(σ) + η, s_{2}(σ)) auf einem periodischen Orbit von (2.9) liegt, wenn λ = λ_{1}(σ, η) eingesetzt wird, (σ, η) klein genug und |η| ≤ K_{5}|σ| ist. Es gilt λ_{1}(σ, 0) = λ(σ), λ_{1}(0, η) = 0 und (λ_{1}(σ, ·) − λ(σ))(λ_{1}(−σ, ·) − λ(−σ)) < 0, d.h. die Lage von λ_{1}(σ, η) relativ zu λ(σ) ändert sich nur beim Übergang σ ↔ −σ.

3. Diese Orbits sind eindeutig und haben entgegengesetzte Stabilität zum Fixpunkt (s_{1}(σ), s_{2}(σ)), den sie umkreisen. Beim Übergang σ ↔ −σ findet ein Stabilitätswechsel statt.

Beweis Nach den bisherigen Ausführungen klar. Es ist λ_{1}(σ, η) = σ(β(σ) + μ(σ, η/σ)) = λ(σ) + σμ(σ, η/σ). □

Es bleibt noch die Frage zu klären, ob die beiden heteroklinen Orbits, die für (3.9) bei σ = 0 und β = β_{∗} auftreten und die beiden Sattelpunkte verbinden, sich homöomorph nach σ ≠ 0 fortsetzen lassen.

Satz 3.4 Es seien

P_{1} = (0, 0), P_{2} = (0, −\frac{A_{2}λ + B_{2}σ}{C_{2}} + O(σ^{2}))

die beiden Sattelpunkte ^{6} von (2.9). Dann gibt es eine Kurve λ(σ) = λ_{∗}+O(σ^{2}), auf der (2.9) einen heteroklinen Orbit in der linken Halbebene besitzt, welcher P_{1} und P_{2} miteinander verbindet. Analoges gilt für die rechte Halbebene.

Beweis Wir betrachten statt (2.9) wieder (3.9) mit Sattelpunkten Q_{i} = P_{i}/σ (Für σ = 0 ist hier natürlich wieder der Limes gemeint). Sei zunächst σ = 0 und β = β_{∗}. Der Fluß von (3.9) verläuft tangential zur Ellipse {Γ(r_{1}, r_{2}) = 0}, wobei

Γ(r_{1}, r_{2}) := r_{1}^{2} + \frac{C_{2} − C_{1}}{C} (r_{2}^{2} − 2r_{2}K).

Dazu zeigt man:

Γ̇(r_{1}, r_{2})|_{Γ=0} = ⟨∇Γ(r_{1}, r_{2}), F̃(r_{1}, r_{2}, β_{∗}, 0)⟩|_{Γ=0} = 0.

Sei nun σ ≠ 0. U_{−}(σ, β) sei die stabile MF von Q_{1}, U_{+}(σ, β) die instabile MF von Q_{2}. Diese existieren für kleine σ und (β_{∗} − β). g_{−}(σ, β) sei der Wert von Γ, wenn U_{−}(σ, β) die Achse {r_{2} = K} schneidet, analog g_{+}(σ, β). Der Satz ist bewiesen, wenn U_{+}(σ, β) und U_{−}(σ, β) sich auf {r_{2} = K} treffen, d.h. wenn g(σ, β) := g_{+}(σ, β) − g_{−}(σ, β) = 0 ist. Für σ = 0 und β = β_{∗} ist dies der Fall. Zum Beweis des Satzes muß also gezeigt werden, daß

\frac{∂}{∂β} g(0, β_{∗}) ≠ 0

gilt. Man schreibt dazu g_{+} und g_{−} als Wegintegrale:

g_{−}(σ, β) = ∫_{U_{−}(σ,β)} Γ̇(r_{1}, r_{2}) do,
g_{+}(σ, β) = Γ(Q_{2}) + ∫_{U_{+}(σ,β)} Γ̇(r_{1}, r_{2}) do,

wobei jeweils von Q_{i} bis zur Geraden {r_{2} = K} integriert wird. Durch einfache, aber schreibintensive Überlegungen erhält man, daß die Integrale in erster Ordnung linear von (β_{∗} − β) und σ abhängen und daß Γ(Q_{2}) = O(σ), d.h. es gilt entweder g(0, β) ≡ 0 oder \frac{∂}{∂β} g(0, β_{∗}) ≠ 0. □

Bemerkungen

6vgl. Satz 3.1

\overline{}Q_{1} Q_{2}  r_{1} r_{2}  U_{−} U_{+} æ

Abbildung 3.8: Die stabile und instabile MF von Q_{1} und Q_{2}

1. Man kann i.a. nicht erwarten, daß zwei heterokline Orbits simultan auftreten, denn für σ ≠ 0 und β ≠ β_{∗} geht die Symmetrie von (3.9) bezüglich {s_{1} = 0} verloren.

2. Die Kurve λ(σ) ist nicht notwendig identisch mit derjenigen gleichen Namens aus Satz 3.3.

3. Die Beweisidee, d.h. die Integraldarstellung von g_{+} und g_{−}, stammt aus [5]. Carr diskutiert dort ein ähnliches Problem, wobei ein homokliner Orbit auftritt. Der Beweis dort ist etwas einfacher, weil ein erstes Integral explizit angegeben werden kann. Γ dagegen ist kein erstes Integral, weil Γ̇ nur auf der Ellipse {Γ = 0} verschwindet.

