Jörn Stypa

Existenz einer Lösung für die nichtlineare Elastizitätstheorie

mit Anwendung in der Herzmechanik

Angewandte Mathematik

Existenz einer Lösung für die nichtlineare Elastizitätstheorie

mit Anwendung in der Herzmechanik

Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

der Naturwissenschaften im Fachbereich

Mathematik und Informatik

der Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fakultät der Westfälischen Wilhelms–Universität Münster

vorgelegt von

Jörn Stypa aus Kleve

Dekan:  Prof. Dr. W. Lange
Erster Gutachter:  Prof. Dr. C.W. Cryer
Zweiter Gutachter:  Prof. Dr. F. Natterer

Tag der mündlichen Prüfungen: Tag der Promotion:

Für meine Eltern

Zusammenfassung

Die klassischen linearen Modelle der Elastizitätstheorie sind in der Biomechanik nur sehr begrenzt anwendbar und sind dort durch die nichtlinearen Modelle zu ersetzen. Dies gilt besonders für die Modellierung der Herzmechanik, die durch die Batista Operation (Herverkleinerung) neuerdings an Bedeutung gewonnen hat. Die mathematische Modellierung der stationären Herzmechanik führt auf ein nichtlineares System von partiellen Differentialgleichungen. Dabei wird das Herz nicht als dünne Schale modelliert, sondern als dreidimensionales Objekt betrachtet. Die Lösungen dieses Systems sind die Deformationen, mit denen sich Verzerrungen und Spannungen bestimmen lassen. Für hyperelastische Materialien, wie das Myokard, existiert ein Energiefunktional. In der Elastizitätstheorie sind diese Funktionale nicht konvex, das gleiche gilt auch für die Menge der Deformationen. Daher ist der Existenzsatz von Lax-Milgram für das zugehörige Variationsproblem nicht anwendbar. Der Satz von Ball liefert einen Existenzsatz, wenn das Energiefunktional polykonvex ist. Wir zeigen in dieser Arbeit, dass das Energiefunktional für die Herzwand nicht polykonvex ist. Die Frage nach der Existenz einer Lösung für Materialien mit nicht polykonvexen Energiefunktionalen ist offen. In dieser Arbeit präsentieren wir einen lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für diese Materialien und somit auch für die stationäre nichtlineare Herzmechanik. Zusätzlich zeigen wir, dass die Lösung analytisch ist. Abschließend finden sich numerische Simulationen für nichttriviale Beispiele aus der nichtlinearen Elastizitätstheorie.

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1 Einleitung 1 1.1 Thematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Das mathematische Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die Piola-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Eigenschaften des 1.Piola-Kirchhoffschen Tensors für elastische

Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Nichtlinearität in der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . 12

2 Existenzsatz für polykonvexe Funktionen 14 2.1 Grundlagen für dieses Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Schwache Konvergenz der Folgen Cof∇φ^{l} und det ∇φ^{l} …. 17 2.3 Die Energie I(φ) als schwach unterhalbstetige Funktion …. 23 2.4 Balls Existenzsatz für polykonvexe Funktionen . . . . . . . . . 25 2.5 Das Energiefunktional des Myokards . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Existenzsatz ohne konvexe Voraussetzung . . . . . . . . . . . . 32

3 Der Laplace-Operator als Homöomorphismus 34 3.1 Einige Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Formulierung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Linearisierung und Existenzsatz 60

4.1 Grundlagen aus der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 Zulässige Deformationen und deren topologischen Eigenschaften 65 4.3 Linearisierung des Elastizitätsoperators . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Spezielle Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5 Der linearisierte Elastizitätsoperator als analytische Funktion . 79 4.6 Ein lokaler Existenzsatz für das Dirichlet Problem . . . . . . . 80 4.7 Die Antwortfunktion für das Myokard . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Numerische Berechnungen 85 5.1 Hyperelastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Inkompressibles Neo-Hooke Material . . . . . . . . . . . . . . 93

6 Abschließende Beurteilung 97

A Anhang 100 A.1 Abschätzung für die Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . 100

Literaturverzeichnis 105

Symbolverzeichnis

ES  Einsteinsche Summenkonvention,

d.h. über den doppelt auftretenden Index ist zu summieren,

Ω  offene beschränkte und zusammenhängende Menge des IR^{n},

also ein Gebiet des IR^{n}

𝕄^{n}  Menge der n × n Matrizen
𝕄_{+}^{n}  die Menge aller F ∈ 𝕄^{n} mit det F > 0
𝕊^{n}  Menge der symmetrischen n × n Matrizen
𝕆_{+}^{n}  Menge der orthogonalen n × n Matrizen mit positiver Determinante
u(x)  Verschiebung u : \overline{Ω} → IR^{n}
φ(x)  = id + u(x), φ : \overline{Ω} → IR^{n}
x^{φ}  = φ(x)
Ω^{φ}  = φ(\overline{Ω})
∂_{j}φ(x)  = ∂φ(x)/∂x_{j}, partielle Ableitung
∇φ(x)  = ∂_{j}φ_{i}(x) ∈ 𝕄_{+}^{n}
F  = ∇φ(x), Deformationsgradient
T_{Z_{hk}}(∇φ) = D_{Z_{hk}}T (x, ∇φ(x)) = ∇_{Z_{hk}}T (x, ∇φ(x)), partielle Ableitung
C  = ∇φ^{T} ∇φ, Cauchy-Greenscher Verzerrungstensor
E  = \frac{1}{2}(C − I), Verzerrung
CofF  =(det F) · F^{−T}, Cofaktor Matrix von F
t^{φ}  Cauchyscher Spannungsvektor, in Koordinaten des

deformierten Körpers

T^{φ}  Cauchyscher Spannungstensor, in Koordinaten des

deformierten Körpers

T̂  = T̂(F), Antwortfunktion für Cauchyschen Spannungstensor
T  = det(∇φ)T^{φ}(x^{φ})(∇φ)^{−T}, 1.Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor
Σ  = (∇φ)^{−1}T, 2.Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor
div T^{φ}(x) = ∂_{j}T_{ij}^{φ}(x)e_{i} ∈ IR^{n} mit T^{φ} ∈ 𝕄^{n} und ES
Ŵ  Energiefunktional eines hyperelastischen Materials
\frac{∂Ŵ}{∂F} (x, F) = \frac{∂Ŵ}{∂F_{ij}} (x, F)
φ^{k} ⇀ φ  φ^{k} konvergiert schwach gegen φ
A ⋐ B  kompakte Einbettung von A in B
G_{1} ⊂⊂ G_{2} G_{i} ⊂ IR^{n}, G_{i} offen, \overline{G_{1}} kompakt und \overline{G_{1}} ⊂ G_{2}
W^{m,p}(Ω) Sobolew Raum, über schwache Ableitungen definiert
H^{m}(Ω)  = W^{m,2}(Ω)
L^{n}(Ω)  n-dimensionales Lebesgue-Maß von Ω
φ|_{∂Ω} = l_{∂Ω} für die Funktion φ gilt: φ(x) = x auf ∂Ω
l\overline{Ω}  Menge aller Funktionen, mit φ(x) = x, ∀x ∈ \overline{Ω}

W^{m,p}(Ω, IR^{n})  := {v = (v_{i}) : v_{i} ∈ W^{m,p}(Ω)}

mit der Norm ||v||_{m,p} := ( ∑_{i=1}^{n} ||v_{i}||_{m,p}^{p})^{1/p}∀v ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n})

und der Seminorm |v|_{m,p} := ( ∑_{i=1}^{n} |v_{i}|_{m,p}^{p})^{1/p}∀v ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}),

damit sind ||v||_{m,p}, |v|_{m,p} äquivalent

zu ∑_{i=1}^{n} ||v_{i}||_{m,p} bzw. ∑_{i=1}^{n} |v_{i}|_{m,p}.

(W^{m,p}(Ω, IR^{n}))^{+} = {φ ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) : det∇φ > 0}
W^{−1,p}(Ω, IR^{n})  Dualraum von W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}), weiteres siehe Lemma (4.3.6)
y ⊗ x  = (y_{i}x_{j})_{i,j=1,...n} mit y, x ∈ IR^{n}
Z · W  ∑_{i=1,...,m,j=1,...n} Z_{ij}W_{ij} mit Z, W ∈ 𝕄^{m,n}
|α|  := α_{1} + … + α_{n} mit α ∈ IN^{n}
α!  := α_{1}! · α_{2}! ⋯ α_{n}! mit α ∈ IN^{n}
α < β  :⟺ α_{i} < β_{i} ∀i = 1, … n mit α, β ∈ IN^{n}
α ≤ β  :⟺ α_{i} ≤ β_{i} ∀i = 1, … n mit α, β ∈ IN^{n}
\binom{α}{β}  := \frac{α!}{β!(α−β)!} ∀β ≤ α. und α, β ∈ IN^{n}
u · v  = u^{T} v, u und v sind Vektoren
C_{∗}^{m}(Ω)  := {f ∈ C^{m}(Ω) : ∂^{α}f sind gleichmäßig

beschränkt für alle |α| ≤ m}, Definition (3.1.3)

||A||  = (spur(A^{T} A))^{1/2}, Matrix Norm,
A_{m+2,p}  siehe Definition 4.2.1, Seite 65,
L_{m+2,p}  siehe Definition 4.4.1, Seite 76,

Kapitel 1

Einleitung

Die Theorie ist das Netz, das wir auswerfen, um ”die Welt“ einzufangen, - sie zu rationalisieren, zu erklären und zu beherrschen.

Wir arbeiten daran, die Maschen des Netzes immer enger zu machen.

Karl Popper, 1934

1.1 Thematik

Die mathematische Beschreibung vieler naturwissenschaftlicher Phänomene führt zum Studium nichtlinearer Systeme. Die Handhabung dieser nichtlinearen Modelle gilt als schwierig. Abhilfe liefern die klassischen linearen Modelle, die für viele Anwendungen ausreichen. In der Elastizitätstheorie sind diese klassischen Modelle fest etabliert und finden z.B. in den Ingenieurwissenschaften ein breites Anwendungsfeld. Die Erfahrung zeigt, dass die lineare Elastizitätstheorie z.B. in der Biomechanik nur begrenzt anwendbar ist. Allgemein liefern diese Modelle bei Dehnungen bis zu 10% noch akzeptable Ergebnisse. Außerhalb dieser Grenze müssen sie durch nichtlineare Modelle ersetzt werden. Ein Grund dafür ist, dass der geometrische Unterschied zwischen dem Referenzkörper und dem deformierten Körper in der linearen Theorie ignoriert wird. Im nichtlinearen Fall dagegen wird die Größe der Deformation uneingeschränkt berücksichtigt. In der Elastizitätstheorie existieren zwei Arten von Nichtlinearität, die materielle und die geometrische. Die erste liegt vor, wenn die Relation zwischen Spannung und Verzerrung nichtlinear ist. Die zweite ist gültig, wenn geometrische Veränderungen eines Materials einen bedeutenden Einfluss auf die Beziehung von Deformation und Lasten haben. Man beobachtet materielle Nichtlinearität, wenn das Material umschlossen ist und dadurch Reibungen entstehen. Man denke an einen Zylinder im Verbrennungsmotor, der sich minimal ausdehnt. Kleine Ausdehnungen des Zylinders verursachen dort größere Spannungen als bei einem nicht umschlossenen Zylinder. Geometrische Nichtlinearität beinhaltet deformationsabhängige Randwertbedingungen und Lasten. Jede Metallverformung, sei es beim Schmieden oder bei Crash-Tests für die Automobilindustrie, beinhaltet beide Arten der Nichtlinearität. Das gleiche gilt auch für das mechanische Verhalten des menschlichen Körpers, wenn er Stößen ausgesetzt ist. Hyperelastische Materialien wie z.B. das Herz verhalten sich ebenfalls geometrisch nichtlinear. In der Elastizitätstheorie kann man keine eindeutige Lösung erwarten. So kann ein dünnes Blech, das zusammengedrückt wird, in zwei stabile Zustände springen (einen Buckel werfen), oder in den instabilen verharren. Die linearen Modelle stoßen auch hier an ihre Grenzen. Erst die nichtlineare Theorie liefert hierfür die passende Antwort. Die rasant zunehmende Mathematisierung fast aller Wissenschaften eröffnet der Mathematik neue Aufgaben. Sie hat auf viele Fragen noch keine passenden Antworten gefunden. Dies gilt insbesondere für die nichtlineare Elastizitätstheorie und deren Anwendungen im Bereich der Medizin und Biologie. Die Elastizitätstheorie steht somit erneut im Interesse der Mathematik.

Die Batista Operation

Das gesunde Herz ist ein Hohlmuskel und ist etwa so groß wie eine Faust. Es ist in eine linke und eine rechte Herzkammer unterteilt. Die linke Herzkammer ist deutlich größer und pumpt täglich bis zu 9000 Liter sauerstoffreiches Blut in die Körperarterien. Der höchste Blutdruck herrscht in der linken Kammer, ihre Wände sind dreimal so dick wie die der rechten Kammer. Unter Belastung erreicht ein jugendliches Herz bis zu 200 Schläge pro Minute. Im Laufe eines Lebens schlägt das Herz ununterbrochen bis zu 4 000 000 000 mal. Herzinsuffizienz, auch Herzschwäche genannt, entsteht im Gefolge eines Herzinfarkts, bei Arteriosklerose, Viruserkrankungen und anderen Herzleiden. Das geschwächte Herz gerät in einen tödlichen Kreislauf: Auf nachlassende Stärke reagiert es mit Größenwachstum, das seine Kraft schließlich vollends aufzehrt. In die vergrößerte linke Herzkammer, den wichtigsten Teil des Pumpwerkes, strömt zuviel Blut ein, die Herzmuskeln können soviel Flüssigkeit nicht mehr mit ausreichendem Druck in den Körper pumpen. Mediziner schauen der Erkrankung oft machtlos zu. Sie behandeln das Leiden vor allem mit Medikamenten und verlängern das Leben im Durchschnitt nur um Monate. Für eine Herztransplantation kommen nur wenige junge Patienten in Frage. Selbst für die reicht die Zahl der Spenderorgane nicht aus. In Deutschland z.B waren im Jahr 1995 etwa 500 Herzen verfügbar, mindestens ebenso viele Empfänger warteten vergebens auf ein Ersatzorgan. Besonders aufsehenerregend ist die Operationstechnik des brasilianischen Herzchirurgs Dr. Randas Batista. Er schneidet einem kranken Herzen, das unter Muskelschwäche leidet, einen dreieckigen Lappen funktionsfähiges Muskelgewebe aus der linken Herzkammer heraus und näht danach die Kammerwand wieder zusammen. Das entfernte Gewebe wiegt im Schnitt 90 Gramm. Während der dreistündigen Operation schlägt das Herz weiter, allerdings wird der Blutkreislauf des Patienten auf eine Herz-Lungen-Maschine umgeleitet. Der Schaden, den er damit am Herzen anrichtet, scheint allerdings geringer zu sein als der Gewinn. Der Innendurchmesser der Herzkammer verkleinert sich dadurch von 8, 4 cm auf 6, 1 cm. Das restliche Muskelgewebe steht somit unter geringerer Wandspannung. Das Herz kann sich daher effektiver zusammenziehen. Die Pumpleistung des Herzens steigt sofort nach der Operation um das dreifache. Batista berichtet von bis zu ”Kuheuter großen Herzen“, die fast ein Kilogramm wogen, und sich nur noch schwach kontrahierten. Ausschlaggebend für die Entwicklung des ungewöhnlichen Verfahrens war, dass der in der armen Gegend Brasiliens tätige Batista keine Herztransplantationen vornehmen konnte. Hierzu fehlten sowohl die finanziellen Mittel, als auch die technischen Voraussetzungen. Rund sechzig Prozent der 300 Patienten von Batista ging es nach der Operation deutlich besser; die übrigen vierzig Prozent verstarben. Zahlreiche Mediziner stehen der Batista Operation daher skeptisch gegenüber. Mit einer guten medizinischen Vorsorgung und einer strengeren Auswahl der Kranken versuchen einige europäische und amerikanische Chirurgenteams die Risiken zu minimieren. Von der Batista Operation könnten vor allem jene Patienten profitieren, für die kein Spenderherz zur Verfügung steht. Das physiologische Prinzip der Batista Operation ist es, die Herzwandspannung operativ zu verkleinern. Um diesen Vorgang vollständig zu modellieren ist die Berücksichtigung der mechanischen Kräfte im Herzen, der Blutströmung und des Aktionspotentials erforderlich. Das Myokard, die Herzwand ist ein hyperelastisches nichtlineares anisotropisches inkompressibles Material, das während eines Herzzyklus Dehnungen von bis zu 30 % ausgesetzt ist. Diese großen Dehnungen verursachen Spannungen in der Herzwand, die nicht mehr mit der linearen Elastizitätstheorie beschrieben werden können. Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit mit der stationären nichtlinearen Herzmechanik. Die mathematische Modellierung dieses Problems beinhaltet die Lösung eines nichtlinearen Systems von partiellen Differentialgleichungen. Die globale Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung ist noch offen. Diese Arbeit präsentiert einen lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz.

Strukturierung der Arbeit

Das 1. Kapitel beginnt mit einer Einführung in die nichtlineare Elastizitätstheorie. Wir werden auf Unterschiede zur linearen Theorie hinweisen. Es zeigt sich, dass die Piola-Transformation für die Modellierung der stationären Herzmechanik unerläßlich ist. Anschließend werden die notwendigen Materialeigenschaften für diese Arbeit mathematisch formuliert. Zusätzlich führen wir die Energiefunktionale für hyperelastische Materialien ein. Eigenschaften des ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensors, die wir für den Existenzund Eindeutigkeitssatz benötigen werden präsentiert. Das 1.Kapitel endet mit einer Übersicht der nichtlinearen Größen. In Kapitel 2 stellen wir eine Variationsformulierung für hyperelastische Materialien vor. Wir zeigen, dass die Energiefunktionale für hyperelastische Materialien nicht konvex sind. Existenzsätze, die konvexe Funktionale voraussetzen sind hier nicht anwendbar. Eine schwächere Formulierung für konvexe Funktionen führt uns zum Existenzsatz von Ball für polykonvexe Funktionen. Wir werden nachweisen, dass das Energiefunktional der Herzwand nicht polykonvex ist. Ein weiterer Existenzsatz setzt schwach unterhalbstetige Funktionen voraus. Dies führt uns zu quasikonvexen Funktionen. Ob eine Funktion quasikonvex ist, gilt als sehr schwer nachweisbar und wird in dieser Arbeit nicht weiter diskutiert. Das 3. Kapitel zeigt, dass der Laplace-Operator zwischen bestimmten Banach-Räumen ein Homöomorphismus ist. Diese Aussage benötigen wir für unseren lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz. In Kapitel 4 fixieren wir passende Banach-Räume, so dass das Differential des Elastizitätsoperators in ausgewählten Punkten ein Homöomorphismus ist. Die Menge dieser Punkte werden wir charakterisieren. Der Satz über die Umkehrabbildung ist anwendbar und liefert uns den lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die stationäre nichtlineare Herzmechanik. Wir werden für diese Umgebung eine Abschätzung herleiten. Wir zeigen in Kapitel 5 numerische Beispiele aus der nichtlinearen Elastizitätstheorie. Dabei betrachten wir Platten, die großen Dehnungen ausgesetzt sind. Diese Platten bestehen, wie das Myokard, aus hyperelastischen und inkompressiblen Materialien. Wir werden nicht nur die Deformationen visualisieren, sondern auch die Kräfteverteilung und die Plattendicke nach der Deformation graphisch darstellen.