æ

3.2 Kubische Nichtlinearitäten

Wir vernachlässigen zunächst wieder H_{1} und H_{2} sowie die in (λ, σ) quadratischen Terme von (2.10) und erhalten das System

\begin{aligned}ṡ_{1} & = & s_{1}(A_{1}λ + B_{1}σ + C_{11}s_{1}^{2} + C_{12}s_{2}^{2}) \\ ṡ_{2} & = & s_{2}(A_{2}λ + B_{2}σ + C_{21}s_{1}^{2} + C_{22}s_{2}^{2}). \end{aligned}  (3.20)

Die Diskussion verläuft hier weitgehend analog zum vorigen Abschnitt, sodaß einige Details weggelassen werden.

Zur Vereinfachung sei A_{1}, A_{2} > 0, C_{11}, C_{22} < 0. Weiter nehmen wir an, daß C := C_{11}C_{22} − C_{12}C_{21} ≠ 0.

3.2.1 Bestimmung der kritischen Punkte

Die rechte Seite von (3.20) hat die Nullstellen

s_{1} = 0, s_{2} = 0  (3.21)
s_{1}^{2} = g_{1}(λ, σ), s_{2} = 0  (3.22)
s_{1} = 0, s_{2}^{2} = g_{2}(λ, σ)  (3.23)
s_{1}^{2} = g_{3}(λ, σ), s_{2}^{2} = g_{4}(λ, σ)  (3.24)

wobei

g_{1}(λ, σ) = −\frac{A_{1}λ + B_{1}σ}{C_{11}}
g_{2}(λ, σ) = −\frac{A_{2}λ + B_{2}σ}{C_{22}}
g_{3}(λ, σ) = −\frac{(A_{1}C_{22} − A_{2}C_{12})λ + (B_{1}C_{22} − B_{2}C_{12})σ}{C}
g_{4}(λ, σ) = −\frac{(A_{2}C_{11} − A_{1}C_{21})λ + (B_{2}C_{11} − B_{1}C_{21})σ}{C}

Dabei wurde z.B. (3.24) mit der Cramerschen Regel bestimmt. Die Lösungen (3.22)–(3.24) treten auf bzw. verschwinden bei Vorzeichenwechsel der g_{i}. (3.24) ist nur definiert, wenn g_{3} und g_{4} nichtnegativ sind.

Es gelten außerdem die Beziehungen

g_{1} − g_{3} = \frac{C_{12}}{C_{11}} g_{4}  (3.25)
g_{2} − g_{4} = \frac{C_{21}}{C_{22}} g_{3}  (3.26)

woraus man sofort erhält, daß (3.24) von (3.22) und (3.23) verzweigt, also eine Sekundärverzweigung darstellt.

Es seien λ_{i}(σ) die Geraden mit g_{i}(λ_{i}(σ), σ) ≡ 0 für i = 1,…, 4. Bei λ_{1} bzw. λ_{2} verzweigt (3.22) bzw. (3.23) von der trivialen Lösung (3.21). λ_{1}(σ) und λ_{2}(σ) sind in einer offenen Umgebung von σ = 0 definiert. Wegen der Annahme über die Vorzeichen der Koeffizienten haben g_{1} und g_{2} positive Steigung, sodaß eine superkritische Verzweigung vorliegt. Bei λ_{3} und λ_{4} ist die Lage etwas komplizierter. Für festes σ ≠ 0 kann bei λ_{3}(σ) nur dann eine neue Lösung verzweigen, wenn g_{4}(λ_{3}(σ), σ) > 0 ist. Nach (3.26) ist

g_{4}(λ_{3}(σ), σ) = g_{2}(λ_{3}(σ), σ) > 0 ⇔ λ_{3}(σ) > λ_{2}(σ).

Genauso kann nach (3.25) bei λ_{4}(σ) nur dann eine Verzweigung stattfinden, wenn λ_{4}(σ) > λ_{1}(σ). Das ist jeweils entweder bei σ > 0 oder bei σ < 0 der Fall. Die Sekundärverzweigungskurven λ_{3} und λ_{4} sind also nur partiell definiert.

Wir unterscheiden nun zwei grundlegende Fälle, jenachdem ob λ_{3}(σ) und λ_{4}(σ) in derselben Halbebene {σ < / > 0} oder in entgegengesetzten Halbebenen definiert sind. Das entspricht nach den obigen Ausführungen der Unterscheidung (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) < / > 0. Man rechnet leicht nach, daß

sgn (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) = sgn (A_{1}C_{22} − A_{2}C_{12})(A_{1}C_{21} − A_{2}C_{11})

gilt.

1. (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) > 0: Für λ_{3}(σ) > λ_{2}(σ) und λ_{4}(σ) > λ_{1}(σ) ist (3.24) zwischen λ_{3}(σ) und λ_{4}(σ) definiert und verbindet (3.22) mit (3.23). Für λ_{3}(σ) < λ_{2}(σ) und λ_{4}(σ) < λ_{1}(σ) ist (3.24) nicht definiert. Das Bifurkationsportrait ist in Abb. 3.9 wiedergegeben.

2. (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) < 0: Für λ_{3}(σ) > λ_{2}(σ) und λ_{4}(σ) < λ_{1}(σ) verzweigt (3.24) von (3.23) bei λ_{3}(σ). Für λ_{3}(σ) < λ_{2}(σ) und λ_{4}(σ) > λ_{1}(σ) verzweigt (3.24) von (3.22) bei λ_{4}(σ). Das Bifurkationsportrait ist in Abb. 3.10 wiedergegeben.