An dieser Stelle danke ich Herrn Prof. Dr. C.W. Cryer für die stets gute Betreuung der Arbeit. Herrn Prof. Dr. P.P. Lunkenheimer aus dem Institut Experimentelle Thorax-, Herz- und Gefäßchirurgie, danke ich für die sehr anschauliche Vermittlung der anatomischen Grundlagen. Dr. F. Wübbeling danke ich für die mir zuteil gewordene Unterstützung.

1.2 Das mathematische Modell

In der Elastizitätstheorie betrachtet man den Zustand von Körpern unter Einwirkung von Kräften. Insbesondere studiert man die Verzerrung und Spannung, die durch Deformationen erzeugt werden.

Sei \overline{Ω} ⊂ IR^{3} ein Körper im spannungsfreien Zustand. Nach einer Deformation ist \overline{Ω}^{φ} := φ(\overline{Ω}) der aktuelle Zustand der durch die Abbildung

φ : \overline{Ω} → \overline{Ω}^{φ} ⊂ IR^{3}

beschrieben wird. Wir setzen

φ = id + u,  u ∈ IR^{3}  (1.1)

und bezeichnet u als Verschiebung. In der linearen Elastizitätstheorie werden nur Terme erster Ordnung in den Verschiebungen u berücksichtigt und Terme höherer Ordnung vernachlässigt. In dieser Arbeit steht \overline{Ω} für das Herz bzw. für das Myokard. Im folgenden wird φ als genügend glatt vorausgesetzt. Die Funktion φ heißt Deformation, wenn

det(∇φ) > 0  (1.2)

ist. Dabei gilt für die Matrix ∇φ,

(∇φ)_{ij} := F_{ij} := \frac{∂φ_{i}}{∂x_{j}} i, j = 1, 2, 3.

Somit ist sichergestellt, dass wir positive Volumina wieder in positive Volumina abbilden. Deformationen sind lokal injektive Abbildungen. Desweiteren gilt

φ(x + z) − φ(x) = ∇φ(x) z + o(z).

Für den Euklidischen Abstand erhalten wir

||φ(x + z) − φ(x)||^{2} = ||∇φ(x) z||^{2} + o(||z||^{2})
= z^{T} (∇φ(x))^{T} ∇φ(x) z + o(||z||^{2}).

Wir benutzen im folgenden die Notation ∇φ^{T} statt (∇φ(x))^{T}, dies gilt auch für die Verschiebung u. Für die lokale Längenänderung eines Linienelements ist somit die Matrix

C = ∇φ^{T} ∇φ = F^{T} F  (1.3)

ausschlaggebend. C heißt (rechter) Cauchy-Greenscher-Verzerrungsten-sor. Die durch

E = \frac{1}{2}(C − I) = \frac{1}{2}(∇u^{T} + ∇u + ∇u^{T} ∇u)  (1.4)

definierte Abweichung von der Identität bezeichnet man als Verzerrung. In der linearen Theorie ignoriert man den nichtlinearen Term ∇u^{T} ∇u. Wir erhalten die Darstellung (1.4) mit Hilfe der Gleichungen (1.1) und (1.3). Die folgenden Größen sind im deformierten Körper definiert. Dies erkennen wir am Index ^{φ}. Es sei Ω^{φ} := φ(Ω), x^{φ} := φ(x) usw. Wir nehmen an, dass die Kräfte-Wechselwirkungen vollständig zurückgeführt werden kann auf

1. Angewandte Volumenkräfte, definiert durch ein Vektorfeld

f^{φ} : Ω^{φ} → IR^{3},

welches als die Dichte der Volumenkraft pro Volumeneinheit im deformierten Körper bezeichnet wird, 2. Angewandte Flächenkräfte, definiert durch ein Vektorfeld

g^{φ} : Γ^{φ} → IR^{3}

auf einer da^{φ} meßbaren Teilmenge Γ^{φ} ⊂ ∂Ω. Man nennt g^{φ} die Dichte der angewandten Flächenkraft pro Einheitsfläche im deformierten Körper.

Eine elementare Kraft f^{φ}(x^{φ}) dx^{φ} wirkt somit auf ein elementares Volumen dx^{φ} an jeden Punkt x^{φ} im deformierten Körper. Ebenso wirkt eine elementare Kraft g^{φ}(x^{φ}) da^{φ} auf eine elementaren Fläche da^{φ} an jeden Punkt x^{φ} auf der Teilmenge Γ^{φ} ⊂ ∂Ω^{φ} im deformierten Körper. Eine typische Volumenkraft ist die Schwerkraft. Eine Flächenkraft ist z.B. die Nutzlast einer Brücke. Das zentrale Axiom der Mechanik besagt, dass sich im Gleichgewichtszustand alle Kräfte bzw. Momente zu Null addieren. Typischerweise wird dieser Gleichgewichtszustand im deformierten Körper angenommen. Das folgende Axiom ist deshalb in den Koordinaten des deformierten Körpers formuliert.

Axiom 1.2.1 (Axiom des statischen Gleichgewichts) Der Körper \overline{Ω}^{φ} befinde sich unter den Kräften f^{φ} : Ω^{φ} → IR^{3} und g^{φ} : Γ^{φ} ⊂ ∂Ω^{φ} → IR^{3} im Gleichgewicht. Dann existiert ein Vektorfeld (Spannungsvektorfeld von Cauchy)

t^{φ} : \overline{Ω}^{φ} × S^{2} → IR^{3}, mit S^{2} := \{v ∈ IR^{3} : |v| = 1\}

so dass

1. für alle offenen V^{φ} ⊂ \overline{Ω}^{φ} und alle x^{φ} ∈ Γ^{φ} ∩ ∂V^{φ}, wo ein äußerer Normalenvektor n^{φ} auf Γ^{φ} ∩ ∂V^{φ} existiert, gilt

t^{φ}(x^{φ}, n^{φ}) = g^{φ}(x^{φ}).

2. Axiom des Kräftegleichgewichts: Für jedes offene V^{φ} ⊂ \overline{Ω}^{φ} gilt

∫_{V^{φ}} f^{φ}(x^{φ}) dx^{φ} + ∫_{∂V^{φ}} t^{φ}(x^{φ}, n^{φ}) ds^{φ} = 0.  (1.5)

Dabei bezeichnet n^{φ} den äußeren Normalenvektor von ∂V^{φ}.

3. Axiom des Momentengleichgewichts: Für jedes offene V^{φ} ⊂ Ω^{φ} gilt

∫_{V^{φ}} x^{φ} ∧ f^{φ}(x^{φ}) dx^{φ} + ∫_{∂V^{φ}} x^{φ} ∧ t^{φ}(x^{φ}, n^{φ}) ds^{φ} = 0  (1.6)

Dabei steht ∧ für das Vektorprodukt im IR^{3}.

Auch der berühmte Satz von Cauchy ist in den Koordinaten des deformierten Körpers geschrieben.

Satz 1.2.2 (Satz von Cauchy) Die Dichte der angewandten Volumenkraft f^{φ} : \overline{Ω}^{φ} → IR^{3} sei stetig, und das Spannungsvektorfeld von Cauchy

t^{φ} : (x^{φ}, n) ∈ \overline{Ω}^{φ} × S^{2} → t^{φ}(x^{φ}, n) ∈ IR^{3}

stetig differenzierbar bezüglich x^{φ} ∈ \overline{Ω}^{φ} für alle n ∈ S^{2} und stetig bezüglich n ∈ S^{2} für alle x^{φ} ∈ \overline{Ω}^{φ}. Dann implizieren die Axiome (1.5) und (1.6), dass es ein stetig differenzierbares Tensorfeld

T^{φ} : x^{φ} ∈ \overline{Ω}^{φ} → T^{φ}(x^{φ}) ∈ 𝕄^{3}

gibt, so dass der Cauchysche Spannungsvektor der Gleichung

t^{φ}(x^{φ}, n) = T^{φ}(x^{φ})n, ∀(x^{φ}, n) ∈ \overline{Ω}^{φ} × S^{2}

genügt. Weiter gilt

−div^{φ} T^{φ}(x^{φ}) = f^{φ}(x^{φ}),  ∀x^{φ} ∈ Ω^{φ},  (1.7)
T^{φ}(x^{φ}) = T^{φ}(x^{φ})^{T} , ∀x^{φ} ∈ \overline{Ω}^{φ},  (1.8)
T^{φ}(x^{φ})n^{φ} = g^{φ}(x^{φ}),  ∀x^{φ} ∈ Γ_{1}^{φ},  (1.9)

Dabei bezeichnet n^{φ} den äußeren Normalenvektor entlang Γ_{1}^{φ}. Der Tensor T^{φ} heißt Cauchyscher Spannungstensor. Es gilt

div^{φ} T^{φ}(x^{φ}) := ∑_{i=1}^{3} (\frac{∂T_{1,i}^{φ}(x^{φ})}{∂x_{i}^{φ}}, \frac{∂T_{2,i}^{φ}(x^{φ})}{∂x_{i}^{φ}}, \frac{∂T_{3,i}^{φ}(x^{φ})}{∂x_{i}^{φ}})^{T} .

Beweis: Siehe Ciarlet [11], Seite 62. □ Nach (1.8) ist der Cauchyscher Spannungstensor symmetrisch.

Axiom 1.2.3 (Axiom der Koordinatenunabhängigkeit) Das Spannungsvektorfeld von Cauchy t^{φ}(x^{φ}, n) = T^{φ}(x^{φ})n ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. D.h.

R t^{φ}(x^{φ}, n) = t^{φ}(Rx^{φ}, Rn) ∀R ∈ 𝕆_{+}^{3}.

Dabei ist 𝕆_{+}^{3} die Menge der orthogonalen 3 × 3 Matrizen mit positiver Determinante.

1.3 Die Piola-Transformation

Die Gleichungen (1.7), (1.8) und (1.9) haben wir in den Koordinaten des deformierten Körpers formuliert. Da diese Koordinaten erst berechnet werden müssen, transformieren wir die Größen auf den Referenzzustand, das heißt auf den nicht deformierten Körper. Die Transformationen ergeben sich aus dem bekannten Transformationssatz für Integrale. Mit dx^{φ} = det(∇φ(x)) dx und f^{φ}(x^{φ}) dx^{φ} = f(x) dx folgt

f(x) = (det∇φ(x)) f^{φ}(x^{φ}).  (1.10)

Die Transformation des Spannungstensors ist komplexer, aber auch elementar berechenbar, siehe Ciarlet [11], Seite 73. Wir erhalten

T (x) = (det∇φ(x)) T^{φ}(x^{φ})∇φ(x)^{−T} = T^{φ}(x^{φ}) Cof∇φ(x)(1.11)
div T (x) = (det∇φ(x)) div^{φ}T^{φ}(x^{φ}).  (1.12)

Dabei ist CofF = (detF)·F^{−T} die Cofaktor Matrix von F. Man bezeichnet T als ersten Piola Kirchhoffschen Spannungstensor. Im Gegensatz zum Cauchyschen Spannungstensor T^{φ} ist dieser nicht symmetrisch. Zur Symmetriesierung führen wir den zweite Piola Kirchhoffschen Spannungstensor

Σ(x) := (∇φ)^{−1}T (x) = (det∇φ(x)) ∇φ(x)^{−1} T^{φ}(x^{φ}) ∇φ(x)^{−T} (1.13)

ein. Die Unterschiede zwischen den drei Tensoren sind bei kleinen Deformationsgradienten zu vernachlässigen. Mit (1.7), (1.10) und (1.12) erhalten wir das System

−div T (x) = f(x) ∀x ∈ Ω.  (1.14)

Für den symmetrischen zweiten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor setzen wir

−div Σ(x) = f(x) ∀x ∈ Ω.  (1.15)

In der linearen Theorie wird der geometrische Unterschied zwischen den deformierten und den nicht deformierten Körper als so klein angenommen, dass er ignoriert werden kann. Eine Piola-Transformation ist deshalb nicht notwendig, Bonet, [9], Seite 1. Für die Modellierung der stationären Herzmechanik ist sie allerdings erforderlich.

1.4 Materialgesetze

Ziel ist es, zu gegebenen Kräften die Deformation eines Materials und dessen Spannungen zu bestimmen. Die Gleichgewichtsbedingungen (1.7) (1.14) bzw. (1.15) liefern uns drei Gleichungen. Damit sind die sechs Komponenten eines symmetrischen Spannungstensors noch nicht bestimmt. Die fehlenden Gleichungen ergeben sich aus den Materialgesetzen. Hier zeigt sich, dass die Deformation zu gegebenen Kräften auch von den Materialeigenschaften abhängen.

Definition 1.4.1 Ein Material heißt elastisch, wenn es eine Abbildung

T̂ : \overline{Ω} × 𝕄_{+}^{3} → 𝕊^{3}

gibt, so dass für jeden deformierten Zustand

T^{φ}(x^{φ}) = T̂(x, ∇φ(x))  (1.16)

gilt. Man bezeichnet T̂ als Antwortfunktion und (1.16) als konstitutives Gesetz. Dabei ist 𝕄_{+}^{3} die Menge der 3 × 3 Matrizen mit positiver Determinante und 𝕊^{3} die Menge der symmetrischen 3 × 3-Matrizen.

Antwortfunktionen werden oft über die symmetrischen Tensoren E und C definiert. Die nichtlineare Term dieser Antwortfunktion, bezüglich E oder C werden in der linearen Theorie vernachlässigt. Hinter dem konstitutiven Gesetz verbirgt sich die Annahme, dass die Spannungen in lokaler Weise von den Verschiebungen abhängen und nur von den ersten Ableitungen. Gleichzeitig haben frühere Deformationen keinen Einfluß auf den aktuellen Spannungstensor T^{φ}. Im Hinblick auf (1.11) und (1.13) führen wir die auf den Piola-Kirchhoffschen Tensoren bezogenen Antwortfunktionen für elastische Materialien

T (x, ∇φ(x)) = T̂(x, ∇φ(x)) Cof∇φ(x)  (1.17)
Σ(x, ∇φ(x)) = det∇φ(x) (∇φ(x))^{−1}T̂(x, ∇φ(x)) ∇φ(x)^{−T} (1.18)

ein. Die Isotropie besagt, dass sich die Spannungsvektoren nicht ändern, wenn wir den nicht deformierten Körper, also den Körper vor der Deformation drehen. Die folgende Definition gibt dies wider.

Definition 1.4.2 Ein elastisches Material heißt isotrop im Punkt x, wenn die Antwortfunktion

T̂(x, F Q) = T̂(x, F), ∀F ∈ 𝕄_{+}^{3}, Q ∈ 𝕆_{+}^{3}

erfüllt. Gilt dies für alle x ∈ Ω, so heißt das Material isotrop.

Isotropie ist eine reine Materialeigenschaft. Sie bedeutet, dass im Material keine Richtung ausgezeichnet ist. Geschichtetes Material, Holz oder Kristalle sind nicht isotrop, kurz anisotrop. Dies gilt auch für das Myokard. Wir können nun den Gleichgewichtszustand eines elastischen Materials auf den Referenzzustand transformieren. Unterteilen wir den Rand ∂Ω in Γ_{0} und Γ_{1}, wobei die Deformation auf Γ_{0} und die angewandte Kraft auf Γ_{1} festgelegt ist, so erfüllt die Deformation φ folgende Randwertaufgabe

−div T̂(x, ∇φ(x)) = f(x, φ(x)),  ∀x ∈ Ω  (1.19)
T̂(x, ∇φ(x))n = g(x, ∇φ(x)), ∀x ∈ Γ_{1}  (1.20)
φ(x) =  φ_{0}(x),  ∀x ∈ Γ_{0}.  (1.21)

Mit f und g als transformierte Volumen- bzw. Flächenlast und n als äußere Normale. Eine angewandte Volumenkraft heißt tote Last, wenn die zugeordnete Dichtefunktion f : Ω → IR^{3} pro Einheitsvolumen im Referenzzustand unabhängig ist von der aktuellen Deformation, wenn also f(x) = f(x, φ(x)) gilt. Dasselbe gilt für die angewandte Flächenkraft.

Definition 1.4.3 Ein elastisches Material mit der Antwortfunktion T̂ : \overline{Ω} × 𝕄_{+}^{3} → 𝕄^{3} heißt hyperelastisch, wenn es eine Funktion

W : Ω × 𝕄_{+}^{3} → IR

gibt, differenzierbar bezüglich F ∈ 𝕄_{+}^{3} für alle x ∈ \overline{Ω}, so dass

T̂(x, F) = \frac{∂W}{∂F} (x, F), ∀(x, F) ∈ Ω × 𝕄_{+}^{3}  (1.22)

gilt. Dabei wird komponentenweise differenziert,

T̂_{ij}(x, F) = \frac{∂W}{∂F_{ij}} (x, F).

Die Funktion W bezeichnet man als Energiefunktional (engl. stored energy function).

Es gibt die Energie an, die der Körper bedingt durch die Deformation speichert. Man nimmt

W (x, F) → ∞ für det F → 0, F ∈ 𝕄_{+}^{3}  (1.23)

an. Diese physikalische Annahme besagt, dass wir mit endlicher Energie das Volumen nicht gegen Null deformieren können. Für hyperelastische Materialien läßt sich eine Variationsformulierung zur Randwertaufgabe (1.19), (1.20), (1.21) herleiten. In der Literatur werden auch Energiefunktionale der Form W (x, E), W (x, C) und W (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) mit E als Verzerrung, C als Cauchy-Greenscher-Verzerrungstensor und λ_{i} als Eigenwerte von C betrachtet.

1.5 Eigenschaften des 1.Piola-Kirchhoffschen Tensors für elastische Materialien 11

1.5 Eigenschaften des 1.Piola-Kirchhoffschen Tensors für elastische Materialien

Definition 1.5.1 Eine Deformation heißt Starrkörperdeformation oder Starrkörperbewegung, wenn sie von der Form

φ(x) := v + Rx, v ∈ IR^{3}, R ∈ 𝕆_{+}^{n}, ∀x ∈ \overline{Ω}

ist. Bestehend aus einer Rotation R und einer Translation v. Es folgt

∇φ(x) = R ∈ 𝕆_{+}^{n}.

Wir betrachten nun Eigenschaften der Antwortfunktion zum ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor (1.17). Um die folgenden Gleichungen übersichtlicher darzustellen, verwenden wir die Notation F = ∇φ.

1. Im Gegensatz zum Cauchyschen Spannungstensor ist der Tensor (1.17) nicht symmetrisch. Es gilt aber

T (x, F)F^{T} ∈ 𝕊^{n}, ∀(x, F) ∈ Ω × 𝕄_{+}^{n}.  (1.24)

2. Ist das Axiom der Koordinatenunabhängigkeit (1.2.3) erfüllt, so gilt für die Antwortfunktion eines elastischen Materials T̂

T̂(x, RF) = RT̂(x, F)R^{T} , ∀(x, F, R) ∈ Ω × 𝕄_{+}^{n} × 𝕆_{+}^{n},

siehe Ciarlet [11], Seite 101. Dies zusammen mit Cof(RF) = R Cof(F) ∀(R, F) ∈ 𝕆_{+}^{n} × 𝕄_{+}^{n} ergibt

T (x, RF) − RT (x, F) = (T̂(x, RF)R − RT̂(x, F))Cof F
= (RT̂(x, F)R^{T} R − RT̂(x, F))Cof F
= 0 ∀(x, R, Z) ∈ Ω × 𝕆_{+}^{n} × 𝕄_{+}^{n}.