3.2.2 Stabilität der stationären Lösungen

Die Bestimmung der Stabilität der Zweige (3.21)–(3.24) erfolgt wie gehabt. Die Jacobimatrix A(s_{1}, s_{2}, λ, σ) ist hier

( \begin{matrix}A_{1}λ + B_{1}σ + 3C_{11}s_{1}^{2} + C_{12}s_{2}^{2} & 2C_{12}s_{1}s_{2} \\ 2C_{21}s_{1}s_{2} & A_{2}λ + B_{2}σ + C_{21}s_{1}^{2} + 3C_{22}s_{2}^{2} \end{matrix} ) .

[figure: λ; λ; ||s||; ||s||; σ ↔ −σ]

Abbildung 3.9: Bifurkationsportrait für (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) > 0

Abbildung 3.10: Bifurkationsportrait für (λ_{3} − λ_{2})(λ_{4} − λ_{1}) < 0 Mit den Identitäten (3.25), (3.26) erhält man durch Einsetzen von

[figure: λ; λ; ||s||; ||s||; σ ↔ −σ]

(3.21) : A = ( \begin{matrix}−C_{11}g_{1} & 0 \\ 0 & −C_{22}g_{2} \end{matrix} )
(3.22) : A = ( \begin{matrix}2C_{11}g_{1} & 0 \\ 0 & −\frac{C}{C_{11}} g_{4} \end{matrix} )
(3.23) : A = ( \begin{matrix}−\frac{C}{C_{22}} g_{3} & 0 \\ 0 & 2C_{22}g_{2} \end{matrix} )
(3.24) : A = ( \begin{matrix}−2C_{11}g_{3} & 2C_{12}\sqrt{g_{3}g_{4}} \\ 2C_{21}\sqrt{g_{3}g_{4}} & −2C_{22}g_{4} \end{matrix} )

Wir betrachten hier nur den Sekundärzweig (3.24).

det A = Cg_{3}g_{4} und spur A = −2C_{11}g_{3} − 2C_{22}g_{4}. Da (3.24) nur für diejenigen (λ, σ) definiert ist, für die g_{3} > 0 und g_{4} > 0 gilt, folgt spur A > 0. Es ist also (3.24) stabil für C > 0 und instabil für C < 0, somit tritt kein Stabilitätswechsel auf. Daraus folgt, daß auch keine Hopf–Verzweigung von (3.24) stattfindet, denn eine HV ist immer mit einem Stabilitätswechsel der stationären Lösung verbunden, von der die periodischen Lösungen verzweigen. Auf (3.21)–(3.23) kann sowieso keine HV stattfinden, weil hier nur reelle Eigenwerte auftreten. Eine notwendige Bedingung für das Auftreten einer HV ist offensichtlich C_{11}C_{22} < 0 und C_{12}C_{21} < 0.

3.2.3 Behandlung der Terme höherer Ordnung

Der Schlüssel besteht wieder darin, eine geeignete Skalierung zu finden, so daß die bei (2.10) vernachlässigten Terme stetig von σ abhängen und bei σ = 0 verschwinden. Wir können wieder |λ| < K|σ| annehmen.

Wir setzen

λ = σβ, s_{1} = |σ|^{1/2}r_{1}, s_{2} = |σ|^{1/2}r_{2}  (3.27)

in die rechte Seite von (2.10) ein und erhalten

0 = |σ|^{1/2}r_{1}(A_{1}σβ + B_{1}σ + C_{11}|σ|r_{1}^{2} + C_{12}|σ|r_{2}^{2})
+ |σ|^{1/2}r_{1}(C_{1}σ^{2}β^{2} + D_{1}σ^{2}β + E_{1}σ^{2}) + H_{1}(|σ|^{1/2}r_{1}, |σ|^{1/2}r_{2}, σβ, σ)
0 = |σ|^{1/2}r_{2}(A_{2}σβ + B_{2}σ + C_{21}|σ|r_{1}^{2} + C_{22}|σ|r_{2}^{2})
+ |σ|^{1/2}r_{2}(C_{2}σ^{2}β^{2} + D_{2}σ^{2}β + E_{2}σ^{2}) + H_{2}(|σ|^{1/2}r_{1}, |σ|^{1/2}r_{2}, σβ, σ).

Da H nur O(4)–Terme enthält, gilt H = O(σ^{2}). Man kann also die Gleichungen durch |σ|^{3/2} dividieren, ohne daß in σ = 0 eine Singularität auftritt; allerdings ist eine Fallunterscheidung σ < / > 0 notwendig. Wir erhalten dann für σ > 0

\begin{aligned}ṙ_{1} & = & r_{1}(A_{1}β + B_{1} + C_{11}r_{1}^{2} + C_{12}r_{2}^{2}) + O(|σ|^{1/2}) \\ ṙ_{1} & = & r_{1}(A_{2}β + B_{2} + C_{21}r_{1}^{2} + C_{22}r_{2}^{2}) + O(|σ|^{1/2}) \end{aligned}  (3.28)

und für σ < 0

\begin{aligned}ṙ_{1} & = & r_{1}(−A_{1}β − B_{1} + C_{11}r_{1}^{2} + C_{12}r_{2}^{2}) + O(|σ|^{1/2}) \\ ṙ_{1} & = & r_{1}(−A_{2}β − B_{2} + C_{21}r_{1}^{2} + C_{22}r_{2}^{2}) + O(|σ|^{1/2}). \end{aligned}  (3.29)

Das Problem, alle kleinen Ruhepunkte (s_{1}, s_{2}, λ, σ) von (2.10) zu finden, ist nun äquivalent dazu, alle Ruhepunkte (r_{1}, r_{2}, β) von (3.28) für kleine σ > 0 und von (3.29) für kleine σ < 0 zu bestimmen. Dazu muß man noch eine Ungleichung der Form |s| ≤ γ(|λ|^{1/2} + |σ|^{1/2}) beweisen.

Es lassen sich dann ähnliche Ergebnisse wie im quadratischen Fall herleiten. Genaueres entnimmt man [6].

Abstrahierung auf das unendlichdimensionale System

Im vorigen Kapitel wurden die Eigenschaften des reduzierten Systems (2.6) ausführlich diskutiert. Es wird sich zeigen, daß wesentliche Eigenschaften von (2.6) auch für das Originalsystem (1.9) gelten. In diesem Kapitel werden diese Ergebnisse formuliert und durch ein Beispiel, in dem u.a. eine numerische Berechnung der ZM M vorgenommen wird, untermauert.

4.1 Formulierung der Hauptergebnisse

Es ist klar daß man nur in einer — eventuell sehr kleinen — Umgebung von (s_{1}, s_{2}, λ, σ) = 0 Lösungen (s_{1}(t), s_{2}(t)) von (2.6) auf das Originalsystem (1.9) abstrahieren kann, weil die ZM M, die ja Grundlage der Reduktion ist, nur lokal definiert ist. Wir betrachten also im folgenden nur lokale Lösungen von (2.6), also Lösungen, die sich in einer hinreichend kleinen Umgebung von 0 bewegen. Insbesondere gilt das für die im vorigen Kapitel betrachteten kritischen Lösungen für kleine (λ, σ).

Hat man eine lokale Lösung (s_{1}(t), s_{2}(t)) von (2.6) für festes (λ, σ) gefunden, so folgt aus der Invarianz von M sofort, daß

w(t) = s_{1}(t)w_{1}^{+} + s_{2}(t)w_{2}^{+} + h(s_{1}(t), s_{2}(t), λ, σ)  (4.1)

eine lokale Lösung von (1.9) ist. Der folgende Satz zeigt, daß die lokalen kritischen Punkte von (2.6) und (1.9) in eineindeutiger Relation zueinander stehen.

Satz 4.1 Es sei s(t) = (s_{1}(t), s_{2}(t)) ein kritischer Punkt von (2.6) bei festem (λ, σ) und w(t) wie in (4.1) der entsprechende auf M liegende kritische Punkt von (1.9).

1. Ist s_{(}t) asymptotisch stabil / stabil / instabil, so ist auch w(t) asymptotisch stabil / stabil / instabil.

2. Alle lokalen kritischen Punkte von (1.9) lassen sich wie (4.1) schreiben.

Beweis ad 1. Ist s(t) instabil, so ist nach Definition von w(t) klar, daß auch w(t) instabil ist. Ist s(t) (asymptotisch) stabil, so ist Satz 1.5 anwendbar, welcher besagt, daß jede Lösung \overline{w}(t) von (1.9) mit hinreichend kleinem ||\overline{w}(0)−w(0)|| exponentiell gegen M strebt. Damit hat man die (asymptotische) Stabilität von w(t).

ad 2. Zu zeigen ist, daß alle lokalen kritischen Punkte w(t) von (1.9) auf M liegen. Aber das ist nach Satz 1.5 klar: Denn gäbe es einen nicht auf M liegenden kritischen Punkt w(t), so würde der Abstand von w(t) zu M für t → ∞ exponentiell abnehmen, d.h. w(t) könnte weder stationär noch periodisch sein, was ein Widerspruch ist. □

Damit hat man auch sofort alle Verzweigungskurven von (1.9):

Satz 4.2 In einer kleinen Umgebung von (λ, σ) = (0, 0) gilt: Die Verzweigungskurven λ(σ) von (1.9) sind genau die Verzweigungskurven von (2.6).

Beweis Anwendung von Satz 4.1. □

4.2 Anwendung der Ergebnisse auf ein Beispiel

Wir betrachten hier das spezielle System

\begin{aligned}u_{t} & = & u′′ + (λ + 26)u + (σ + 44)v + 2u^{2} + 2uv − 5v^{2} \\ v_{t} & = & 2v′′ + (σ − 17)u + (λ − 26)v \end{aligned}  (4.2)

mit quadratischen Nichtlinearitäten. Es ist also

A = ( \begin{matrix}26 & 44 \\ −17 & −26 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,

ρ_{20} = \binom{2}{0}, ρ_{11} = \binom{2}{0}, ρ_{02} = \binom{−5}{0}.

Man rechnet leicht nach, daß L die Eigenwerte

μ_{2}^{+} = μ_{3}^{+} = 0, μ_{2}^{−} = −12, μ_{3}^{−} = −27

hat und daß Re (μ_{i}^{±}) < 0 für i ≠ 2, 3. Die Voraussetzungen zur Anwendung der Theorie sind also mit m_{1} = 2 und m_{2} = 3 erfüllt. Als Basisvektoren der Eigenräume von A − m_{i} wählen wir ^{1}

\binom{a_{1}^{+}}{b_{1}^{+}} = \frac{1}{28\sqrt{3}}\binom{−98}{49}, \binom{a_{1}^{−}}{b_{1}^{−}} = \frac{1}{28\sqrt{3}}\binom{88}{−68},

\binom{a_{2}^{+}}{b_{2}^{+}} = \frac{1}{435\sqrt{3}}\binom{−1100}{425}, \binom{a_{2}^{−}}{b_{2}^{−}} = \frac{1}{435\sqrt{3}}\binom{841}{−841}.