Somit gilt für den ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor eines elastischen Materials

T (x, RF) = RT (x, F), ∀(x, F, R) ∈ Ω × 𝕄_{+}^{n} × 𝕆_{+}^{n}.  (1.25)

3. Der Referenzzustand Ω ist spannungsfrei, wenn der Tensor bei der Identität id verschwindet, wenn also

T (x, I) = 0, ∀x ∈ Ω.  (1.26)

Es ist ∇id = I, mit I als Einheitsmatrix. Wir erhalten mit (1.25): T (x, R) = RT (x, I) = 0, ∀(x, R) ∈ Ω × 𝕆_{+}^{n}.

4. Ist der Referenzzustand spannungsfrei, so können wir

( ∑_{h,k=1}^{n} ∇_{Z_{hk}}T (x, I)S_{hk}) · S = S · T′_{Z}(x, I)(S) > 0,  (1.27)
∀(x, S) ∈ \overline{Ω} × (𝕊_{n} \ \{0\})

annehmen. Motivation: In der linearen Elastizitätstheorie definiert man das Energiefunktional

ϵ := \frac{1}{2}e · C · e = \frac{1}{2} ∑_{i,j,h,k=1}^{3} e_{ij}C_{ijhk}e_{hk},

wobei

e_{ij} := \frac{1}{2}(\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} )

symmetrisch ist. Man vergleiche dies mit der Verzerrung (1.4) im nichtlinearen Fall. Der lineare Elastizitätstensor

C_{ijhk} := \frac{∂^{2}ϵ}{∂e_{ij}∂e_{hk}}

vierter Ordnung erfüllt die Symmetrie

C_{ijhk} = C_{jjhk} = C_{ijkh} = C_{hkij}.

Das Energiefunktional ϵ gibt die Energie an, die wir benötigen, um den Körper zu deformieren. Daher ist es sinnvoll ϵ > 0 ∀e ≠ 0 anzunehmen. Ist ein Material hyperelastisch, so gilt für die Antwortfunktion

T̂ := \frac{∂ϵ}{∂e} und weiter T̂′_{F} = C_{ijhk}.

Dies rechtfertigt (1.27).

1.6 Nichtlinearität in der Elastizitätstheorie

Der Cauchy-Greensche-Verzerrungstensor

C = ∇φ^{T} ∇φ

und die Verzerrung

E = \frac{1}{2}(∇u^{T} + ∇u + ∇u^{T} ∇u)

sind nichtlineare Funktionen bezüglich der Deformation φ und der Verschiebung u. Die Herzwand ist inkompressibel, folglich muß die nichtlineare Gleichung

det∇φ(x) = 1

erfüllt sein. Die Komponenten der Gleichgewichtsgleichung (1.19) bilden ein System von drei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bezüglich der unbekannten Deformation φ_{j}. Für i = 1, 2, 3 gilt

∑_{k,l,j=1}^{3} −\frac{∂T̂_{ij}}{∂F_{kl}} (x, ∇φ(x))\frac{∂^{2}φ_{k}(x)}{∂x_{j}∂x_{l}} − ∑_{j=1}^{3} \frac{∂T̂_{ij}}{∂x_{j}} (x, ∇φ(x)) = f_{i}(x, φ(x)). (1.28)

Für ein hyperelastisches Material erhalten wir für i = 1, 2, 3

∑_{j,k,l=1}^{3} −\frac{∂^{2}W}{∂F_{ij}∂F_{kl}} (x, ∇φ(x))\frac{∂^{2}φ_{k}}{∂x_{j}∂x_{l}} (x) − ∑_{j=1}^{3} \frac{∂^{2}W}{∂x_{j}∂F_{ij}} (x, ∇φ(x)) = f_{i}(x, φ(x)).

Experimentellen Messungen zu Folge, besteht das Myokard aus inkompressiblen, anisotropen hyperelastischen Material mit

W (E) = \frac{C}{2} (exp(Q) − 1) − \frac{p}{2}(g(x) − 1)  (1.29)

und

Q = 2b_{1}(E_{11} + E_{22} + E_{33}) + 2b_{4}(E_{12}E_{21} + E_{13}E_{31})
+ b_{2}E_{11}^{2} + b_{3}(E_{22}^{2} + E_{33}^{2} + 2E_{23}E_{32}),
g(x) = det(F^{T} F),

mit b_{1} = 0, 0, b_{2} = 18, 5, b_{3} = 3, 58, b_{4} = 1, 63 und der Materialkonstante C = 0, 88kP a, wobei die x_{1}-Achse mit der lokalen Richtung der Muskelfasern zusammen fällt. Das Energiefunktional (1.29) berücksichtigt die oben genannten Eigenschaften des Myokards. Wir erkennen, dass das Funktional von der Exponentialfunktion abhängt. Eigenschaften dieses Energiefunktionals werden später genauer analysiert.

Existenzsatz für polykonvexe Funktionen

Ein Problem zeigt sich des Angriffs wert, wenn es sich dagegen wehrt.

Piet Hein

Für den Herzmuskel gibt es ein Energiefunktional W mit der Eigenschaft

W : (Ω, 𝕄_{+}^{3}) → IR,  T̂(x, F) = \frac{∂W}{∂F} (x, F)

mit F := ∇φ. Das Gleichungssystem (1.19) mit den Randwertdaten (1.20), (1.21) ist formal äquivalent zur Variationsaufgabe

I(φ) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ)  (2.1)

mit

I(Ψ) := ∫_{Ω} W (x, ∇Ψ(x)) dx − ∫_{Ω} f · Ψ dx − ∫_{Γ_{1}} g · Ψ da  (2.2)

und

φ ∈ Φ := \{Ψ : \overline{Ω} → IR^{3}; Ψ = φ_{0} auf Γ_{0}, det∇Ψ > 0\},

siehe Ciarlet [11], Seite 144. Es soll also die Gesamtenergie minimiert werden. Eine wichtige Voraussetzung für Existenzsätze ist, dass das Funktional W (x, ·) : F ∈ 𝕄_{+}^{3} → W (x, F) ∈ IR konvex ist, streng konvex garantiert eine eindeutige Lösung, siehe z.B. [11], Seite 355, Theorem 7.3-2. Für nichtlineare Systeme ist eine eindeutige Lösung allerdings nicht zu erwarten. Nach Definition besitzen konvexe Funktionen einen konvexen Definitionsbereich. Die Menge 𝕄_{+}^{3} ist aber nicht konvex, wie die zwei Diagonalmatrizen diag(2, 2, 2) und diag(−1, −4, 1) zeigen. Für die konvexe Hülle gilt con 𝕄_{+}^{3} = 𝕄^{3}, [11], Seite 162, Theorem 4.7-4. Der Versuch eine konvexe Funktion 𝕎(x, ·) : F ∈ 𝕄^{3} → IR mit

𝕎(x, F) = W (x, F) ∀F ∈ 𝕄_{+}^{3}

zu definieren, widerspricht der physikalischen Annahme (1.23)

𝕎(x, F) → ∞ für det F → 0, F ∈ 𝕄_{+}^{3},  (2.3)

wie der folgende Satz zeigt.

Satz 2.0.1 Sei x ∈ \overline{Ω}, so dass die Funktion

𝕎(x, ·) : F ∈ 𝕄^{3} → W (x, F) ∈ IR

konvex ist. Dann ist dies nicht vereinbar mit der Eigenschaft (2.3).

Beweis: Da die Menge 𝕄_{+}^{3} nicht konvex ist, gibt es zwei Matrizen F_{0}, G_{0} und eine Zahl μ_{0} mit

μ_{0} ∈]0, 1[, F_{0}, G_{0} ∈ 𝕄_{+}^{3}, (1 − μ_{0})F_{0} + μ_{0}G_{0} ∉ 𝕄_{+}^{3}.

Wir betrachten die konvexe (deshalb auch stetige) Funktion

ω : λ ∈ [0, 1] → ω(λ) := 𝕎(x, (1 − λ)F_{0} + λG_{0}) ∈ IR ∪ {∞}

Es gilt: sup_{0≤λ≤1} ω(λ) ≤ max{ω(0), ω(1)} < ∞.

Anderseits existiert ein λ_{0} ∈]0, μ_{0}[, so dass

det((1 − λ)F_{0} + λG_{0}) > 0 ∀ 0 ≤ λ < λ_{0},
det((1 − λ_{0})F_{0} + λ_{0}G_{0}) = 0,

(die Funktion λ → det((1 − λ)F_{0} + λG_{0}) ist ein Polynom mit: Grad ≤ 3); es muss gelten lim_{λ→λ_{0}} ω(λ) = ∞, dies ist nicht möglich. □

Dies zeigt, dass es physikalisch keinen Sinn macht, konvexe Energiefunktionale der Gestalt W (x, F) zu betrachten. Es stellt sich die Frage, ob zusätzlich die Zahl der Argumente vergrößert werden kann, um so eine passende konvexe Funktion zu erhalten. Bekanntlich sind die Invarianten einer Matrix F, l_{1} = spurF, l_{2} = spur CofF und l_{3} = detF. Mit F = ∇φ, gibt detF die Volumenänderung und CofF die Oberflächenänderung durch die Deformation φ an. Für polykonvexe W gibt es eine konvexe Funktion 𝕎, mit den zusätzlichen Argumenten CofF und detF, so dass

W (x, F) = 𝕎(x, F, CofF, detF) ∀F ∈ 𝕄_{+}^{3}

erfüllt ist. Ball [8] zeigt für polykonvexe Funktionen einen Existenzsatz für das Problem (2.1), der die physikalische Eigenschaft (2.3) berücksichtigt. Dieses Kapitel zeigt den Existenzsatz von Ball für polykonvexe Funktionen. Die Aussage, dass das Energiefunktional des Myokards nicht polykonvex ist, führt uns zu den quasikonvexen Funktionen und beendet dieses Kapitel. Grundlagen für dieses Kapitel sind die Quellen [8], [11], [14], [17].

2.1 Grundlagen für dieses Kapitel

Im Verlauf dieses Kapitels benötigen wir einige bekannte Sätze und Lemmata. An dieser Stelle erfolgt eine kurze Zusammenfassung dieser Aussagen.

Satz 2.1.1 Es seien V und W Banach Räume und A : V → W ein kompakter linearer Operator. Dann gilt

v_{k} ⇀ v in V ⇒ Av_{k} → Av in W.

Ist V ein normierter Vektorraum , W ein Banach Raum und B : V ×W → IR eine stetige bilineare Abbildung. Dann gilt

v_{k} → v und w_{k} ⇀ w ⇒ B(v_{k}, w_{k}) → B(v, w).

Beweis: Ciarlet [11], Seite 348, Theorem 7.1-5. □

Satz 2.1.2 (Egoroff) Seien {f_{k}}, f meßbare Funktionen und

f_{k} → f fast überall auf A

mit A ⊂ IR^{n} meßbar, L^{n}(A) < ∞. Dann existiert für alle ϵ > 0 eine meßbare Menge E ⊂ A, so dass

L^{n}(A \ E) ≤ ϵ und f_{k} → f gleichmäßig auf E.

Lemma 2.1.3 Sei f : IR^{n} ↦ IR konvex. Dann existiert für alle x ∈ IR^{n} ein r ∈ IR^{n}, so dass die Ungleichung

f(y) ≥ f(x) + r · (y − x)

für alle y ∈ IR^{n} gilt. Ist f differenzierbar in x, so ist r = Df(x). Aus Evans, [17], Seite 621.

Satz 2.1.4 (Satz von Mazur) Sei V ein Banach-Raum und {u_{n}} eine Folge die schwach gegen u konvergiert. Dann existiert eine konvexe Kombination {w_{n}}, so dass die Folge

w_{n} = ∑_{k=n}^{N} λ_{k}u_{k}, mit ∑_{k=n}^{N} λ_{k} = 1 und λ_{k} ≥ 0, n ≤ k ≤ N

gegen u konvergiert.

Satz 2.1.5 Sei X ein Banach Raum, M ⊂ X konvex und abgeschlossen. Dann ist M schwach folgenabgeschlossen, d.h. ist x_{k} ∈ M ∀k ∈ IN und gilt x_{k} ⇀ x in X, so ist auch x ∈ M.

2.2 Schwache Konvergenz der Folgen Cof∇φ^{l} und det ∇φ^{l}  17

Beweis: Alt [6], Seite 166. □

Satz 2.1.6 (Allgemeine Poincarésche Ungleichung) Sei Ω ⊂ IR^{n} ein Bereich und 1 ≤ p < ∞.

1. Es existiert eine Konstante c_{0}, so dass

∫_{Ω} |v|^{p} dx ≤ c_{0}( ∫_{Ω} |grad v|^{p} dx + | ∫_{Ω} v dx|^{p}) ∀v ∈ W^{1,p}(Ω).

2. Sei Γ_{0} eine da messbare Teilmenge von Γ mit da(Γ_{0}) > 0. Dann existiert eine Konstante c_{1}, so dass

∫_{Ω} |v|^{p} dx ≤ c_{1}( ∫_{Ω} |grad v|^{p} dx + | ∫_{Γ_{0}} v dx|^{p}) ∀v ∈ W^{1,p}(Ω).

Lemma 2.1.7 (Lemma von Fatou) Es seien {f_{k}} und f nicht negative und meßbare Funktionen. Dann gilt

∫_{IR_{n}} lim inf_{k→∞} f_{k} dx ≤ lim inf_{k→∞} ∫_{IR_{n}} f_{k} dx.

Satz 2.1.8 (Rellich-Kondrachov Einbettungssatz) Sei Ω ⊂ IR^{n} ein Gebiet, m ≥ 0 eine ganze Zahl und 1 ≤ p < ∞. Dann gelten folgende kompakte Einbettungen:

1. W^{m,p}(Ω) ⋐ L^{q}(Ω) für alle q mit 1 ≤ q < p^{∗}, wenn m < \frac{n}{p},

2. W^{m,p}(Ω) ⋐ L^{q}(Ω) für alle q mit 1 ≤ q < ∞, wenn m = \frac{n}{p}

3. W^{m,p}(Ω) ⋐ C^{0}(\overline{Ω}) , wenn \frac{n}{p} < m,

mit p^{∗} = \frac{n∗p}{n−m∗p}. Bem. Ist \overline{Ω} beschränkt, so gilt für f ∈ C^{0}(\overline{Ω}), ||f||_{∞} < ∞. Somit folgt f ∈ L^{n}(Ω) mit 1 ≤ n ≤ ∞. Aus Ciarlet [11], Seite 278.

2.2 Schwache Konvergenz der Folgen Cof∇φ^{l} und det ∇φ^{l}

Für polykonvexe Energiefunktionale gibt es eine konvexe Funktion mit den zusätzlichen Argumenten Cof∇φ und det∇φ. Um die Gesamtenergie (2.1) zu minimieren, betrachtet man Minimalfolgen φ^{l} ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) für das Funktional I. Dieser Abschnitt zeigt, dass aus der schwachen Konvergenz φ^{l} ⇀ φ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) auch die schwache Konvergenz der zusätzlichen Argumente Cof∇φ^{l} ⇀ Cof∇φ ∈ L^{q}(Ω, IR^{3}) und det∇φ^{l} ⇀ det∇φ ∈ L^{r}(Ω, IR^{3}) folgt.

Lemma 2.2.1 Sei Ω ⊂ IR^{3} ein Gebiet, p ≥ 2 und θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω). Die Abbildung

Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) → Cof∇Ψ ∈ L^{p/2}(Ω, 𝕄^{3})

mit

(Cof∇Ψ)_{ij} = (∂_{j+1}Ψ_{i+1}∂_{j+2}Ψ_{i+2} − ∂_{j+2}Ψ_{i+1}∂_{j+1}Ψ_{i+2})  (2.4)

(Indizes modulo 3) ist wohldefiniert, stetig und es gilt die Implikation

φ^{l} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}) ⟹ ∫_{Ω}(Cof∇φ^{l})_{ij}θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω}(Cof∇φ)_{ij}θdx.

Beweis: Nach der Hölderschen Ungleichung ist die bilineare Abbildung (ξ, η) ∈ (L^{p}(Ω))^{2} → ξη ∈ Ł^{p/2}(Ω) wohldefiniert und stetig für p ≥ 2. Daher gilt dies auch für die Abbildung Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) → Cof∇Ψ ∈ L^{p/2}(Ω, 𝕄^{3}). Für Ψ ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) gilt

(Cof∇Ψ)_{ij} = ∂_{j+2}(Ψ_{i+2}∂_{j+1}Ψ_{i+1}) − ∂_{j+1}(Ψ_{i+2}∂_{j+2}Ψ_{i+1})

(Indizes modulo 3 ).

(Mit der Produktregel folgt die Darstellung (2.4) Mit der Greenschen Formel folgt (Indizes modulo 3)

∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{ij}θdx = − ∫_{Ω} Ψ_{i+2}∂_{j+1}Ψ_{i+1}∂_{j+2}θdx + ∫_{Ω} Ψ_{i+2}∂_{j+2}Ψ_{i+1}∂_{j+1}θdx.

(2.5)

Es folgt

|∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{ij}θdx| ≤ |(Cof∇Ψ)_{ij}|_{0,1,Ω}|θ|_{0,∞,Ω} ≤ c_{1}(θ)||Ψ||_{1,2,Ω}^{2}

und mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt

|∫_{Ω} Ψ_{i}∂_{j}Ψ_{k}∂_{l}θdx| ≤ |Ψ_{i}|_{0,2,Ω}|Ψ_{k}|_{1,2,Ω}|θ|_{1,∞,Ω} ≤ c_{2}(θ)||Ψ||_{1,2,Ω}^{2}.

Dies zeigt, dass für festes θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) die linke und rechte Seite der Gleichung (2.5) stetig ist, wenn C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) mit der Norm || · ||_{1,2,Ω} ausgestattet ist. Die zwei Abschätzungen bleiben somit auch für Ψ ∈ H^{1}(Ω, IR^{3}) gültig. Und damit auch in jeden Raum W^{1,p}(Ω, IR^{3}) mit p ≥ 2, denn C^{2}(\overline{Ω}) liegt dicht in H^{1}(Ω). Es bleibt

φ^{l} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω) ⟹ ∫_{Ω} φ_{i}^{l}∂_{j}φ_{k}^{l}∂_{m}θdx ⟶ ∫_{Ω} φ_{i}∂_{j}φ_{k}∂_{m}θdx  (2.6)

zu zeigen. Nach der Hölderschen Ungleichung ist die bilineare Abbildung

(ξ, χ) ∈ L^{r}(Ω) × W^{1,p}(Ω) ⟶ ∫_{Ω} ξ∂_{j}χ∂_{m}θdx

2.2 Schwache Konvergenz der Folgen Cof∇φ^{l} und det ∇φ^{l}  19

stetig, wenn p^{−1} + r^{−1} ≤ 1 ist. Mit Satz (2.1.1) folgt die Implikation

\begin{matrix}ξ^{l} & → ξ in L^{r}(Ω) \\ χ^{l} & ⇀ χ in W^{1,p}(Ω) \end{matrix} \} ⟹ ∫_{Ω} ξ^{l}∂_{j}χ^{l}∂_{m}θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω} ξ^{l}∂_{j}χ^{l}∂_{m}θdx.

Wir benötigen also ein r > 0, das zusätzlich

φ^{l} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}) ⟹ φ^{l} ⟶ φ in L^{r}(Ω, IR^{3})

erfüllt. Mit Satz (2.1.8) folgt die kompakte Einbettung

W^{1,p}(Ω) ⋐ L^{r}(Ω) für alle 1 ≤ r < p^{∗} = \{ \begin{matrix}\frac{3p}{3−p} wenn p < 3, \\ +∞ wenn p ≥ 3, \end{matrix} .