Nach (2.8) erhält man daraus W_{1}^{−1}BW_{1} = W_{2}^{−1}BW_{2} = I,

W_{1}^{−1}CW_{1} = ( \begin{matrix}\frac{9}{4} & −\frac{65}{49} \\ \frac{49}{16} & −\frac{9}{4} \end{matrix} ) , W_{2}^{−1}CW_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{1525}{841} & −1 \end{matrix} ) ,

also

d_{11}^{(1)} = λ + \frac{9}{4}σ, d_{11}^{(2)} = λ + σ,

d_{21}^{(1)} = \frac{49}{16}σ, d_{21}^{(2)} = \frac{1525}{841}σ,

also

A_{1} = 1, B_{1} = \frac{9}{4}, A_{2} = 1, B_{2} = 1.

1Bei der Auswahl der Basisvektoren ist darauf zu achten, daß (2.1) gilt. Außerdem sollten \binom{a_{i}^{+}}{b_{i}^{+}} und \binom{a_{1}^{−}}{b_{i}^{−}} ungefähr dieselbe Länge haben, weil sonst bei der später für die Koordinaten der Basisvektoren hergeleiteten gewöhnlichen DGL die Größenunterschiede zwischen den Koeffizienten zu kraß werden. Dies führt dann zu steifen DGL, die bei numerischen Lösungsversuchen Probleme bereiten können.

Jetzt sind noch die Konstanten C_{1}, C, C_{2} zu bestimmen. Man rechnet aus:

η_{20} = \binom{−\frac{49}{12}}{0}, η_{11} = \binom{\frac{455}{522}}{0}, η_{02} = \binom{\frac{23275}{22707}}{0}.

Daraus ergibt sich dann

C_{1} = \frac{32}{21π} | \begin{matrix}η_{11}^{1} & a_{1}^{−} \\ η_{11}^{2} & b_{1}^{−} \end{matrix} | = −\frac{1}{\sqrt{3}π} \frac{17680}{5481} ≈ −0.593,
C = \frac{32}{21π} | \begin{matrix}η_{20}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{20}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | = \frac{1}{\sqrt{3}π} \frac{406}{135} ≈ 0.553,
C_{2} = \frac{8}{9π} | \begin{matrix}η_{02}^{1} & a_{2}^{−} \\ η_{02}^{2} & b_{2}^{−} \end{matrix} | = −\frac{1}{\sqrt{3}π} \frac{37240}{21141} ≈ −0.324.

Damit sind alle Koeffizienten von (3.1) bestimmt.

Hier sind C_{2}(A_{1}C_{2} − A_{2}C_{1}), CC_{1}, K_{1} alle negativ, also ist das Bifurkationsportrait durch Abb. 3.6 gegeben.

Als Verzweigungskurven von (3.1) erhalten wir

λ_{+}(σ) = −\frac{9}{4}σ, λ_{0}(σ) = −σ, λ_{−}(σ) = \frac{10917}{21668}σ ≈ \frac{σ}{2} ,

die nach Satz 4.2 auch die V-kurven von (1.9) — modulo der O(σ^{2})-Terme — sind. Durch die drei Geraden wird die (λ, σ)–Ebene in sechs Sektoren unterteilt, in denen jeweils die Phasenportraits von (3.1) zueinander homöomorph sind. Einen Sonderfall bildet hier die transkritische V-Kurve λ_{0}. Bei Überqueren dieser Kurve tauschen die beiden auf {s_{1} = 0} gelegenen Ruhepunkte Stabilität und relative Lage zueinander aus. Die entsprechenden Phasenportraits vor und nach der Verzweigung sind also dieselben. Deshalb wurden je zwei Sektoren, die λ_{0} als gemeinsamen Rand haben, in Abb. 4.2–4.4 zu einem Sektor zusammengefaßt.

Die Phasenportraits wurden auf einem Atari ST mit einem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung erstellt.

\overline{}[figure] [figure] [figure] 1 2 3 4 5  6 λ  σ λ_{−} λ_{+} λ_{0} æ

Abbildung 4.1: Verzweigungskurven Abbildung 4.2: Phasenportrait in Sektor 1 und 2

Abbildung 4.3: Phasenportrait in Sektor 3 Abbildung 4.4: Phasenportrait in Sektor 4 und 5

Abbildung 4.5: Phasenportrait in Sektor 6

4.3 Eine numerische Berechnung von M

Zur praktischen Anwendung von Satz 4.1 — etwa zur Bestimmung von zeitlich konstanten Lösungen von (4.2) — wird man, wenn man schon M bzw. h nicht genau kennt, zumindest eine numerische Approximation ϕ von h benötigen. Diese soll jetzt mit dem Approximationssatz 1.4 bestimmt werden.

Wir können annehmen, daß |(s_{1}, s_{2}, λ)| = O(σ), also h = O(σ^{2}). Es liegt zunächst nahe, ϕ ≡ 0 zu setzen, und man hat eine Approximation erster Ordnung von h. Sei (s_{1}, s_{2}, λ, σ) eine Nullstelle von (2.6) und

w = s_{1}w_{1}^{+} + s_{2}w_{2}^{+} + h(s_{1}, s_{2}, λ, σ)

die zugehörige Nullstelle von (1.9). Ist dann (\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}) beliebig mit |s−\overline{s}| = O(σ) und nehmen wir \overline{w} = \overline{s}_{1}w_{1}^{+} + \overline{s}_{2}w_{2}^{+} als Approximation von w, so folgt

||L\overline{w} + N(\overline{w}, λ, σ)|| = ||N(\overline{w}, λ, σ)|| = O(σ^{2}),

d.h. der Test: ||Lw+N(w, λ, σ)|| = O(σ^{2}) wird lokal von allen Punkten (\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}) erfüllt. Das kann natürlich nicht das Ziel sein; wir wollen lokal eindeutige Nullstellen haben.

Hat man dagegen eine Approximation ϕ von h zweiter Ordnung, also ||h−ϕ|| = O(σ^{3}), und ist (\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}) eine Approximation zweiter Ordnung von (s_{1}, s_{2}) wie man sie als Nullstelle der ”abgeschnittenen“ Gleichung (3.1) erhält, so gilt mit \overline{w} = \overline{s}_{1}w_{1}^{+} + \overline{s}_{2}w_{2}^{+} + ϕ(\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}, λ, σ):

||L\overline{w} + N(\overline{w}, λ, σ)|| = ||L(h + ϕ − h) + N(w + \overline{w} − w, λ, σ)||
= \underbrace{||Lh + N(w, λ, σ)||}_{=0} +O(σ^{3}).  (4.3)

Wie erhält man nun solch ein ϕ ? Nach Satz 1.4 gilt, ^{2} daß die Lösung ϕ(s_{1}, s_{2}, λ, σ) des linearen, gewöhnlichen RWP auf Y,

Lϕ = −g, ϕ(0) = ϕ(π) = 0  (4.4)

mit g = (I − P)N(s_{1}, s_{2}, λ, σ) als rechter Seite eine Approximation zweiter Ordnung von h(s_{1}, s_{2}, λ, σ) darstellt.

2vgl. die Diskussion der kubischen Nichtlinearitäten in Kap. 2

Zur numerischen Lösung von (4.4) müssen wir zunächst die Gleichung ausschreiben, wobei wir ab jetzt wieder obiges Beispiel betrachten. Nach Abschnitt 2.3.2 gilt

N = s_{1}d_{11}^{(1)}w_{1}^{+} + s_{1}d_{21}^{(1)}w_{1}^{−} + s_{2}d_{11}^{(2)}w_{2}^{+} + s_{2}d_{21}^{(2)}w_{2}^{−}
+(s_{1}^{2} sin^{2} 2x)η_{20} + (s_{1}s_{2} sin 2x sin 3x)η_{11}
+(s_{2}^{2} sin^{2} 3x)η_{02} + O(σ^{3}).

Vor Anwendung der Projektion ”filtern“ wir die Anteile sin 2x und sin 3x aus den Fourierreihen von sin^{2} 2x, sin 2x sin 3x und sin^{2} 3x heraus, was mit den weiter oben aufgeführten Integralformeln geschieht:

sin^{2} 2x = \frac{32}{21π} sin 3x + (sin^{2} 2x − \frac{32}{21π} sin 3x)

sin 2x sin 3x = \frac{32}{21π} sin 2x + (sin 2x sin 3x − \frac{32}{21π} sin 2x)

sin^{2} 3x = \frac{8}{9π} sin 3x + (sin^{2} 3x − \frac{8}{9π} sin 3x)

Also:

(I − P)N(s_{1}, s_{2}, λ, σ)
= s_{1}d_{21}^{(1)}w_{1}^{−} + s_{2}d_{21}^{(2)}w_{2}^{−}
+ s_{1}^{2} \frac{32}{21π} | \begin{matrix}a_{2}^{+} & η_{20}^{1} \\ b_{2}^{+} & η_{20}^{2} \end{matrix} | w_{2}^{−} + s_{1}^{2} \underbrace{(sin^{2} 2x − \frac{32}{21π} sin 3x) η_{20}}_{:=g_{20}∈Y_{2}}

+ s_{1}s_{2} \frac{32}{21π} | \begin{matrix}a_{1}^{+} & η_{11}^{1} \\ b_{1}^{+} & η_{11}^{2} \end{matrix} | w_{1}^{−} + s_{1}s_{2} \underbrace{(sin 2x sin 3x − \frac{32}{21π} sin 2x) η_{11}}_{:=g_{11}∈Y_{2}}

+ s_{2}^{2} \frac{8}{9π} | \begin{matrix}a_{2}^{+} & η_{02}^{1} \\ b_{2}^{+} & η_{02}^{2} \end{matrix} | w_{2}^{−} + s_{2}^{2} \underbrace{(sin^{2} 3x − \frac{8}{9π} sin 3x) η_{02}}_{:=g_{02}∈Y_{2}}

+ O(σ^{3}).

Weil w_{1}^{−} und w_{2}^{−} Eigenfunktionen von L zu den Eigenwerten μ_{1}^{−} = −12 und μ_{2}^{−} = −27 sind, ist nun klar, wie man ϕ erhält:

1. Löse numerisch (4.4) mit g = g_{20}, g_{11}, g_{02} als rechter Seite und erhalte Lösungen ϕ_{20}, ϕ_{11}, ϕ_{02}.

2. Setze

ϕ := −\frac{1}{μ_{1}^{−}} (s_{1}d_{21}^{(1)} + s_{1}s_{2} \frac{32}{21π} | \begin{matrix}a_{1}^{+} & η_{11}^{1} \\ b_{1}^{+} & η_{11}^{2} \end{matrix} |) w_{1}^{−}

−\frac{1}{μ_{2}^{−}} (s_{2}d_{21}^{(2)} + s_{1}^{2} \frac{32}{21π} | \begin{matrix}a_{2}^{+} & η_{20}^{1} \\ b_{2}^{+} & η_{20}^{2} \end{matrix} | + s_{2}^{2} \frac{8}{9π} | \begin{matrix}a_{2}^{+} & η_{02}^{1} \\ b_{2}^{+} & η_{02}^{2} \end{matrix} |) w_{2}^{−}

−s_{1}^{2}ϕ_{20} − s_{1}s_{2}ϕ_{11} − s_{2}^{2}ϕ_{02}.