Daher gilt

φ^{l} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}) ⟹ φ^{l} ⟶ φ in L^{r}(Ω, IR^{3}) für alle 1 ≤ r < p^{∗}. Somit existiert für jedes p ≥ 2 eine Zahl r mit

\frac{1}{p} + \frac{1}{r} ≤ 1 und r < p^{∗}.

Damit folgt (2.6) und die Behauptung. □

Satz 2.2.2 Sei Ω ⊂ IR^{3} ein Gebiet. Für jede Zahl p ≥ 2 und jedes q mit s^{−1} := p^{−1} + q^{−1} ≤ 1 ist die Abbildung

(Ψ, Cof∇Ψ) ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) × L^{q}(Ω, IR^{3}) → det ∇Ψ
= ∂_{j}Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j} ∈ L^{s}(Ω, IR^{3})

wohldefiniert und stetig. Es gilt

\begin{matrix}φ^{l} & ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}), & p ≥ 2 \\ Cof∇φ^{l} & ⇀ H in L^{q}(Ω, IR^{3}), & p^{−1} + q^{−1} ≤ 1 \\ det ∇φ^{l} & ⇀ δ in L^{r}(Ω), & r ≥ 1 \end{matrix} \} ⟹ \{ \begin{matrix}H & = & Cof∇φ, \\ δ & = & det ∇φ. \end{matrix}

Beweis: Wir zerlegen den Beweis in vier Teile.

1. Die bilineare Abbildung (Ψ, Cof∇Ψ) ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3})×L^{q}(Ω, IR^{3}) → ∂Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j} ∈ L^{s}(Ω, IR^{3}) ist nach der Hölderschen Ungleichung wohldefiniert und stetig.

2. Mit Ψ ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) gilt

div Cof∇Ψ = 0

(Ciarlet [11], Seite 40). Deshalb ist mit der Einsteinschen Summenkonvention

∂_{j}(Cof∇Ψ)_{1j} = 0.  (2.7)

Aus der Linearen Algebra wissen wir

(det∇φ)I = (Cof∇φ)(∇φ)^{T} .

Zusammen mit (2.7) folgt

det ∇Ψ = ∂_{j}Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j}  (2.8)
= ∂_{j}Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j} + \underbrace{Ψ_{1}∂_{j}(Cof∇Ψ)_{1j}}_{=0}
= ∂_{j}(Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j}).  (2.9)

Ist nun Ψ ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) und θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), so folgt mit der Greenschen Formel und Gleichung (2.9)

∫_{Ω} ∂_{j}Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j}θdx = − ∫_{Ω} Ψ_{1}(Cof∇Ψ)_{1j}∂_{j}θdx.  (2.10)

Wir zeigen nun, dass die Gleichung (2.10) für alle Funktionen

Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}), p ≥ 2

gilt, so dass

Cof∇Ψ ∈ L^{p′}(Ω, IR^{3}), p^{−1} + p^{′−1} ≤ 1

ist. Daraus folgt dann Cof∇Ψ ∈ L^{q}(Ω, IR^{3}) mit p^{−1} + q^{−1} ≤ 1. Mit ∂_{j}(Cof∇Ψ)_{1j} = 0 für alle Ψ ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) und der Greenschen Formel folgt

∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{1j}∂_{j}χdx = 0 ∀χ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Für jedes χ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) gilt die Abschätzung

|∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{1j}∂_{j}χdx| ≤ |Cof∇Ψ|_{0,1,Ω} |χ|_{1,∞,Ω} ≤ c_{1}(χ)||Ψ||_{1,2,Ω}^{2}.

Somit ist die Abbildung

Ψ ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) → ∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{1j}∂_{j}χdx

stetig, wenn der Raum C^{2}(\overline{Ω}, IR^{3}) mit der Norm || · ||_{1,p,Ω} und p ≥ 2 versehen ist. Da C^{2}(\overline{Ω}) dicht in W^{1,p}(Ω) liegt, folgt

∫_{Ω}(Cof∇Ψ)_{1j}∂_{j}χdx = 0

für alle Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}), p ≥ 2 und alle χ ∈ C_{0}^{∞}(Ω). Wir zeigen nun für ψ ∈ W^{1,p}(Ω) und w = (w_{j}) ∈ L^{p′}(Ω) mit p^{−1} + p^{′−1} = 1, die

∫_{Ω} w_{j}∂_{j}χdx = 0 ∀χ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)  (2.11)

erfüllen, die Gleichung

− ∫_{Ω} ψw_{j}∂_{j}θdx = ∫_{Ω}(∂_{j}ψ)w_{j}θdx ∀θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).  (2.12)

Die Behauptung (2.10) folgt dann mit ψ = Ψ_{1} und w_{j} = (Cof∇Ψ)_{1j}. Für feste w und θ sind beide Seiten der Gleichung (2.12) stetig lineare Formen bezüglich ψ ∈ W^{1,p}(Ω). Da \overline{\{C^{∞}(\overline{Ω})\}}_{||·||_{1,p,Ω}} = W^{1,p}(Ω) ist, betrachte ψ ∈ C^{∞}(\overline{Ω}). Mit Gleichung (2.11) und ψθ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) folgt

0 = ∫_{Ω} w_{j}∂_{j}(ψθ)dx
= ∫_{Ω} ψw_{j}∂_{j}θdx + ∫_{Ω}(∂_{j}ψ)w_{j}θdx.

Mit w_{j} = (Cof∇Ψ)_{1j} und ψ = Ψ_{1} folgt die Behauptung (2.10) für alle Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}), p ≥ 2. Also ist Cof∇Ψ ∈ L^{q}(Ω, 𝕄^{3}) für alle Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) mit p^{−1} + q^{−1} ≤ 1.

3. Für ein beliebiges θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) zeigen wir die Implikation

\begin{matrix}φ^{l} & ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}), & p ≥ 2 \\ Cof∇φ^{l} & ⇀ Cof∇φ in L^{p′}(Ω, 𝕄^{3}), & p^{−1} + p^{′−1} = 1 \end{matrix} \} ⟹

∫_{Ω}(det ∇φ^{l})θdx → ∫_{Ω}(det ∇φ)θdx.

Mit det ∇φ = ∂_{j}φ_{1}(Cof∇φ)_{1j} aus Gleichung (2.8) und den Ergebnis (2.10) aus Teil (2) genügt es, für die bilineare Abbildung

∫_{Ω} φ_{1}^{l}(Cof∇φ^{l})_{1j}∂_{j}θdx →_{l→∞} ∫_{Ω} φ_{1}(Cof∇φ)_{1j}∂_{j}θdx

zu zeigen. Um Satz (2.1.1) anzuwenden, benötigen wir ein r > 0, so dass

φ^{l} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}) ⇒ φ^{l} → φ in L^{r}(Ω, IR^{3})

mit r^{−1} + p^{′−1} ≤ 1 gilt, wenn also die kompakte Einbettung W^{1,p}(Ω) ⋐ L^{r}(Ω) erfüllt ist. Nach Satz (2.1.8) gilt dies für 2 ≤ p < 3, wenn r < p^{∗} = 3p/(3 − p) ist. Mit

\frac{1}{r} + \frac{1}{p′} > \frac{1}{p^{∗}} + \frac{1}{p′} = (\frac{1}{p} − \frac{1}{3}) + (1 − \frac{1}{p}) = \frac{2}{3}

folgt die Existenz einer Zahl r < p^{∗}, so dass r^{−1} + p^{′−1} ≤ 1. Für p ≥ 3 existiert nach Satz (2.1.8) immer ein passendes r mit der gesuchten Eigenschaft.

4. Sei p ≥ 2, {φ^{l}} eine Folge in W^{1,p}(Ω, IR^{3}), so dass Cof∇φ^{l} ∈ L^{q}(Ω, 𝕄^{3}) mit q ≥ 1 und det∇φ^{l} ∈ L^{r}(Ω), r ≥ 1. Weiter soll gelten

φ^{l} ⇀ φ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) mit Cof∇φ^{l} ⇀ H ∈ L^{q}(Ω, 𝕄^{3})(2.13)
und det∇φ^{l} ⇀ δ in L^{r}(Ω).  (2.14)

Es gilt nach Lemma (2.2.1)

∫_{Ω}(Cof∇φ^{l})_{ij}θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω}(Cof∇φ)_{ij}θdx ∀θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)

und mit Teil (3) folgt somit

∫_{Ω}(det∇φ^{l})θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω}(det∇φ)θdx ∀θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Mit den Gleichungen (2.13) und (2.14) folgt

∫_{Ω}(Cof∇φ^{l})_{ij}θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω} H_{ij}θdx

und

∫_{Ω}(det∇φ^{l})θdx ⟶_{l→∞} ∫_{Ω} δθdx.

Wir folgern, dass jede Funktion (Cof∇φ − H)_{ij} ∈ L^{1}(Ω, 𝕄^{3}) und (det∇φ − δ) ∈ L^{1}(Ω) den Gleichungen

∫_{Ω}(Cof∇φ − H)_{ij}θdx = 0 ∀θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)
∫_{Ω}(det∇φ − δ)θdx = 0 ∀θ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)

genügt. Somit gilt

(Cof∇φ − H)_{ij} = 0 fast überall auf Ω

und

(det∇φ − δ) = 0 fast überall auf Ω.

Es folgt die Behauptung. □

2.3 Die Energie I(φ) als schwach unterhalbstetige Funktion  23

2.3 Die Energie I(φ) als schwach unterhalbstetige Funktion

Für den Existenzsatz benötigen wir die Eigenschaft

I(φ) := ∫_{Ω} W (∇φ(x), x) dx ≤ lim inf_{l→∞} ∫_{Ω} W (∇φ^{l}(x), x) dx  (2.15)

für alle schwach konvergenten Folgen φ^{l} ⇀ φ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}). Man nennt I(·) dann schwach unterhalbstetig. Allgemein gilt:

Definition 2.3.1 Eine Funktion f : D → IR, D ⊂ X, heißt schwach unterhalbstetig in x, falls für alle Folgen {x_{k}} mit x_{k} ⇀ x gilt

f(x) ≤ lim inf_{k→∞} f(x_{k}).

Es ist bekannt, dass (2.15) erfüllt ist, wenn W nach unten beschränkt und die Abbildung F ↦ W (F, x) ∈ IR konvex ist. Wir wissen aber, dass es physikalisch keinen Sinn macht, konvexe Energiefunktionale zu betrachten, siehe Satz (2.0.1). Nichtsdestotrotz gibt es nichtkonvexe Funktionen, die (2.15) erfüllen. Dieser Abschnitt zeigt, dass polykonvexe Funktionen zu diesen nichtkonvexen Funktionen gehören.

Satz 2.3.2 Sei Ω ⊂ IR^{3} ein Gebiet mit Lipschitz stetigen Rand und

W : 𝕄_{+}^{3} × \overline{Ω} → IR

eine glatte nach unten beschränkte polykonvexe Funktion. Es existiert also eine konvexe stetig partiell differenzierbare Funktion 𝕎(·, ·, ·, z, x) : 𝕄^{3} × IR × 𝕄^{3} → IR mit

W (F, x) = 𝕎(F, det F, Cof F, φ, x) ∀F = ∇φ(x) ∈ 𝕄_{+}^{3}.

Es sei

I(φ) := ∫_{Ω} W (∇φ, x) dx.  (2.16)

Dann gilt für alle φ^{k} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}) mit p ≥ 2

I(φ) ≤ lim inf_{k→∞} I(φ^{k}) = lim inf_{k→∞} ∫_{Ω} W (∇φ^{k}, x)dx.

Beweis: Die Gleichung (2.16) besagt φ ∈ (W^{1,p}(Ω, IR^{3}))^{+}, also ∇φ ∈ 𝕄_{+}^{3}. Wir wählen eine Folge {φ^{k}} mit

φ^{k} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}).  (2.17)

Sei l := lim inf_{k→∞} I(φ^{k}). Wir haben I(φ) ≤ l zu zeigen. Da φ^{k} ⇀ φ in W^{1,p}(Ω, IR^{3}), ist die Folge {φ^{k}}_{k=1}^{∞} beschränkt. Also gilt

sup_{k} ||φ^{k}||_{1,p,Ω} < ∞.

Wenn nötig wählen wir eine Teilfolge aus {φ^{k}}, so dass

l = lim_{k→∞} I(φ^{k}).  (2.18)

Weiter gilt φ^{k} → φ in L^{p}(Ω, IR^{3}), Kompaktheitssatz. Somit existiert eine weitere Teilfolge mit

φ^{k} → φ fast überall auf Ω.

Sei nun ϵ > 0. Mit Egoroffs Satz (2.1.2) gibt es eine meßbare Menge E_{ϵ} mit L^{3}(Ω \ E_{ϵ}) ≤ ϵ, so daß

φ^{k} → φ gleichmäßig auf E_{ϵ}  (2.19)

konvergiert. Wir definieren

F_{ϵ} := {x ∈ Ω : |φ(x)| + |∇φ(x)| ≤ 1/ϵ}.  (2.20)

Dann gilt L^{3}(Ω \ F_{ϵ}) → 0 für ϵ → 0. Wir setzen

G_{ϵ} := E_{ϵ} ∩ F_{ϵ}.  (2.21)

Es folgt somit

L^{3}(Ω \ G_{ϵ}) → 0 für ϵ → 0.

Nach Voraussetzung ist Ŵ nach unten beschränkt. Œ Ŵ ≥ 0 (sonst wähle β konstant, so dass W̃ := W + β ≥ 0). Es folgt

I(φ^{k}) =∫_{Ω} W (∇φ^{k}, x)dx
≥ ∫_{G_{ϵ}} W (∇φ^{k}, x)dx
=∫_{G_{ϵ}} 𝕎(∇φ^{k}, det ∇φ^{k}, Cof∇φ^{k}, φ^{k}, x)dx
≥∫_{G_{ϵ}} 𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)dx +
∫_{G_{ϵ}} ∂_{1}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)(∇φ^{k} − ∇φ) +
∂_{2}𝕎(∇φ, det ∇φ, CofF, φ^{k}, x)(det ∇φ^{k} − det ∇φ) +
∂_{3}𝕎(∇φ, det ∇φ, CofF, φ^{k}, x)(Cof∇φ^{k} − Cof∇φ)dx. (2.22)

Die letzte Ungleichung folgt aus der Konvexität in den drei ersten Argumenten von W und mit Lemma (2.1.3). Mit (2.19), (2.20) und (2.21) gilt

lim_{k→∞} ∫_{G_{ϵ}} 𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)dx

= ∫_{G_{ϵ}} 𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ, x)dx.  (2.23)

Zusätzlich konvergieren

∂_{1}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x) → ∂_{1}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ, x)

∂_{2}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x) → ∂_{2}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ, x)

∂_{3}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x) → ∂_{3}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ, x)

gleichmäßig auf G_{ϵ} und mit Satz (2.2.2) gilt

∇φ^{k} ⇀ ∇φ in L^{p}(Ω, 𝕄^{3}) und
Cof∇φ^{k} ⇀ Cof∇φ in L^{q}(Ω, 𝕄^{3}), mit q^{−1} + p^{−1} ≤ 1,
det ∇φ^{k} ⇀ det ∇φ in L^{r}(Ω), mit r ≥ 1.

Es folgt

0 = lim_{k→∞} ∫_{G_{ϵ}} ∂_{1}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)(∇φ^{k} − ∇φ) +
∂_{2}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)(det ∇φ^{k} − det ∇φ) +
∂_{3}𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ^{k}, x)(Cof∇φ^{k} − Cof∇φ)dx. (2.24)

Mit (2.18), (2.23) und (2.24) folgt aus (2.22)

l = lim_{k→∞} I(φ^{k}) ≥ ∫_{G_{ϵ}} 𝕎(∇φ, det ∇φ, Cof∇φ, φ, x)dx.  (2.25)

Diese Ungleichung gilt für alle ϵ > 0. Nach Voraussetzung ist ∇φ ∈ 𝕄_{+}^{3}. Mit W ≥ 0 und der monotonen Konvergenz folgt für ϵ → 0

l ≥ ∫_{Ω} 𝕎(∇φ, det ∇φ, φ, x)dx = ∫_{Ω} W (∇φ, x)dx = I(φ).
□

2.4 Balls Existenzsatz für polykonvexe Funktionen

Nach der geleisteten Vorarbeit, zeigen wir nun den Existenzsatz von Ball für polykonvexe Funktionen.

Satz 2.4.1 (Balls Existenzsatz für polykonvexe Funktionen) Sei Ω ⊂ IR^{3} ein Gebiet mit Lipschitz stetigen Rand und W : 𝕄_{+}^{3} × Ω → IR ein Energiefunktional mit folgenden Eigenschaften:

1. Polykonvex: Für fast alle x ∈ Ω und z ∈ IR^{3} existiert eine konvexe

Funktion

𝕎(·, ·, ·, z, x) : 𝕄^{3}×]0, ∞[×𝕄^{3} → IR,

so dass

W (F, x) = 𝕎(F, detF, CofF, z, x) ∀F ∈ 𝕄_{+}^{3};

weiter sei die Funktion

𝕎(F, δ, H, z, ·) : Ω → IR

meßbar für alle

(F, δ, H, z) ∈ 𝕄^{3}×]0, +∞[×𝕄^{3} × IR^{3}

und

z ∈ IR^{3} → 𝕎(F, det F, CofF, z, x) ∈ IR

sei stetig.

2. Verhalten bei det F→ 0^{+}: Für fast alle x ∈ Ω gilt

lim_{detF →0^{+}} W (F, x) = +∞.

3. Koerzivität: Es existieren Konstanten α, β, p, q, r, so dass α > 0, p ≥ 2, q ≥ p/(p − 1), r > 1 und

W (F, x) ≥ α(||F ||^{p} + ||CofF ||^{q} + (detF)^{r}) + β

für fast alle x ∈ Ω und alle F ∈ 𝕄_{+}^{3}.

Sei Γ = Γ_{0} ∪ Γ_{1} eine da−meßbare Zerlegung von Γ = ∂Ω mit areaΓ_{0} > 0, und sei φ_{0} : Γ_{0} → IR^{3} eine meßbare Funktion, so dass die Menge:

Φ : = {Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}); Cof∇Ψ ∈ L^{q}(Ω, 𝕄^{3}), det∇Ψ ∈ L^{r}(Ω), Ψ = φ_{0} da fast

überall auf Γ_{0}, det∇Ψ > 0 fast überall in Ω}

nicht leer ist. Sei f ∈ L^{ρ}(Ω, IR^{3}) und g ∈ L^{σ}(Γ_{1}, IR^{3}), so dass das lineare Funktional

L : Ψ ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{3}) → L(Ψ) := ∫_{Ω} f · Ψdx + ∫_{Γ_{1}} g · Ψda  (2.26)

stetig ist. Sei

I(Ψ) := ∫_{Ω} W (∇Ψ(x), x)dx − L(Ψ),

und nehmen wir an, dass inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ) < +∞ ist. Dann existiert mindestens eine Funktion φ mit

φ ∈ Φ und I(φ) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ).

Beweis:

1. Für fast alle x ∈ Ω ist die Funktion 𝕎(·, ·, ·, z, x) : 𝕄^{3}×]0, +∞[×𝕄^{3} × IR^{3} → IR stetig (Sie ist konvex, reellwertig auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen Raums und ist bezüglich z ∈ IR^{3} stetig; [11], Seite 169, Theorem 4.7-10.). Für alle (F, δ, H, z) ∈ 𝕄^{3}×]0, +∞[×𝕄^{3} × IR^{3} ist W (F, δ, H, z, ·) : Ω → IR meßbar, und 𝕄^{3} × 𝕄^{3}×]0, +∞[×IR^{3} ist eine Borel-Menge. Es folgt, dass die Funktion

x ∈ Ω → 𝕎(∇Ψ(x), det∇Ψ(x), Cof∇Ψ(x), Ψ(x), x)∈ IR

meßbar für alle Ψ ∈ Φ ist (Caratheodory Funktion). Weiter ist W fast überall nach unten beschränkt (wegen Punkt 3 in der Voraussetzung) und es gilt

∫_{Ω} W (∇Ψ(x), x)dx =

∫_{Ω} 𝕎(∇Ψ(x), det∇Ψ(x), Cof∇Ψ(x), Ψ(x), x)dx ∈ [βvolΩ, +∞]

für alle Ψ ∈ Φ. Somit ist das Integral ∫_{Ω} W (∇Ψ(x), x)dx wohldefiniert.

2. Wir bestimmen nun die untere Schranke für die Gesamtenergie I(Ψ) für Ψ ∈ Φ. Mit der Koerzivität von W und der Stetigkeit von L folgt

I(Ψ) ≥ α ∫_{Ω}(||∇Ψ||^{p} + ||Cof∇Ψ||^{q} + (det∇Ψ)^{r})dx
+ β · volΩ − ||L|| · ||Ψ||_{1,p,Ω} ∀Ψ ∈ Φ.

Zusammen mit Ψ = φ_{0} auf Γ_{0} und Satz (2.1.6) erhalten wir Konstanten c > 0 und d mit

I(Ψ) ≥ c(||Ψ||_{1,p,Ω}^{p} + |Cof∇Ψ|_{0,q,Ω}^{q} + |det∇Ψ|_{0,r,Ω}^{r}) + d ∀Ψ ∈ Φ.

3. Sei {φ^{k}} eine Minimalfolge für das Funktional I, d.h. eine Folge die

φ^{k} ∈ Φ ∀k ∈ IN, und lim_{k→∞} I(φ^{k}) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ)

genügt. Nach Annahme ist inf_{Φ∈Ψ} I(Ψ) < ∞ und mit gezeigtem zweiten Teil ist die Folge {φ^{k}, Cof∇φ^{k}, det∇φ^{k}} beschränkt im reflexiven Banach-Raum W^{1,p}(Ω, IR^{3})×L^{q}(Ω, 𝕄^{3})×L^{r}(Ω). Also existiert eine Teilfolge {φ^{l}, Cof∇φ^{l}, det∇φ^{l}} die schwach gegen ein Element (φ, H, δ) im Raum W^{1,p}(Ω, IR^{3}) × L^{q}(Ω, 𝕄^{3}) × L^{r}(Ω) konvergiert. Mit Satz (2.2.2) folgt H = Cof∇φ und δ = det∇φ. Wir haben also eine Teilfolge in der Minimalfolge mit

φ^{l} ⇀ φ  in W^{1,p}(Ω, IR^{3}),
Cof∇φ^{l} ⇀ Cof∇φ in L^{q}(Ω, 𝕄^{3}),
det∇φ^{l} ⇀ det∇φ  in L^{r}(Ω).

4. Wir zeigen nun φ ∈ Φ. Es genügt det∇φ > 0 fast überall auf Ω und φ = φ_{0} auf Γ_{0} zu zeigen. Wegen det∇φ^{l} ⇀ det∇φ in L^{r}(Ω), existiert nach Satz (2.1.4) für jedes l Zahlen i(l) ≥ l und λ_{s}^{l}, l ≤ s ≤ i(l), so dass

λ_{s}^{l} ≥ 0, ∑_{s=l}^{i(l)} λ_{s}^{l} = 1, d^{l} := ∑_{s=l}^{i(l)} λ_{s}^{l}det∇φ^{s} ⟶_{l→∞} det∇φ in L^{r}(Ω).

Daher existiert eine Teilfolge {d^{m}} in {d^{l}} die fast überall gegen det∇φ konvergiert. Wegen d^{l} > 0 fast überall, folgern wir det∇φ ≥ 0 fast überall auf Ω. Wir führen nun die Annahme det∇φ = 0 auf A ⊂ Ω mit volA > 0 zum Widerspruch. Es gilt

∫_{A} |det∇φ^{l}|dx = ∫_{A} det∇φ^{l}dx → ∫_{A} det∇φdx = 0,

da die charakteristische Funktion der Menge A zu L^{r′}(Ω) gehört. Somit gilt det∇φ^{l} → 0 in L^{1}(A). Es existiert eine Teilfolge {φ^{m}} in {φ^{l}}, so dass

det∇φ^{m}(x) → 0 für fast alle x ∈ A.

Für die Folge der meßbaren Funktionen {f^{m}} mit

f^{m} : x ∈ A → f^{m}(x) := W (∇φ^{m}(x), x) ≥ β ∀m ∈ IN

(Koerzivität von W) folgt mit Lemma (2.1.7)

∫_{A} lim inf_{m→∞} f^{m}(x)dx ≤ lim inf_{m→∞} ∫_{A} f^{m}(x)dx ≤ lim_{m→∞} ∫_{A} f^{m}(x)dx. (2.27)

Mit Voraussetzung 2 folgt

lim inf_{m→∞} f^{m}(x) = lim_{m→∞} W (∇φ^{m}(x), x)
= lim_{detF →0^{+}} W (F, x) = +∞ für fast alle x ∈ A.(2.28)

Mit (2.27) und (2.28) folgt

lim_{m→∞} ∫_{A} f^{m}(x)dx = lim_{m→∞} ∫_{A} W (∇φ^{m}(x), x)dx = +∞.

Nach Voraussetzung ist aber lim_{m→∞} I(φ^{m}) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ) < +∞ und

I(φ^{m}) ≥ ∫_{A} W (∇φ^{m}(x), x)dx
+ β · vol(Ω \ A) − ||L|| · ||φ^{m}||_{1,p,Ω},

das β kommt von der Koerzivität. Dies ist ein Widerspruch. Also ist det∇φ > 0 fast überall auf Ω. Wir haben noch φ = φ_{0} auf Γ_{0} zu zeigen. Sei w ∈ Φ fest. Es ist φ^{l} − w ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{3}). Der Raum W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{3}) ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von W^{1,p}(Ω, IR^{3}) und mit Satz (2.1.5) ist dieser schwach folgenabgeschlossen. Es folgt

φ − w ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{3}).

Daher ist spur φ = φ_{0} auf Γ_{0}. Damit ist φ ∈ Φ gezeigt.

5. Mit det∇φ > 0 fast überall auf Ω und mit Satz (2.3.2) folgern wir

∫_{Ω} W (∇φ(x), x)dx ≤ lim inf_{l→∞} ∫_{Ω} W (∇φ^{l}(x), x)dx.

Das lineare Funktional (2.26) ist stetig und es folgt L(φ) = lim_{l→∞} L(φ^{l}). Insgesamt haben wir

I(φ) ≤ lim inf_{l→∞} I(φ^{l})

gezeigt.

6. Die Funktion φ ist Lösung des Problems, da φ ∈ Φ (siehe Teil 4) und

I(φ) ≤ lim inf_{l→∞} I(φ^{l}) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ) ⇒ I(φ) = inf_{Ψ∈Φ} I(Ψ).

□

2.5 Das Energiefunktional des Myokards

Dieser Abschnitt zeigt, dass das Energiefunktional des Myokards nicht polykonvex ist. Der Existenzsatz von Ball (2.4.1) ist daher nicht anwendbar.

Nichtsdestotrotz ist der Satz von Ball kein mathematischer Selbstzweck. So besitzen z.B. die Ogden Materialien ein polykonvexes Energiefunktional. Cosat et al [12] geben ein durch Experimente bestimmtes Energiefunktional für das Myokard an:

Ŵ (x, E) = \frac{C}{2} (eQ̂ − 1) − \frac{p}{2}(g^{(x)} − 1)  (2.29)

mit

Q̂(E) = 2b_{1}(E_{11} + E_{22} + E_{33})
+b_{2}E_{11}^{2} + b_{3}(E_{22}^{2} + E_{33}^{2} + 2E_{23}E_{32})
+2b_{4}(E_{12}E_{21} + E_{13}E_{31})

und den Konstanten C = 0, 88kP a, b_{1} = 0, 0, b_{2} = 18, 5, b_{3} = 3, 58 und b_{4} = 1, 63. Die Inkompressibilität der Herzwand ist hier eine Nebenbedingung. Sie wird in Gleichung (2.29) durch g^{(x)} = det(F^{T} F) = (detF)^{2} = 1 und dem Lagrangeschen Multiplikator p/2 berücksichtigt, dabei ist p der hydrostatische Druck. Die Nebenbedingung hat deshalb keinen Einfluss auf die Konvexität bzw. Polykonvexität und wird im folgenden nicht berücksichtigt. Mit E = \frac{1}{2}(F^{T} F − I) erhalten wir

E_{11} = \frac{1}{2}(F_{11}^{2} + F_{21}^{2} + F_{31}^{2} − 1)
E_{22} = \frac{1}{2}(F_{12}^{2} + F_{22}^{2} + F_{32}^{2} − 1)
E_{33} = \frac{1}{2}(F_{13}^{2} + F_{23}^{2} + F_{33}^{2} − 1)
E_{23} = E_{32} = \frac{1}{2}(F_{12}F_{13} + F_{22}F_{23} + F_{32}F_{33})
E_{12} = E_{21} = \frac{1}{2}(F_{11}F_{12} + F_{21}F_{22} + F_{31}F_{32})
E_{13} = E_{31} = \frac{1}{2}(F_{11}F_{13} + F_{21}F_{23} + F_{31}F_{33}).

Statt Ŵ (x, E) und Q̂(E) betrachten wir die Funktionen W (x, F) und Q(F).

Satz 2.5.1 Die Abbildung W (x, F) ist nicht polykonvex.

Beweis: Wir nehmen an, dass die Funktionen polykonvex sind. Es sei ϵ > 0 und

F_{ϵ} := ϵI = ϵdiag(1, 1, 1),
G_{ϵ} := ϵdiag(1, 1, 3).

Es folgt

detF_{ϵ} = ϵ^{3} > 0,
detG_{ϵ} = 3ϵ^{3} > 0,
det(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = 2ϵ^{3},

und weiter

det(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = \frac{1}{2}detF_{ϵ} + \frac{1}{2}detG_{ϵ},
CofF_{ϵ} = diag(ϵ^{2}, ϵ^{2}, ϵ^{2}),
CofG_{ϵ} = diag(3ϵ^{2}, 3ϵ^{2}, ϵ^{2}),
Cof(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = diag(2ϵ^{2}, 2ϵ^{2}, ϵ^{2}),

so dass

Cof(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = \frac{1}{2}CofF_{ϵ} + \frac{1}{2}CofG_{ϵ}.

Nach Annahme ist W (x, ·) : 𝕄_{+}^{3} → IR polykonvex, daher gibt es eine konvexe Funktion 𝕎(x, ·, ·, ·) : 𝕄^{3} × 𝕄^{3}×]0, ∞[→ IR mit

W (x, \frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = 𝕎(x, \frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ}), Cof \frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ}), det(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})))
= 𝕎(x, \frac{1}{2}F_{ϵ} + \frac{1}{2}G_{ϵ}, \frac{1}{2}CofF_{ϵ} + \frac{1}{2}CofG_{ϵ}, \frac{1}{2}detF_{ϵ} + \frac{1}{2}detG_{ϵ})
≤ \frac{1}{2}𝕎(x, F_{ϵ}, CofF_{ϵ}, detF_{ϵ}) + \frac{1}{2}𝕎(x, G_{ϵ}, CofG_{ϵ}, detG_{ϵ})
= \frac{1}{2}W (x, F_{ϵ}) + \frac{1}{2}W (x, G_{ϵ}).  (2.30)

Wir zeigen nun, dass diese Ungleichung nicht für alle ϵ > 0 erfüllt ist. Mit D = diag(d_{1}, d_{2}, d_{3}) als Diagonalmatrix folgt mit b_{1} = 0, 0

4Q(D) = b_{2}(d_{1}^{2} − 1)^{2} + b_{3}((d_{2}^{2} − 1)^{2} + (d_{3}^{2} − 1)^{2})

und weiter

4Q(F_{ϵ}) = (b_{2} + b_{3})(ϵ^{2} − 1)^{2} + b_{3}(ϵ^{2} − 1)^{2}
4Q(G_{ϵ}) = (b_{2} + b_{3})(ϵ^{2} − 1)^{2} + b_{3}(9ϵ^{2} − 1)^{2}
4Q(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) = (b_{2} + b_{3})(ϵ^{2} − 1)^{2} + b_{3}(4ϵ^{2} − 1)^{2}.

Wir definieren

f(ϵ) := Q(\frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) − \frac{1}{2}Q(F_{ϵ}) − \frac{1}{2}Q(G_{ϵ})
= \frac{b_{3}}{4} ((4ϵ^{2} − 1)^{2} − \frac{1}{2}(9ϵ^{2} − 1)^{2} − \frac{1}{2}(ϵ^{2} − 1)^{2})
= \frac{b_{3}}{4} (−25ϵ^{4} + 2ϵ^{2}).

Für ϵ < \frac{\sqrt{2}}{5} ist f(ϵ) > 0. Deswegen ist Q nicht konvex für alle ϵ < \frac{\sqrt{2}}{5}. Es sei

\frac{C}{2} g(ϵ) := W (x, \frac{1}{2}(F_{ϵ} + G_{ϵ})) − \frac{1}{2}W (x, F_{ϵ}) − \frac{1}{2}W (x, G_{ϵ})
= \frac{C}{2} (e^{Q(x, \frac{1}{2} (F_{ϵ}+G_{ϵ}))} − \frac{1}{2}e^{Q(x,F_{ϵ})} − \frac{1}{2}e^{Q(x,G_{ϵ})}).

Wir zeigen, dass es ein ϵ > 0 gibt, so dass g(δ) > 0 für alle 0 < δ < ϵ. Es genügt

h(δ) := g(δ)e^{−Q(x, \frac{1}{2} (F_{δ}+G_{δ}))} > 0

für alle 0 < δ < ϵ zu zeigen. Es ist

h(ϵ) = 1 − \frac{1}{2}e^{\frac{b_{3}}{4} (−15ϵ^{4}+6ϵ^{2})} − \frac{1}{2}e^{\frac{b_{3}}{4} (65ϵ^{4}−10ϵ^{2})}.

Die Taylor Reihe von h mit Entwicklungspunkt 0 hat die Gestalt

h(ϵ) = b_{3}ϵ^{2} + 0(ϵ^{4}).

Daher gibt es ein ϵ > 0, so dass h(δ) > 0 und g(δ) > 0 für alle 0 < δ < ϵ. Daher gilt die Ungleichung (2.30) nicht für alle ϵ > 0. Somit kann W nicht polykonvex sein. □ Versuche dieses Energiefunktional mit dem Satz von Ball zu verknüpfen blieben erfolglos.

2.6 Existenzsatz ohne konvexe Voraussetzung

Existenzsätze die konvexe bzw. polykonvexe Funktionen voraussetzen, lösen unser Problem (2.1) für das Energiefunktional des Myokards also nicht. Folgender Satz kommt ohne diese Voraussetzungen aus. Wir benötigen zunächst eine Definition.

Definition 2.6.1 Eine Menge D ⊂ X heißt schwach kompakt, falls für alle Folgen {x_{k}} ⊂ D eine Teilfolge {x_{k_{j}}} und ein x ∈ D existiert mit x_{k} ⇀ x.

Satz 2.6.2 Sei D ⊂ X schwach kompakt und f : D → IR schwach unterhalbstetig, Definition (2.3.1). Dann besitzt fauf D ein (globales) Minimum.

Beweis: Sei

c := inf_{x∈D} f(x).

Dann gibt es eine Minimalfolge {x_{k}} ⊂ D mit c = lim_{k→∞} f(x_{k}). Da D schwach kompakt ist, gilt x_{k} ⇀ x ∈ D. Nun ist f schwach unterhalbstetig, also

f(x) ≤ lim inf_{k→∞} f(x_{k}) = c,

daher ist x ∈ D ein globales Minimum. □ Dies ist der passende Satz für unser Problem. Allerdings macht die Voraussetzung, dass f : D → IR schwach unterhalbstetig sein soll, Probleme. Denn für

I(φ) := ∫_{Ω} g(x, φ(x), ∇φ(x)) dx

mit φ : Ω ⊂ IR^{n} → IR^{m} (∇φ ∈ IR^{nm}) und g konvex bezüglich ∇φ gilt die Folgerung ([14], Seite 97)

g konvex ⇒ g polykonvex ⇒ g quasikonvex

und

g quasikonvex ⟺ I(φ) ist schwach unterhalbstetig.

Es gibt nichtkonvexe, schwach unterhalbstetige Funktionen. Die Überprüfung, ob eine gegebene Funktion quasikonvex ist, gilt als sehr schwer, [14], Seite 97. In dieser Arbeit soll dieser Weg auch nicht weiter verfolgt werden. Trotzdem könnte dies ein Zugang zum Existenzsatz sein. Wir beenden dieses Kapitel mit der Definition einer quasikonvexen Funktion.

Definition 2.6.3 Eine Borel meßbare und lokal integrierbare Funktion f : IR^{nm} → IR heißt quasikonvex, wenn

f(A) ≤ \frac{1}{measD} ∫_{D} f(A + ∇φ(x)) dx

für alle beschränkten Bereiche D ⊂ IR^{n}, für alle A ∈ IR^{nm} und für alle φ ∈ W_{0}^{1,∞}(D, IR^{m}) erfüllt ist.

Aus Dacorogna [14], Seite 99.

Der Laplace-Operator als Homöomorphismus

Der Beweis ist ein Götze, vor dem der Mathematiker sich foltert.

Sir Arthur Eddington

Die Unmöglichkeit der Konvexität von W (x, F) zwang uns, einen schwächeren Begriff, die Polykonvexität, einzuführen. Wir haben weiter gezeigt, dass das Energiefunktional für das Myokard nicht polykonvex ist. Ob eine Funktion quasikonvex ist, gilt als schwer nachprüfbar. Wir stoßen daher auf Schwierigkeiten, wenn wir für unsere Variationsaufgabe (2.1) einen Existenzsatz herleiten wollen. Wir wissen, dass sich die Antwortfunktion T̂(x, F) aus W (x, F) mit der Gleichung (1.22) berechnen läßt. Es gibt also die Möglichkeit, direkt mit der Antwortfunktion und dem System der partiellen Differentialgleichungen (1.28) zu arbeiten. Wir betrachten das System als Operator zwischen zwei Banach-Räumen. Ziel ist es, den Satz über die Umkehrfunktion anzuwenden. Eine Voraussetzung ist, dass das Differential an einen Punkt φ_{0} bijektiv ist. Dazu benötigen wir, dass der Laplace-Operator

Δ : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})  (3.1)

ein surjektiver Homöomorphismus ist. Dabei entspricht Ω der Herzwand und folglich ist Ω ⊂ IR^{3}. Aus Stetigkeitsgründen muß p > n = 3 sein. Damit sind die genannten Sobolev-Räume keine Hilberträume. Der Satz von Lax-Milgram ist daher nicht anwendbar. Dieses Kapitel befaßt sich intensiv mit der Aussage (3.1). Wir benötigen zunächst einige Definitionen und Lemmata. Grundlage für dieses Kapitel sind die Quellen [3] und [22].