Bemerkungen

1. (4.4) wird üblicherweise mit einem Standarddifferenzenverfahren der Ordnung O(Δx^{2}) gelöst, wenn Δx die Schrittweite ist. Bei geschickter Anordnung der Unbekannten erhält man ein 5–Band–System.

2. Man könnte zunächst meinen daß es günstiger wäre, (4.4) direkt mit g = (I − P)N als rechter Seite zu lösen. Für kleines σ dominieren aber dann die Eigenfunktionen w_{i}^{−}, welche dieselben Moden wie die den Kern aufspannenden w_{i}^{+} haben. Eine kleine Variation der Koeffizienten von w_{i}^{−} genügt also, und g liegt nicht mehr in Y. Das führt zu numerischen Komplikationen, weil (4.4) nur auf Y eindeutig lösbar ist. Außerdem kann man, wenn man g_{20}, g_{11} und g_{02} einmal kennt, ϕ für beliebige (s_{1}, s_{2}, λ, σ) berechnen.

3. Wenn σ klein ist, hat man dementprechend betragsmäßig kleine Lösungen von (2.6). Zur Vermeidung von hieraus resultierenden Problemen, etwa Auslöschung von führenden Dezimalstellen, wird man in der Praxis das System geeignet transformieren: Man setzt w = σz, λ = σβ, s_{1} = σr_{1}, s_{2} = σr_{2} in (2.6) und (1.9) ein, dividiert durch σ und erhält äquivalente Gleichungen der Form

z_{t} = Lz + σN̂(z, λ, σ)

und

ṙ = F̂(r, β, σ),

löst diese numerisch oder analytisch (wenn man es kann!) und multipliziert die Lösungen wieder mit σ. Genaueres entnimmt man Kap. 3, wo diese Skalierung schon zur Elimination der unbekannten Nichtlinearitäten verwendet wurde.

\begin{matrix}σ & ||L\overline{w} + N(\overline{w}, λ, σ)||_{2}/σ^{2} \\ 1/2 & 10.465 \\ 1/4 & 4.596 \\ 1/8 & 2.244 \\ 1/16 & 1.121 \\ 1/32 & 0.557 \\ 1/64 & 0.281 \end{matrix}

Tabelle 4.1: Asymptotisches Verhalten für σ → 0

Anhand eines speziellen Ruhepunktes soll nun die Asymptotik (4.3) demonstriert werden. Wir setzen

λ(σ) = \frac{3}{4}λ_{+}(σ) + \frac{1}{4}λ_{−}(σ),

dann ist P (λ(σ), σ) > 0, und

\overline{s}_{1}(σ) = \sqrt{P (λ(σ), σ)}, \overline{s}_{2}(σ) = −\frac{A_{1}λ(σ) + B_{1}σ}{C_{1}}

sind Nullstellen der ”abgeschnittenen“ Gleichung (3.1). ϕ(\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}, λ, σ) wurde gemäß obigem Algorithmus mit 600 Stützpunkten ξ_{i} im Intervall [0, π] berechnet. Als Näherung eines Ruhepunktes von (4.2) wird

\overline{w}(σ) = \overline{s}_{1}w_{1}^{+} + \overline{s}_{2}w_{2}^{+} + ϕ(\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}, λ, σ)

genommen und ||L\overline{w} + N(\overline{w}, λ, σ)||_{2} berechnet. Dabei wird die zweite Ortsableitung von \overline{w}(σ) im Stützpunkt ξ_{i} durch

\overline{w}′′(σ, ξ_{i}) ≈ \frac{\overline{w}(σ, ξ_{i−1}) + \overline{w}(σ, ξ_{i+1}) − 2\overline{w}(σ, ξ_{i})}{Δξ^{2}}

und das Integral in der L_{2}–Norm durch die Sehnentrapezregel angenähert. Für verschiedene Werte von σ erhält man dann die in Tabelle 4.1 zusammengefaßten numerischen Ergebnisse. Alle Berechnungen werden mit doppelter Genauigkeit durchgeführt.

4.4 Eine numerische Lösung der Reaktions– Diffusions–Gleichung

Zum Abschluß soll das System (4.2) einmal numerisch gelöst werden. Dazu benutzen wir die FORTRAN–Routine D03PBF zur Lösung parabolischer DGL– Systeme aus der Numerik–Bibliothek NAG mit einer Ortsdiskretisierung von 300 Stützpunkten.

Wir setzen

σ = 0.1, λ = \frac{3}{4}λ_{+}(σ) + \frac{1}{4}λ_{−}(σ),

s_{1}^{0} = \frac{σ}{2} , s_{2}^{0} = −σ,

Dann liegt (λ, σ) in Sektor 2, und wie man am Phasenportrait dieses Sektors erkennt, gibt es einen in der rechten offenen Halbebene global asymptotisch stabilen Ruhepunkt (\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}) von (3.1).