3.1 Einige Grundlagen

Definition 3.1.1 Für die Multiindizes α = (α_{1}, …, α_{n}) und β = (β_{1}, …, β_{n}) natürlicher Zahlen sei:

|α| := α_{1} + … + α_{n}
α! := α_{1}! · α_{2}! ⋯ α_{n}!
α < β :⟺ α_{i} < β_{i} ∀i = 1, … n
α ≤ β :⟺ α_{i} ≤ β_{i} ∀i = 1, … n
\binom{α}{β} := \frac{α!}{β! (α − β)!} ∀β ≤ α.

Definition 3.1.2 Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt, offen und

B(Φ, Ψ) := ∑_{{|α|≤m \atop |β|≤m}}(a_{αβ}D^{α}Φ, D^{β}Ψ)_{0} Φ, Ψ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)

eine gleichmäßige elliptische Dirichlet Bilinearform der Ordnung m auf Ω. B(Ψ, Φ) heißt regulär, wenn für |α| ≤ m, |β| ≤ m, a_{αβ} ∈ L^{∞}(Ω) sind. Weiter nehmen wir an, dass a_{αβ} mit |α| = |β| = m stetig auf \overline{Ω} sind oder äquivalent, a_{αβ} sind gleichmäßig stetig auf Ω für |α| = |β| = m. Wie üblich ist (Φ, Ψ)_{0} := ∫_{Ω} ΦΨ dx.

Definition 3.1.3 Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt, offen und

C_{∗}^{m}(Ω) := {f ∈ C^{m}(Ω) : ∂^{α}f sind gleichmäßig beschränkt für alle |α| ≤ m}.

Definition 3.1.4 (Stetig differenzierbare Bilinearform) Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt und offen, m ≥ 1 eine ganze Zahl und

B(Ψ, Φ) := ∑_{{|α|≤m \atop |β|≤m}}(a_{αβ}D^{α}Ψ, D^{β}Φ)_{0} ∀Ψ, Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)

sei eine gleichmäßige elliptische reguläre Dirichlet Bilinearform. Sei k ≥ 1 eine ganze Zahl. B heißt k mal stetig differenzierbar auf Ω, wenn a_{αβ} ∈ C_{∗}^{|β|+k−m}(Ω) für |β| + k − m > 0 und sonst a_{αβ} ∈ L^{∞}(Ω) ist.

Lemma 3.1.5 Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt, offen und

L := ∑_{|s|≤2m} a_{s}(·)D^{s}

gleichmäßig elliptisch auf Ω. Sei a_{s} ∈ L^{∞}(Ω) für |s| ≤ m und a_{s} ∈ C_{∗}^{|s|−m}(Ω) für |s| > m. Für |s| ≥ m + 1 sei s = s_{1} + s_{2} mit |s_{1}| = m. Sei

B_{L}(Ψ, Φ) := ∑_{|s|≤m}(a_{s}D^{s}Ψ, Φ)_{0}

+ ∑_{m+1≤|s|≤2m}(−1)^{|s_{2}|} ∑_{τ≤s_{2}} \binom{s_{2}}{τ}(D^{s_{2}−τ}a_{s}D^{s_{1}}Ψ, D^{τ}Φ)_{0}

mit Ψ, Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω). Dann ist

B_{L}(Ψ, Φ) = (LΨ, Φ)_{0} ∀Ψ, Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)

und B_{L} ist eine gleichmäßige elliptische reguläre Dirichlet Bilinearform auf Ω, welche m mal stetig differenzierbar ist. Ist weiter k ≥ 0 eine ganze Zahl und a_{s} ∈ C_{∗}^{k}(Ω) für |s| ≤ m und a_{s} ∈ C_{∗}^{|s|+k}(Ω) für |s| > m, dann ist B_{L} (m + k) mal stetig differenzierbar. Ist a_{s} ∈ C_{∗}^{|s|+k}(Ω) und B_{L}^{∗} definiert durch

B_{L}^{∗}(u, v) := \overline{B_{L}(v, u)} := ∑_{|s|≤m}(\overline{a}_{s}D^{s}u, v)_{0}

+ ∑_{m+1≤|s|≤2m}(−1)^{|s_{2}|} ∑_{τ≤s_{2}} \binom{s_{2}}{τ}(D^{s_{2}−τ} \overline{a}_{s}D^{s_{1}}u, D^{τ}v)_{0}

dann sind B_{L} und B_{L}^{∗} (m + k) mal stetig differenzierbar.

Beweis: Der Beweis folgt durch direktes Nachrechnen. Es ist

(LΨ, Φ)_{0} = ∑_{|s|≤m}(a_{s}D^{s}Ψ, Φ)_{0} + ∑_{m+1≤|s|≤2m}(a_{s}D^{s}Ψ, Φ)_{0}.

Mit partieller Integration und der Leibnizschen Formel (siehe Agmon [3], Seite 9) folgt für das zweite Summenzeichen,

∑_{m+1≤|s|≤2m} (a_{s}D^{s}Ψ, Φ)_{0} = ∑_{m+1≤|s|≤2m} ∫_{Ω} a_{s}D^{s}ΨΦdx

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} ∫_{Ω} D^{s_{1}+s_{2}}ΨΦa_{s}dx

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} (−1)^{|s_{2}|} ∫_{Ω} D^{s_{1}}ΨD^{s_{2}}(Φa_{s})dx

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} (−1)^{|s_{2}|} ∫_{Ω} D^{s_{2}}(Φa_{s})D^{s_{1}}Ψdx

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} (−1)^{|s_{2}|} ∫_{Ω} ∑_{τ≤s_{2}} \binom{s_{2}}{τ}D^{τ}ΦD^{s_{2}−τ}a_{s}D^{s_{1}}Ψdx

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} (−1)^{|s_{2}|}( ∑_{τ≤s_{2}} \binom{s_{2}}{τ}D^{s_{2}−τ}a_{s}D^{s_{1}}Ψ, D^{τ}Φ)_{0}

= ∑_{m+1≤|s|≤2m} (−1)^{|s_{2}|} ∑_{τ≤s_{2}} \binom{s_{2}}{τ}(D^{s_{2}−τ}a_{s}D^{s_{1}}Ψ, D^{τ}Φ)_{0}.

Insgesamt folgt

B_{L}(Ψ, Φ) = (LΨ, Φ)_{0} ∀Ψ, Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Mit den Definitionen (3.1.4) und (3.1.3) folgt der Rest der Aussage. □

Satz 3.1.6 (Gårdings verallgemeinerte Ungleichung) Es sei m ≥ 1 eine ganze Zahl und 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ reelle Zahlen mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Die Menge Ω ⊂ IR^{n} sei beschränkt und offen mit ∂Ω ∈ C^{m}. Weiter sei B(Φ, Ψ) eine gleichmäßige elliptische reguläre Dirichlet Bilinearform der Ordung m. Dann ist B(Φ, Ψ) stetig für alle (Φ, Ψ) ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) × W_{0}^{m,q}(Ω) und es gibt Konstanten C_{i} = C_{i}(n, m, p, Ω, E) > 0 und K_{i} = K_{i}(n, m, p, Ω, E, a_{αβ}) ≥ 0 (i = 1, 2), so dass für alle u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) gilt

sup_{Φ∈S_{q}} |B(u, Φ)| ≥ C_{1}||u||_{m,p} − K_{1}||u||_{0,p}  (3.2)

oder äquivalent

sup_{Φ∈S_{q}} |B(u, Φ)| ≥ C_{2}||u||_{m,p} − K_{1}||u||_{L_{1}(Ω)},  (3.3)

mit S_{q} := {Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) : ||Φ||_{m,q} ≤ 1} und der Elliptizitäts-Konstanten E .

Beweis: Siehe [22], Seite 106, Theorem 6.3. Simader benutzt die Norm | · |_{m,p} anstelle || · ||_{m,p}. Für u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) sind diese Normen jedoch äquivalent. □

Definition 3.1.7 Es sei e_{i} ∈ IR^{n} ein Einheitsvektor und 0 ≠ h ∈ IR. Ist u(·) in einer offenen Menge Ω ⊂ IR^{n} definiert und ist (x + he_{i}) ∈ Ω, x ∈ Ω, dann sei

(δ_{h}^{i}u)(x) := \frac{u(x + he_{i}) − u(x)}{h}.

Lemma 3.1.8 Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt und offen und u ∈ W^{k,p}(Ω) mit k ≥ 1, 1 < p < ∞. Dann gilt für alle Ω_{1} ⊂⊂ Ω und jedes h mit 0 < h < dist(\overline{Ω_{1}}, ∂Ω)

||δ_{h}^{i}u||_{k−1,p,Ω_{1}} ≤ ||u||_{k,p,Ω}, i = 1, …, n.

Beweis: Siehe [22], Seite 136. □

Lemma 3.1.9 Sei Ω ⊂ IR^{n} beschränkt und offen und u ∈ W^{k,p}(Ω) mit k ≥ 0, 1 < p < ∞. Existiert eine Konstante C > 0, so dass für alle Ω_{1} ⊂⊂ Ω und jedes h mit 0 < h < h_{0}(Ω_{1}) es ein i ∈ {1, … n} gibt mit ||δ_{h}^{i}u||_{k,p,Ω_{1}} ≤ C, so ist

D^{e_{i}}u ∈ W^{k,p}(Ω).

Beweis: Siehe [22], Seite 136. □

3.2 Formulierung des Problems

Definition 3.2.1 Für 0 < R < ∞ sei

S_{R} := {x ∈ IR^{n} : |x| < R}
H_{R} := {x ∈ IR^{n} : |x| < R, x_{n} > 0}.

Lemma 3.2.2 Es sei Ω_{R} ⊂ IR^{n} entweder S_{R} oder H_{R}. Angenommen

1. für R > 0 und m ≥ 1 sei

B(Ψ, Φ) := ∑_{{|α|≤m \atop |β|≤m}}(a_{αβ}D^{α}Ψ, D^{β}Φ)_{0} ∀Φ, Ψ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R})

eine gleichmäßige elliptische reguläre Dirichlet Bilinearform auf Ω_{R}. Die Koeffizienten a_{αβ} genügen für |β| = m der gleichmäßigen Lipschitz Bedingung auf Ω_{R} mit der Lipschitz Konstanten L,

2. für ein p ∈ IR mit 1 < p < ∞ gibt es ein u ∈ W^{m,p}(Ω_{R}), so dass ξu ∈ W_{0}^{m,p}(Ω_{R}) für alle ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}),

3. es existiert eine Konstante C > 0, so dass

|B(u, Φ)| ≤ C||Φ||_{m−1,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω_{R})  (3.4)

mit 1 < q < ∞, und \frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1.

Dann ist D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(Ω_{R_{1}}) für alle R_{1} < R und es existiert eine Konstante γ = γ(n, m, p, a_{αβ}, L, R, R_{1}) > 0, so dass

||D^{e_{i}}u||_{m,p,Ω_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,Ω_{R}})

wobei entweder

i = 1, . . . . . . , n, für Ω_{R} = S_{R}
oder i = 1, …, n − 1, für Ω_{R} = H_{R}.

Abbildung 3.1: Darstellung der verschiedenen Gebiete für den Beweis.

Beweis: Œ sei a_{αβ} = 0 für |β| ≤ m − 1. Sonst betrachte

| ∑_{{|α≤m \atop |β|=m}}(a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0}| = |B(u, Φ) − ∑_{{|α|≤m \atop |β|≤m−1}}(a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0}|
≤ (C + C_{1}||u||_{m,p})||Φ||_{m−1,q}

mit C_{1} = C_{1}(n, m, ||a_{αβ}||_{L^{∞}}). Diese Bilinearform genügt somit den Voraussetzungen. Es sei 0 < R_{1} < R und R_{2} = \frac{1}{2}(R + R_{1}). Also 0 < R_{1} < R_{2} < R. Für Ω_{R} = H_{R} gibt es ein H_{R_{2},R} mit

∂H_{R_{2},R} ∈ C^{m} und H_{R_{2}} ⊂ H_{R_{2},R} ⊂ H_{R}.

Für diesen Fall sein G := H_{R_{2},R}, sonst sei G := S_{R_{2}}. Sei ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}) mit

0 ≤ ξ(x) ≤ 1 auf S_{R}
ξ(x) = 1 auf S_{R_{1}}
ξ(x) = 0 außerhalb von S_{D}

mit D := R_{1} + \frac{1}{4}(R − R_{1}) = \frac{1}{2}(R_{1} + R_{2}). Somit ist ξu ∈ W_{0}^{m,p}(G). Sei nun 0 < h < \frac{1}{4}(R − R_{1}) und entweder

i = 1, . . . . . . , n, für Ω_{R} = S_{R}
oder i = 1, …, n − 1, für Ω_{R} = H_{R}.

Somit ist v_{h}^{i} := δ_{h}^{i}(ξu) ∈ W_{0}^{m,p}(Ω_{R_{2}}) ⊆ W_{0}^{m,p}(G), siehe Definition (3.1.7). Gesucht ist eine Abschätzung für ||v_{h}^{i}||_{m,p,G}, die unabhängig ist von h. Dazu betrachten wir B(v_{h}^{i}, Φ) = B(δ_{h}^{i}(ξu), Φ) und transformieren zunächst den Operator δ_{h}^{i} und dann ξ zur anderen Seite, so dass (3.4) anwendbar ist. Alle auftretenden Terme sind mit der Hölderschen Ungleichung abschätzbar. Mit der Leibnizschen Formel erhalten wir

D^{α}(ξu) = ∑_{γ≤α} \binom{α}{γ}D^{α−γ}ξD^{γ}u

für alle x ∈ Ω_{r} mit r > 0. Setze D^{α−γ}u(x) = 0 ∀x ∉ Ω_{R}. Es gilt

δ_{h}^{i}D^{α}(ξu) = \frac{D^{α}(ξu)(x + he_{i}) − D^{α}(ξu)(x)}{h}
= D^{α} \frac{ξu(x + he_{i}) − ξu(x)}{h}
= D^{α}δ_{h}^{i}(ξu)
= D^{α}v_{h}^{i} ∀x ∈ Ω_{R}.

Es ist

|B(v_{h}^{i}, Φ)| = | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}D^{α}v_{h}^{i}, D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

= | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}D^{α}(ξu), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

= | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}( ∑_{γ≤α} \binom{α}{γ}D^{α−γ}ξD^{γ}u), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}( ∑_{γ<α} \binom{α}{γ}D^{α−γ}ξD^{γ}u), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

+| ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}( ∑_{γ=α} \binom{α}{γ}D^{α−γ}ξD^{γ}u), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}(ξD^{α}u), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R}).  (3.5)

Mit der generischen Konstanten K = K(n, m, p, ξ, R, R_{1}, L, a_{αβ}). Wir benötigen für den nächsten Schritt die Abschätzung

| ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)\frac{ξ(x + he_{i})D^{α}u(x + he_{i})}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}}

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x − he_{i})\frac{ξ(x)D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x − he_{i}))_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R})  (3.6)

die sich aus der Stetigkeit der Funktionen und des Fehlerkorrekturtermes ergibt. Wir schätzen nun den ersten Term von (3.5) ab.

| ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}δ_{h}^{i}(ξD^{α}u), D^{β}Φ)_{0,Ω_{R}} |

= | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)\frac{(ξD^{α}u)(x + he_{i}) − (ξD^{α}u)(x)}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}} |

= | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)\frac{ξ(x + he_{i})D^{α}u(x + he_{i})}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}}

− ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)\frac{ξ(x)D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}} |

≤^{(3.6)} | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x − he_{i})\frac{ξ(x)D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x − he_{i}))_{0,Ω_{R}}

− ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)\frac{ξ(x)D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}}

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} −(a_{αβ}(x)\frac{ξ(x)D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x))_{0,Ω_{R}}

+ ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} −(a_{αβ}(x)ξ(x)\frac{D^{α}u(x)}{h}, −D^{β}Φ(x − he_{i}))_{0,Ω_{R}}

− ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} −(a_{αβ}(x)ξ(x)\frac{D^{α}u(x)}{h}, −D^{β}Φ(x − he_{i}))_{0,Ω_{R}}

+ ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x − he_{i})ξ(x)\frac{D^{α}u(x)}{h}, D^{β}Φ(x − he_{i}))_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}}

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} −(a_{αβ}(x)ξ(x)D^{α}u(x), \frac{D^{β}Φ(x) − D^{β}Φ(x − he_{i})}{h})_{0,Ω_{R}} |

+| ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (ξ(x)D^{α}u(x)D^{β}Φ(x − he_{i}), \frac{a_{αβ}(x − he_{i}) − a_{αβ}(x)}{h})_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}}

≤ | ∑_{{|α|≤m \atop |β|=m}} (a_{αβ}(x)D^{α}u(x), ξ(x)δ_{−h}^{i}D^{β}Φ(x)_{0,Ω_{R}} |

+K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}}

= |B(u, ξδ_{−h}^{i}Φ)| + K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R}). (3.7)

Mit den Abschätzungen (3.5) und (3.7) folgt

|B(v_{h}^{i}, Φ)| ≤ |B(u, ξδ_{−h}^{i}Φ)| + K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R}) (3.8)

mit der generischen Konstanten K = K(n, m, p, ξ, R, R_{1}, L, a_{αβ}) > 0. Es ist ξδ_{−h}^{i}Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{D}) und Ω_{D} ⊂⊂ G. Daher folgt aus (3.4) und Lemma (3.1.8)

|B(u, ξδ_{−h}^{i}Φ)| ≤ C||ξδ_{−h}^{i}Φ||_{m−1,q,Ω_{D}}
≤ C_{1}||Φ||_{m,q,G}
≤ C_{2}||Φ||_{m,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R}).

Zusammen mit (3.8) folgt

|B(v_{h}^{i}, Φ)| ≤ C_{2}||Φ||_{m,q,Ω_{R}} + K||u||_{m,p,Ω_{R}}||Φ||_{m,q,Ω_{R}}
≤ K(C_{3} + ||u||_{m,p,Ω_{R}})||Φ||_{m,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R}). (3.9)

Da v_{h}^{i} = δ_{h}^{i}(ξu) ∈ W_{0}^{m,p}(G) und ∂G ∈ C^{m} ist, liefert die verallgemeinerten Ungleichung von Gårding (3.1.6) Konstanten M > 0 und N > 0, so dass

M||v_{h}^{i}||_{m,p,G} ≤ sup_{Φ∈S_{q}(G)} |B(v_{h}^{i}, Φ)| + N||v_{h}^{i}||_{0,p,G},  (3.10)

mit ||Φ||_{m,q,G} ≤ 1 ∀Φ ∈ S_{q}(G). Lemma (3.1.8) angewandt auf v_{h}^{i} = δ_{h}^{i}(ξu) ∈ W_{0}^{m,p}(G) liefert

||v_{h}^{i}||_{0,p,G} ≤ ||ξu||_{1,p,Ω_{R}} ≤ K_{1}||u||_{m,p,Ω_{R}}  (3.11)

mit der Konstanten K_{1} = K_{1}(ξ, R_{1}, R, m, n) > 0. Mit G ⊂ Ω_{R}, (3.9) und (3.11) folgt aus (3.10)

||v_{h}^{i}||_{m,p,G} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,Ω_{R}})  (3.12)

für 0 < h < \frac{1}{4}(R − R_{1}) und γ = γ(N, M, K, K_{1}) > 0. Nach Lemma (3.1.9) ist D^{e_{i}}(ξu) ∈ W^{m,p}(G). Die Abschätzung (3.12) bleibt erhalten, wenn v_{h}^{i} durch D^{e_{i}}(ξu) ersetzt wird. Nach Konstruktion ist ξ ≡ 1 auf Ω_{R_{1}}, somit ist D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(Ω_{R_{1}}). Damit folgt die Behauptung. □

Lemma 3.2.3 Sei u ∈ W^{m+1,p}(H_{R}), so dass

ξu ∈ W_{0}^{m,p}(H_{R}) ∀ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}),

mit 0 < R < ∞, 1 < p < ∞ und m ≥ 1. Dann ist

ξD^{e_{i}}u ∈ W_{0}^{m,p}(H_{R}) ∀ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}), i = 1, …, n − 1.

Beweis: Es sei H̃_{R} ⊂ IR^{n} so konstruiert, dass ∂H̃_{R} ∈ C^{k}, mit k ≥ 1 und supp ξ ∩ H_{R} ⊂ H̃_{R}. Der reflexive Banach-Raum W_{0}^{m,p}(H̃_{R}) ist somit schwach folgenkompakt. Der Beweis kann mit dieser Vorarbeit aus Agmon [3], Seite 118, Lemma 9.4 übernommen werden. □

Lemma 3.2.4 Es sei

1. m ≥ 1, k ≥ 1 ganze Zahlen mit k ≤ 2m und 1 < p, q < ∞ reelle Zahlen mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

2. 0 < R < ∞ und L := ∑_{|s|≤2m} a_{s}(·)D^{s} sei gleichmäßig elliptisch auf S_{R}

mit den Koeffizienten a_{s} ∈ C^{|s|+k−2m}(S_{R}) für |s| + k − 2m > 0, so dass D^{γ}a_{s} ∈ L^{∞}(S_{R}) für alle |γ| ≤ |s| + k − 2m, und a_{s} ∈ L^{∞}(S_{R}) für |s| + k − 2m ≤ 0,

3. u ∈ L^{p}(S_{R}) und es existiert eine Konstante C > 0, so dass für alle

Φ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R})

|(u, LΦ)_{0}| ≤ C||Φ||_{2m−k,q,S_{R}}.

Dann gilt für jedes R_{1} < R, u ∈ W^{k,p}(S_{R_{1}}) und es gibt eine Konstante γ = γ(m, n, k, p, L, R, R_{1}) > 0, so dass

||u||_{k,p,S_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{0,p,S_{R}}).  (3.13)

Beweis: Siehe [22], Seite 143, Theorem 9.5. □

Definition 3.2.5 Seien m ≥ k ≥ 1 ganze Zahlen. Weiter sei C_{0,k}^{m}(H_{R}) die Menge aller Funktionen φ ∈ C^{m}(\overline{H}_{R}) mit den Eigenschaften

1. es existiert eine reelle Zahl δ > 0 abhängig von φ, so dass φ(x) = 0 für R − δ ≤ |x| ≤ R, x_{n} ≥ 0 und

2. D^{α}φ(x) = 0 für |x| ≤ R, x_{n} = 0 und für alle α mit |α| ≤ k − 1.

Lemma 3.2.6 Angenommen 1. es seien m ≥ k ≥ 1 ganze Zahlen und 1 < p, q < ∞ reelle Zahlen mit

\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1,

2. es ist 0 < R < ∞ und u ∈ L^{p}(H_{R}) mit der schwachen Ableitung D^{ke_{i}}u ∈ L^{p}(H_{R}) ∀i = 1, …, n − 1 und

3. es existiert eine Konstante C > 0, so dass

|(u, D^{me_{n}}Φ)_{0}| ≤ C||Φ||_{m−k,q,H_{R}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(H_{R}).  (3.14)

Dann gibt es für jedes R_{1} < R, u ∈ W^{k,p}(H_{R_{1}}) und es gibt eine Konstante γ = γ(n, m, k, p, R, R_{1}) > 0, so dass

||u||_{k,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(C + ∑_{i=1}^{n−1} ||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}} + ||u||_{0,p,H_{R}}).

Beweis: Es sei ũ eine Erweiterung von u auf S_{R} mit

u ∈ C^{2m−1}(\overline{H}_{R}) ⟹ ũ ∈ C^{2m−1}(\overline{S}_{R}).

Für x = (x′, x_{n}) sei

ũ(x′, x_{n}) := \{ \begin{matrix}u(x′, x_{n}) & |x| < R, x_{n} ≥ 0 \\ ∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j}u(x′, −j^{−1}x_{n}) & |x| < R, x_{n} < 0, \end{matrix}  (3.15)

wobei λ_{j} ∈ IR Konstanten sind die der Gleichung

∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j}(−j)^{−s} = 1 s = −1, 0, 1, …, 2m − 1  (3.16)

genügen. Die Determinante dieses Systems von 2m + 1 Gleichungen ist eine Vandermond Determinante für die Einträge −j^{−1}, j = 1, …, 2m + 1. Damit ist das System (3.16) eindeutig lösbar mit (λ_{1}, …, λ_{2m+1}) ∈ IR^{2m+1}. Weiter ist ũ ∈ L^{p}(S_{R}) und ũ ist schwach differenzierbar mit D^{ke_{i}} ũ ∈ L^{p}(S_{R}) für i = 1, …, n − 1 und

(D^{ke_{i}} ũ)(x) = \{ \begin{matrix}D^{ke_{i}}u(x) & |x| < R, x_{n} ≥ 0 \\ ∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j}(D^{ke_{i}}u)(x′, −j^{−1}x_{n}) & |x| < R, x_{n} < 0. \end{matrix} (3.17)

Es gibt eine Konstante K = K(n, m) > 0, so dass

||D^{se_{i}} ũ||_{0,p,S_{R}} ≤ K||D^{se_{i}}u||_{0,p,H_{R}},  (3.18)

mit s = 0, s = k oder i = 1, …, n − 1. Sei Ψ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}) und für x ∈ \overline{H}_{R} sei

Ψ^{∗}(x) := Ψ(x′, x_{n}) − ∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j}(−j)^{1−2m}Ψ(x′, −jx_{n}).  (3.19)

Mit (3.16) folgt

D^{se_{n}}Ψ^{∗}(x)|_{x_{n}=0} = 0 für s = 0, …, 2m.  (3.20)

Es folgt Ψ^{∗} ∈ C_{0,2m}^{2m}(H_{R}) ⊂ C_{0,m}^{m}(H_{R}). Wir zeigen nun

(ũ, D^{2me_{n}}Ψ)_{0,S_{R}} = (u, D^{2me_{n}}Ψ^{∗})_{0,H_{R}}.  (3.21)

Mit (3.15) folgt

(ũ, D^{2me_{n}}Ψ)_{0,S_{R}} = ∫_{x_{n}>0} ũD^{2me_{n}}Ψdx + ∫_{x_{n}<0} ũD^{2me_{n}}Ψdx

= ∫_{x_{n}>0} uD^{2me_{n}}Ψdx

+ ∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j} ∫_{x_{n}<0} u(x′, −j^{−1}x_{n})D^{2me_{n}}Ψdx.

Wir substituieren y_{n} := −j^{−1}x_{n} und erhalten nach Umbenennung x_{n} := y_{n},

(ũ, D^{2me_{n}}Ψ)_{0,S_{R}} = ∫_{x_{n}>0} uD^{2me_{n}}Ψdx

− ∑_{j=1}^{2m+1} λ_{j}(−j)^{1−2m} ∫_{x_{n}>0}uD^{2me_{n}}Ψ(x′, −jx_{n})dx
= (u, D^{2me_{n}}Ψ^{∗})_{0,H_{R}},

damit ist Gleichung (3.21) gezeigt. Mit (3.14) und (3.21) folgt

|(ũ, D^{2me_{n}}Ψ)_{0,S_{R}}| = |(u, D^{2me_{n}}Ψ^{∗})_{0,H_{R}}|
≤ C||Ψ^{∗}||_{m−k,q,H_{R}}
≤ CK̃||Ψ||_{m−k,q,S_{R}} ∀Ψ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}), (3.22)

mit der Konstanten K̃. Für 1 ≤ i ≤ n − 1 folgt aus (3.18)

|(ũ, D^{2me_{i}}Ψ)_{0,S_{R}}| = |(D^{ke_{i}} ũ, D^{(2m−k)e_{i}}Ψ)_{0,S_{R}}|
≤ K||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}}||Ψ||_{2m−k,q,S_{R}}  (3.23)

für alle Ψ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}). Betrachte den Operator

A := (−1)^{m} ∑_{i=1}^{n} D^{2me_{i}},

so dass es für alle l ∈ IR^{n} eine Konstante E = E(n, m) > 0 gibt mit

(−1)^{m}A(l) = ∑_{i=1}^{n} |l_{i}|^{2m} ≥ E|l|^{2m}.

Aus (3.22) und (3.23) folgt zusammen mit m ≥ k ≥ 1

|(ũ, AΨ)_{0,S_{R}} | ≤ CK̃||Ψ||_{m−k,q,S_{R}} + ∑_{i=1}^{n−1} K||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}}||Ψ||_{2m−k,q,S_{R}}

≤ K(C_{1} + ∑_{i=1}^{n−1} ||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}}) ||Ψ||_{2m−k,q,S_{R}}  (3.24)

für alle Ψ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}). Mit Lemma (3.2.4) folgt ũ ∈ W^{k,p}(S_{R_{1}}) und

||ũ||_{k,p,S_{R_{1}}} ≤ γ(C̃ + ||ũ||_{0,p,S_{R}}).  (3.25)

Zusammen mit (3.24) und (3.18) folgt

||ũ||_{k,p,S_{R_{1}}} ≤ γ_{1}(K(C_{1} + ∑_{i=1}^{n−1} ||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}}) + ||ũ||_{0,p,S_{R}})

≤ γ_{1}K_{1}(C_{1} + ∑_{i=1}^{n−1} ||D^{ke_{i}}u||_{0,p,H_{R}} + ||u||_{0,p,H_{R}}). (3.26)

Es ist ũ|_{H_{R_{1}}} = u|_{H_{R_{1}}}. Aus ũ ∈ W^{k,p}(S_{R_{1}}) folgt u ∈ W^{k,p}(H_{R_{1}}). Die Abschätzung

||u||_{k,p,H_{R_{1}}} ≤ ||ũ||_{k,p,S_{R_{1}}}

zusammen mit (3.26) liefert die Behauptung. □

Lemma 3.2.7 Es sei Ω_{R} entweder S_{R} oder H_{R} und weiter

1. m ≥ 1,k ≥ 0 ganze Zahlen mit k ≤ m und 1 < p, q < ∞ reelle Zahlen mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

2. für ein 0 < R < ∞ sei B eine gleichmäßig elliptische, k mal stetig differenzierbare reguläre Dirichlet Bilinearform vom Grad m auf Ω_{R},

3. mit u ∈ W^{m,p}(Ω_{R}) sei ξu ∈ W_{0}^{m,p}(Ω_{R}) für jedes ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R}), 4. es gibt eine Konstante C > 0, so dass

|B(u, Φ)| ≤ C||Φ||_{m−k,q,Ω_{R}} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω_{R}).

Dann gilt für jedes R_{1} < R, u ∈ W^{m+k}(Ω_{R_{1}}) und es gibt eine Konstante γ = γ(m, n, p, k, a_{αβ}, E, R, R_{1}) > 0, so dass

||u||_{m+k,p,Ω_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,Ω_{R}}).  (3.27)

Beweis: Wir betrachten zuerst den Fall Ω_{R} = S_{R}. Œ sei a_{αβ}(·) = 0 für |β| + k − m ≤ 0. Sonst betrachte

| ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(a_{α,β}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0}| = |B(u, Φ) − ∑_{{|α|≤m \atop |β|≤m−k}}(a_{α,β}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0}|
≤ (C + C_{1}||u||_{m,p,Ω_{R}})||Φ||_{m−k,p,Ω_{R}}

mit C_{1} = C_{1}(n, m, k, ||a_{αβ}||_{L^{∞}}). Diese Bilinearform genügt somit den Voraussetzungen. Beweis durch vollständige Induktion nach k. Der Induktionsanfang mit k = 0 ist trivial. Sei nun 1 ≤ k ≤ m und das Lemma für k − 1 bewiesen. Wir zeigen nun den Induktionsschritt. Sei dazu 0 < R_{1} < R und R_{2} := \frac{1}{2}(R_{1} + R) und R_{3} := \frac{1}{2}(R_{2} + R). Es folgt

0 < R_{1} < R_{2} < R_{3} < R.

Mit Annahme (4) folgt die Abschätzung

|B(u, Φ)| ≤ C||Φ||_{m−k,q,S_{R}} ≤ C||Φ||_{m−(k−1),q,S_{R}}

und mit dem Induktionsanfang folgt u ∈ W^{m+k−1,p}(S_{R_{3}}). Ist k = 1, dann folgt mit Lemma (3.2.2)

||D^{e_{i}}u||_{m,p,S_{R_{1}}} ≤ γ̃(C̃ + ||u||_{m,p,S_{R}}),

daher folgt Ungleichung (3.27). Sei nun k > 1. Nach der Induktionsvoraussetzung ist

u ∈ W^{m+k−1,p}(S_{R_{3}}) ⊂ W^{m+1,p}(S_{R_{3}}).  (3.28)

Deshalb gilt für die partielle Ableitung nach den Einheitsvektoren e_{i}

D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(S_{R_{3}}) ∀i = 1, …, n  (3.29)

und weiter mit der Induktionsvoraussetzung

||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,S_{R}}).  (3.30)

Sei nun Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω_{R_{3}}). Nach Annahme (2) und mit a_{αβ} = 0 für |β|+k−m ≤ 0, folgt mit der partiellen Integration

B(D^{e_{i}}u, Φ) = ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(a_{αβ}D^{e_{i}}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}

= ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(D^{e_{i}}(a_{αβ}D^{α}u), D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}

− ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}

= − ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(a_{αβ}D^{α}u, D^{e_{i}}D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}

− ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}

= −B(u, D^{e_{i}}Φ)
− ∑_{{|α|≤m \atop m−k<|β|≤m}}(D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}} ∀i = 1, …, n. (3.31)

Betrachte nun die Terme (D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}} aus Gleichung (3.31). Die Bilinearform B ist nach Voraussetzung k mal stetig differenzierbar. Mit Definition (3.1.4) folgt a_{αβ} ∈ C_{∗}^{|β|+k−m}. Daher ist D^{e_{i}}a_{αβ} ∈ C_{∗}^{|β|+k−m−1} beschränkt für alle i = 1, …, n. Nach Induktionsvoraussetzung ist u ∈ W^{m+k−1,p}(S_{R_{3}}). Mit |α| ≤ m,|β| ≤ m folgt

|α| + |β| − m + k − 1 ≤ m + k − 1.

Wir können nun |β| − m + k − 1 mal partiell integrieren und transformieren somit |β|−m+k −1 Ableitungen von Φ auf die linke Seite von (·, ·)_{0,S_{R_{3}}}. Mit der Hölderschen Ungleichung für Integrale erhalten wir folgende Abschätzung

|(D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,S_{R_{3}}}| ≤ ∫_{S_{R_{3}}} |D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}uD^{β}Φ|dx
≤ K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} ||Φ||_{m−k+1,q,S_{R_{3}}} (3.32)

für alle Φ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R_{3}}), i = 1, …, n und der generischen Konstante K = K(a_{αβ}, n, m, k). Aus Gleichung (3.31) folgt mit (3.32) und Annahme (4)

|B(D^{e_{i}}u, Φ)| ≤ |B(u, D^{e_{i}}Φ)| + K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} ||Φ||_{m−k+1,q,S_{R_{3}}}
≤ C||Φ||_{m−k+1,q,S_{R_{3}}} + K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} ||Φ||_{m−k+1,q,S_{R_{3}}}
≤ (C + K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}}) ||Φ||_{m−k+1,q,S_{R_{3}}}  (3.33)

für alle Φ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R_{3}}) und i = 1, …, n. Mit (3.33) ist Annahme (4) für (3.29) erfüllt. Für dieses D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(S_{R_{3}}) ∀i = 1, …, n gilt nun auch die Induktionsvoraussetzung, daher ist

D^{e_{i}}u ∈ W^{m+k−1,p}(S_{R_{2}}) ∀i = 1, …, n

und somit

u ∈ W^{m+k}(S_{R_{2}}).

Um die Abschätzung (3.27) zu zeigen, kombinieren wir die Induktionsvoraussetzung für D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(S_{R_{3}}) ∀i = 1, …, n mit der Abschätzung (3.33)

||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,S_{R_{2}}} ≤ γ(C + K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} + ||D^{e_{i}}u||_{m,p,S_{R_{3}}})
≤ γ(C + K||u||_{m+k−1,p,S_{R_{3}}} + ||u||_{m+1,p,S_{R_{3}}})
≤ γ(C + ||u||_{m,p,S_{R}}) ∀i = 1, …, n.

Mit R_{1} < R_{2} < R folgt die erste Behauptung

||u||_{m+k,p,S_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,S_{R}}).

Sei nun Ω_{R} = H_{R}. Wir können wieder Œ a_{αβ}(·) = 0 für |β| + k − m ≤ 0 annehmen. Der Induktionsanfang für k = 0 ist trivial. Sei nun 1 ≤ k ≤ m und das Lemma für k − 1 bewiesen. Der Induktionsschritt verläuft ähnlich wie im ersten Teil des Beweises. Sei k = 1, mit Lemma (3.2.2) folgt D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(H_{R_{2}}) = W^{m+k−1,p}(H_{R_{2}}). Ist k > 1, dann folgt mit der Induktionsvoraussetzung u ∈ W^{m+1,p}(H_{R_{3}}). Mit Lemma (3.2.3) und Annahme (3) folgt

ξD^{e_{i}}u ∈ W_{0}^{m,p}(H_{R_{3}}) ∀i = 1, …, n − 1 ∀ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R_{3}}).