Als Anfangsfunktion wählen wir

w_{0} = s_{1}^{0}w_{1}^{+} + s_{2}^{0}w_{2}^{+} + ϕ(s_{1}^{0}, s_{2}^{0}, λ, σ)

(wobei ϕ wie oben berechnet wird); w_{0} liegt also ”fast“ auf M.

Eine numerische Lösung (s_{1}(t), s_{2}(t)) von (3.1) zum Anfangswert (s_{1}^{0}, s_{2}^{0}) erhalten wir mit einem Runge–Kutta–Verfahren und setzen

w_{RK}(t) = s_{1}(t)w_{1}^{+} + s_{2}(t)w_{2}^{+} + ϕ(s_{1}(t), s_{2}(t), λ, σ),
w_{NAG}(t) = von NAG gelieferte Lösung von (4.2) zur Anfangsfunktionw_{0}.

Beide Iterationen werden bis t = 64 durchgeführt.

w_{RK}(t) strebt für t → ∞ in die Ruhelage

\overline{w}_{RK} = \overline{s}_{1}w_{1}^{+} + \overline{s}_{2}w_{2}^{+} + ϕ(\overline{s}_{1}, \overline{s}_{2}, λ, σ).

Nach den bisherigen Ergebnissen können wir hoffen, daß w_{NAG}(t) ebenfalls gegen eine Ruhelage \overline{w}_{NAG} konvergiert mit ||\overline{w}_{RK} − \overline{w}_{NAG}||_{2} = O(σ^{2}). Wie man den Abb. 4.6–4.9 entnimmt, ist dies tatsächlich der Fall.

Der ”Buckel“, der bei w_{RK} = (u_{RK}, v_{RK}) zu Beginn auftritt, ist wohl darauf zurückzuführen, daß die Trajektorie (s_{1}(t), s_{2}(t)) zunächst den Definitionsbereich von h verläßt, aber später doch zurückkommt.

Abbildung 4.6: u_{RK} · σ^{−1}

Abbildung 4.7: u_{NAG} · σ^{−1} Abbildung 4.8: v_{RK} · σ^{−1}

Abbildung 4.9: v_{NAG} · σ^{−1}

4.5 Abschließende Bemerkungen

1. Mit den in dieser Diplomarbeit erzielten Ergebnissen werden Keeners Ergebnisse im wesentlichen bestätigt. Insbesondere erhalten wir dieselben gewöhnlichen DGL’en, sowohl im quadratischen als auch im kubischen Fall. Darüberhinaus wurde das Auftreten einer Hopf–Verzweigung — bei gewisser Konstellation der Parameter — bewiesen. Keener erwähnt diese Möglichkeit in seiner Arbeit nicht.

2. Es fällt einem sofort die relativ einfache Struktur dieser Gleichungen auf. Diese Struktur ist wohl kein Zufall; vielmehr scheinen die algebraischen Gleichungen

\begin{aligned}0 & = & (A_{1}λ + B_{1}σ)s_{1} + C_{1}s_{1}s_{2} \\ 0 & = & (A_{2}λ + B_{2}σ)s_{2} + Cs_{1}^{2} + C_{2}s_{2}^{2} \end{aligned}  (4.5)

bei quadratischen Nichtlinearitäten und

\begin{aligned}0 & = & s_{1}(A_{1}λ + B_{1}σ + C_{11}s_{1}^{2} + C_{12}s_{2}^{2}) \\ 0 & = & s_{2}(A_{2}λ + B_{2}σ + C_{21}s_{1}^{2} + C_{22}s_{2}^{2}) \end{aligned}  (4.6)

bei kubischen Nichtlinearitäten eine Art Normalform für Verzweigungen von doppelten Eigenwerten darzustellen [14]. Das bedeutet: Auch bei Reduktion anderer Verzweigungsprobleme mit doppeltem Eigenwert 0 kann man erwarten, dieselben Gleichungstypen zu erhalten.

3. In vielen Fällen, etwa bei ökologischen Modellen, treten Reaktions– Diffusions–Gleichungen mit Neumann–Randbedingungen auf. Die Reduktion ist dann ganz analog durchzuführen, wenn man nach Cosinus statt nach Sinus entwickelt.

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Literaturverzeichnis

[1] Abraham/Marsden/Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis and Applications, Second Edition, Springer 1988

[2] Amann, Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter 1983

[3] Arnold, Ordinary Differential Equations, MIT Press Paperback Edition 1978

[4] Britton, Reaction Diffusion Equations and their Applications to Biology, Academic Press 1986

[5] Carr, Applications of Centre Manifold Theory, Springer 1981

[6] Chow/Hale, Methods of Bifurcation Theory, Springer 1983

[7] Chow/Lu, Invariant Manifolds for Flows in Banach Spaces, J. Diff. Eq. 74, 285-317, 1988

[8] Golubitsky/Schaeffer, Singularities and Groups in Bifurcation Theory (Vol. I), Springer 1985

[9] Guckenheimer/Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer 1983

[10] Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer Lecture Notes in Mathematics 1981

[11] Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner 1989

[12] Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Second Edition, Springer 1976

[13] Keener, Secondary Bifurcation in Nonlinear Diffusion Reaction Equations, Studies in Appl. Math. 55, 187-211, 1976 [14] Keener, Secondary Bifurcation and Multiple Eigenvalues, SIAM J. of

Appl. Math. 37, 330-349, 1979

[15] Marsden/McCracken, The Hopf Bifurcation and its Applications, Springer 1976

[16] Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion Equations, Springer 1982 Hiermit versichere ich, diese Diplomarbeit eigenständig und ohne unzulässige Hilfsmittel erstellt zu haben.