Damit erfüllt D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(H_{R_{3}}) auch die Annahme (3) für alle ξ ∈ C_{0}^{∞}(S_{R_{3}}). Daher gilt die Abschätzung (3.33) auch für Φ ∈ C_{0}^{∞}(H_{R_{3}}) ,D^{e_{i}}u ∈ W^{m,p}(H_{R_{3}}) mit i = 1, …, n−1. Die Induktionsvoraussetzung liefert D^{e_{i}}u ∈ W^{m+k−1,p}(H_{R_{2}}) für i = 1, …, n−1. Wie im Fall Ω_{R} = S_{R}, liefert die Induktionsvoraussetzung die generische Konstante γ und die Abschätzung

||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,H_{R_{2}}} ≤ γ(C + ||u||_{m+k−1,p,H_{R_{3}}})  (3.34)
≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}) ∀i = 1, …, n − 1. (3.35)

Mit R_{1} < R_{2} gibt es Konstanten, so dass

||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}) ∀i = 1, …, n − 1. (3.36)

Es bleibt noch D^{e_{n}}u ∈ W^{m+k−1,p}(H_{R_{1}}) zu zeigen. Mit Annahme (2) und a_{αβ}(·) = 0 für |β| + k − m ≤ 0 folgt

B(u, Φ) = ∑_{|α|≤m}(a_{αme_{n}}D^{α}u, D^{me_{n}}Φ)_{0,H_{R_{2}}}
+ ∑_{|α|≤m ; {m−k<|β|≤m \atop β≠men}} (a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(H_{R_{2}}). (3.37)

Da |β| > 0 ist, gibt es ein i = i(β) mit 1 ≤ i ≤ n, so dass β_{i} ≠ 0 und D^{β}Φ = D^{e_{i}}D^{β−e_{i}}Φ. Nach Induktionsvoraussetzung ist u ∈ W^{m+1,p}(H_{R_{2}}). Mit der partiellen Integration erhalten wie für jeden Term der zweiten Summe aus Gleichung (3.37)

(a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}} = −(D^{e_{i}}(a_{αβ}D^{α}u), D^{β−e_{i}}Φ)_{0,H_{R_{2}}}
= −(D^{e_{i}}a_{αβ}D^{α}u, D^{β−e_{i}}Φ)_{0,H_{R_{2}}}
−(a_{αβ}D^{α}D^{e_{i}}u, D^{β−e_{i}}Φ)_{0,H_{R_{2}}}.  (3.38)

Wie im ersten Teil des Beweises können wir |β| − m + k − 1 mal partiell integrieren und transformieren somit |β|−m+k −1 Ableitungen von D^{β−e_{i}}Φ auf die linke Seite von (·, ·)_{0,H_{R_{2}}}. Für den Fall |β| ≤ m − 1 ist dies möglich, denn es ist

|α + e_{i}| + |β| − m + k − 1 ≤ m + k − 1

und nach Induktionsvoraussetzung ist u ∈ W^{m+k−1}(H_{R_{2}}). Die Bilinearform B ist nach Voraussetzung k mal stetig differenzierbar. Mit (3.38) folgt die Abschätzung

|(a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}}| ≤ K||u||_{m+k−1,p,H_{R_{2}}}||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}},  (3.39)

mit der generischen Konstanten K = K(a_{αβ}, n, m, k) > 0. Für den Fall |β| = m ≥ 1 folgt aus β ≠ me_{n} dann i(β) ≠ n. Aus Gleichung (3.38) folgt somit

|(a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}}| ≤ K(||u||_{m+k−1,p,H_{R_{2}}}||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}}
+||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,H_{R_{2}}}||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}}). (3.40)

Mit den Abschätzungen (3.34), (3.39) und (3.40) folgt

| ∑_{|α|≤m ; {m−k<|β|≤m \atop β≠men}} (a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}} | ≤ γ(C + ||u||_{m+k−1,p,H_{R_{3}}})||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}}. (3.41)

Mit Gleichung (3.37) folgt

| ∑_{|α|≤m}(a_{α,me_{n}}D^{α}u, D^{me_{n}}Φ)_{0,H_{R_{2}}} |

≤ | ∑_{|α|≤m ; {m−k<|β|≤m \atop β≠men}} (a_{αβ}D^{α}u, D^{β}Φ)_{0,H_{R_{2}}} | + |B(u, Φ)|.  (3.42)

Daher folgt mit Abschätzung (3.41) und Annahme (4)

| ∑_{|α|≤m} (a_{α,me_{n}}D^{α}u, D^{me_{n}}Φ)_{0,H_{R_{2}}} |
≤ γ(C + ||u||_{m+k−1,p,H_{R_{3}}})||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}} + C||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}}
≤ γ(C + ||u||_{m+k−1,p,H_{R_{3}}})||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}}  (3.43)

für alle Φ ∈ C_{0}^{∞}(H_{R_{2}}). Sei nun

v := ∑_{|α|≤m} a_{α,me_{n}}D^{α}u.  (3.44)

Somit ist v ∈ L^{p}(H_{R_{2}}). Mit der Induktionsvoraussetzung folgt

||u||_{m+k−1,p,H_{R_{3}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}).  (3.45)

Abschätzung (3.43) und (3.44) zusammen mit (3.45) ergibt

|(v, D^{me_{n}}Φ)_{0,H_{R_{2}}}| ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}})||Φ||_{m−k,q,H_{R_{2}}} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(H_{R_{2}}). (3.46)

Für i = 1, …, n − 1 gilt

D^{e_{i}}u ∈ W^{m+k−1,p}(H_{R_{2}}) ⇒ D^{ke_{i}}v ∈ L^{p}(H_{R_{2}}).

Die Voraussetzungen für das Lemma (3.2.6) sind für das Gebiet H_{R_{2}} und für die Funktion v aus (3.44) erfüllt. Somit ist v ∈ W^{k,p}(H_{R_{1}}); mit Lemma (3.2.6) und Abschätzung (3.46) folgt

||v||_{k,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}})
+ ∑_{i=1}^{n−1} ||D^{ke_{i}}v||_{0,p,H_{R_{2}}} + ||v||_{0,p,H_{R_{2}}})  (3.47)

für i = 1, …, n − 1. Mit (3.44) und (3.35) folgt

||D^{ke_{i}}v||_{0,p,H_{R_{2}}} ≤ || ∑_{|α|≤m} D^{ke_{i}}(a_{α,me_{n}}D^{α}u)||_{0,p,H_{R_{2}}}
≤ K||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,H_{R_{2}}}
≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}) ∀i = 1, …, n − 1, (3.48)

und weiter

||v||_{0,p,H_{R_{2}}} ≤ || ∑_{|α|≤m} a_{α,me_{n}}D^{α}u||_{0,p,H_{R_{2}}}
≤ K||u||_{m,p,H_{R}}  (3.49)

Abschätzung (3.47) zusammen mit (3.48) und (3.49) ergibt

||v||_{k,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}).  (3.50)

Die Bilinearform B ist gleichmäßig elliptisch. Nach Definition existiert somit eine Konstante E > 0, so dass

| ∑_{|s|=2m} a_{s}(x)l^{s}| ≥ E|l|^{2m}

für alle x ∈ H_{R} und l ∈ IR^{n}. Mit l = (0, …, 0, 1) folgt

|a_{me_{n},me_{n}}(x)| ≥ E > 0 ∀x ∈ H_{R}.

Mit der Definition von v folgt somit

D^{me_{n}}u = (a_{me_{n},me_{n}})^{−1}(v − ∑_{{|α|≤m \atop α≠men}} a_{α,me_{n}}D^{α}u)  (3.51)

Mit α ≠ me_{n} gibt es ein i ∈ {1, …, n − 1}, so dass D^{α}u = D^{α−e_{i}}D^{e_{i}}u. Aus (3.35) folgt D^{α−e_{i}}D^{e_{i}}u ∈ W^{k,p}(H_{R_{1}}) ∀i = 1, …, n − 1. Zusammen mit (3.50) ist die rechte Seite von (3.51) ein Element aus dem Raum W^{k,p}(H_{R_{1}}). Daher folgt mit (3.35) und (3.50) aus (3.51)

||D^{me_{n}}u||_{k,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}).

Zusammen mit (3.36) folgt

||D^{e_{i}}u||_{m+k−1,p,H_{R_{1}}} ≤ γ(C + ||u||_{m,p,H_{R}}) ∀i = 1, …, n.

Damit folgt die Behauptung. □

Satz 3.2.8 Es seien

1. m ≥ 1 und k ≥ 0 ganze Zahlen und 1 < p, q < ∞ reelle Zahlen mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

2. Ω ⊂ IR^{n} eine beschränkte offene Menge mit ∂Ω ∈ C^{2m+k},

3. f ∈ W^{k,p}(Ω),

4. L = ∑_{|s|≤2m} a_{s}(.)D^{s} gleichmäßig elliptisch auf Ω mit den Koeffizienten

a_{s} ∈ C_{∗}^{k}(Ω) für |s| ≤ m und a_{s} ∈ C_{∗}^{|s|+k}(Ω) für |s| > m,

5. u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) und B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), B_{L} sei wie im Lemma (3.1.5) definiert.

Dann ist u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω) und Lu = f. Desweitern existiert eine Konstante γ = γ(n, m, k, p, Ω, L) > 0, so dass

||u||_{2m+k,p,Ω} ≤ γ(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{0,p,Ω}).  (3.52)

Beweis: Mit Lemma (3.1.5) folgt sofort die Behauptung Lu = f. Für jedes x_{0} ∈ ∂Ω existiert eine offene Umgebung U(x_{0}) und eine 2m + k mal stetig differenzierbare Abbildung

T : U(x_{0}) ∩ \overline{Ω} → \overline{H}_{R}

mit \overline{H}_{R} := \overline{\{x ∈ IR^{n} : |x| < R, x_{n} > 0\}} für ein R > 0. Die Bilinearform B_{L} ist mit Lemma (3.1.5) (m + k) mal stetig differenzierbar. Sie wird durch T ebenfalls in eine gleichmäßige elliptische Bilinearform transformiert.Dabei bleibt sie (m + k) mal stetig differenzierbar. Alle Voraussetzungen aus Satz (3.2.8) bleiben erhalten. Mit Lemma (3.2.7) ist die transformierte Funktion u ∈ W^{2m+k,p}(H_{R/2}). Sei U^{∗}(x_{0}) := \overline{Ω} ∩ T^{−1}(S_{R/2}). Mit Lemma (3.2.7) folgt

||u||_{2m+k,p,U^{∗}(x_{0})} ≤ γ(x_{0})(||f||_{k,p,U(x_{0})} + ||u||_{m,p,U(x_{0})})
≤ γ(x_{0})(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω}).  (3.53)

Da ∂Ω kompakt ist, gibt es x_{j} ∈ ∂Ω, j = 1, … N mit ∂Ω ⊂ ⋃_{i=1}^{N} U^{∗}(x_{i}). Somit ist auch

\overline{Ω} \ ⋃_{i=1}^{N} U^{∗}(x_{i})  (3.54)

kompakt und in Ω enthalten. Daher gibt es eine endliche Zahl offener Kugeln K_{j}, j = 1, …, M welche die Menge (3.54) überdecken. Jede Kugel K_{j} hat die Eigenschaft, dass eine Kugel Q_{j} mit demselben Mittelpunkt und doppeltem Radius von K_{j} in Ω enthalten ist. Es ist u ∈ W^{m,p}(Q_{j}) für alle j = 1, …, M. Wie bei der Herleitung der Abschätzung (3.53) gibt es für jedes Q_{j} eine stetig differenzierbare Abbildung

T_{j} : Q_{j} → S_{R}.

Wie im ersten Teil des Beweises folgt mit Lemma (3.2.7) für die transformierte Funktion u ∈ W^{2m+k,p}(S_{R/2}). Sei U^{∗}(K_{j}) := \overline{Ω} ∩ T^{−1}(S_{R/2}). Mit Lemma (3.2.7) folgt

||u||_{2m+k,p,U^{∗}(K_{j})} ≤ γ(K_{j})(||f||_{k,p,Q_{j}} + ||u||_{m,p,Q_{j}})
≤ γ(K_{j})(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω}) ∀j = 1, …, M. (3.55)

Mit (3.53) und (3.55) folgt die Abschätzung

||u||_{2m+k,p,Ω} ≤ ∑_{i=1}^{N} ||u||_{2m+k,p,U^{∗}(x_{i})} + ∑_{j=1}^{M} ||u||_{2m+k,p,U^{∗}(K_{j})}

≤ ∑_{i=1}^{N} γ(x_{i})(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω})

+ ∑_{j=1}^{M} γ(K_{j})(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω})
≤ N max_{i}{γ(x_{i})} (||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω})
+ M max_{j}{γ(K_{j})} (||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω}).

Daher folgt mit β := (N + M) max_{i,j}{γ(x_{i}), γ(K_{j})}

||u||_{2m+k,p,Ω} ≤ β (||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{m,p,Ω}).  (3.56)

Mit B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) und Gårdings verallgemeinerten Ungleichung, Satz (3.1.6) folgt

c_{1}||u||_{m,p,Ω} ≤ ||f||_{k,p,Ω} + c_{2}||u||_{0,p,Ω}.  (3.57)

Mit (3.56) und (3.57) folgt

||u||_{2m+k,p,Ω} ≤ β(||f||_{k,p,Ω} + c_{3}||f||_{k,p,Ω} + c_{4}||u||_{0,p,Ω})
≤ γ(||f||_{k,p,Ω} + ||u||_{0,p,Ω}).

Das war zu zeigen. □

Lemma 3.2.9 Sei

1. m ≥ 1 eine ganze Zahl und 1 < p, q < ∞ reelle Zahlen mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

2. Ω ⊂ IR^{n} (n ≥ 2) beschränkt und offen mit ∂Ω ∈ C^{m},

3. B eine gleichmäßige elliptische reguläre Dirichlet Bilinearform der Ordnung m auf Ω.

Definieren wir

N(T_{p}) := {u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) : B(u, Φ) = 0 ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)} (3.58)
N(T_{q}) := {v ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) : B(Ψ, v) = 0 ∀Ψ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)}, (3.59)

so ist dimN(T_{p}) = dim(T_{q}) < ∞ und für alle F ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)′ hat die Gleichung

B(f, Φ) = F (Φ) ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)  (3.60)

eine Lösung f ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) genau dann, wenn F (v) = 0 ∀v ∈ N(T_{q}). Ist H ∈ W_{0}^{m,p}(Ω)′, so existiert eine Lösung h ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) für die Gleichung

B(Ψ, h) = \overline{H(Ψ)} ∀Ψ ∈ W_{0}^{m,p}(Ω)  (3.61)

genau dann, wenn H(u) = 0 ∀u ∈ N(T_{p}). Für den Fall dimN(T_{p}) = dimN(T_{q}) = 0 sind die Gleichungen (3.60) und (3.61) eindeutig lösbar für beliebige F ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)′ bzw. H ∈ W_{0}^{m,p}(Ω)′. Es gilt weiter

u ∈ N(T_{p}) ⇒ u ∈ N(T_{p′}) ∀ 1 < p′ < ∞,
v ∈ N(T_{q}) ⇒ v ∈ N(T_{q′}) ∀ 1 < q′ < ∞.

Dabei sind N(T_{p′}), N(T_{q′}) analog wie (3.58) und (3.59) definiert.

Beweis: Der Beweis beinhaltet Fredholm’s Alternative und soll hier nicht bewiesen werden. Der komplette Beweis findet sich bei Simader [22], Seite 181, Theorem 10.7. □

Lemma 3.2.10 Sei Ω ⊂ IR^{n} offen und beschränkt, 1 ≤ p < ∞,

q = \{ \begin{matrix}∞ & für p = 1 \\ p/(p − 1) & für 1 < p < ∞ \\ 1 & für p = ∞, \end{matrix}

N := N(n, m) := ∑_{|α|≤m} 1 und L_{N}^{q} := ∏_{j=1}^{N} L^{q}(Ω). Für alle L ∈ W^{m,p}(Ω)′

existiert ein Element v := (v_{α})_{0≤|α|≤m} ∈ L_{N}^{q} ,so dass

L(u) = ∑_{0≤|α|≤m} ∫_{Ω} D^{α}u v_{α}dx ∀u ∈ W^{m,p}(Ω)  (3.62)

und

||L; (W^{m,p}(Ω)′|| = inf ||v; L_{N}^{q}|| = min ||v; L_{N}^{q}||.  (3.63)

Dabei wird das Infinimum über die Menge aller v ∈ L_{N}^{q} genommen, die der Gleichung (3.62) genügen. Das Infinimum liegt in dieser Menge. Ist 1 < p < ∞, so ist v ∈ L_{N}^{q} sogar eindeutig bestimmt.

Beweis: Adams [2], Seite 48 Theorem 3.8, mit der anschließenden Bemerkung folgt die Eindeutigkeit. □

Satz 3.2.11 Es seien

1. m ≥ 1, k ≥ 0 ganze Zahlen,

2. Ω ⊂ IR^{n} beschränkt und offen mit ∂Ω ∈ C^{2m+k},

3.

L = ∑_{|s|≤2m} a_{s}(·)D^{s}

ein gleichmäßiger elliptischer Differentialoperator auf Ω mit den Koeffizienten a_{s} ∈ C_{∗}^{|s|+k}(Ω).

Sei L^{∗} der adjungierter Operator (oder duale Operator) zu L. Für jedes p und q mit 1 < p, q < ∞ und \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 gilt:

1. Wenn

N(L) := {s ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω) : L s = 0}
N(L^{∗}) := {t ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) ∩ W^{2m+k,q}(Ω) : L^{∗} t = 0},

dann ist dim N(L) = dim N(L^{∗}) < ∞. Und weiter, mit s ∈ N(L) folgt s ∈ W_{0}^{m,p′}(Ω) ∩ W^{2m+k,p′}(Ω) für jedes 1 < p′ < ∞. Das gleiche gilt auch für N(L^{∗}).

2. Für f ∈ W^{k,p}(Ω) hat die Gleichung Lu = f eine Lösung u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω)∩ W^{2m+k,p}(Ω) genau dann, wenn

(f, t)_{0} = ∫_{Ω} ft dx = 0 ∀t ∈ N(L^{∗}).

Für ein g ∈ W^{k,q}(Ω) hat die Gleichung L^{∗}v = g eine Lösung v ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) ∩ W^{2m+k,q}(Ω) genau dann ,wenn

(g, s)_{0} = ∫_{Ω} gs dx = 0 ∀s ∈ N(L).

Für den Fall

dim N(L) = dim N(L^{∗}) = 0

sind die Gleichungen eindeutig lösbar für beliebige f ∈ W^{k,p}(Ω) und g ∈ W^{k,q}(Ω).

3. Es gibt eine Konstante γ = γ(n, m, p, k, L, Ω) > 0, so dass die Lösungen folgenden Abschätzungen genügen.

||u||_{2m+k,p} ≤ γ(||Lu||_{k,p} + ||u||_{0,p}) ∀u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω)
||v||_{2m+k,q} ≤ γ(||L^{∗}v||_{k,q} + ||v||_{0,q}) ∀v ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) ∩ W^{2m+k,q}(Ω).

Beweis: Es seien B_{L} und B_{L^{∗}} nach Lemma (3.1.5) konstruiert, bezüglich L,L^{∗}. Dann gilt für jedes u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω)

B_{L}(u, Φ) = (Lu, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).  (3.64)

Denn der Raum C_{0}^{∞}(Ω) liegt dicht in W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω). Mit Lu = f, wobei u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω)∩W^{2m+k,p}(Ω) und f ∈ W^{k,p}(Ω), folgt dann mit Gleichung (3.64) und Lemma (3.1.5)

B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).  (3.65)

Ist die Gleichung (3.65) für u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) und f ∈ W^{k,p}(Ω) erfüllt, so ist nach Lemma (3.2.8) schon u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω) und Lu = f. Mit diesen Voraussetzungen folgt die Äquivalenz: u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) genügt B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) mit f ∈ W^{k,p}(Ω) ⟺ u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω).

Dies gilt auch für die Bilinearform B_{L^{∗}}, denn es ist B_{L^{∗}}(u, Φ) = \overline{B_{L}(Φ, u)}. Mit der Notation aus Lemma (3.2.9) folgt

N(L) = N(T_{p}) und N(L^{∗}) = N(T_{q}).  (3.66)

Mit Lemma (3.2.9) folgt die erste Aussage. Statt Lu = f mit u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω) und f ∈ W^{k,p}(Ω) betrachten wir die Variationsformelierung (3.65) mit u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω). Der Raum C_{0}^{∞}(Ω) liegt dicht in W_{0}^{m,q}(Ω). Mit den Abschätzungen

|(f, Φ)_{0}| ≤ ||f||_{k,p}||Φ||_{m,q}  ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)
|B_{L}(u, Φ)| ≤ K||u||_{m,p}||Φ||_{m,q} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω),

folgt die Stetigkeit. Mit u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) folgt

B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω)
⟺ B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)  (3.67)

Es sei nun

F (Φ) := (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)  (3.68)

mit F ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)′. Wegen

|F (Φ_{j}) − F (Φ_{l})| ≤ ||f||_{k,p}||Φ_{j} − Φ_{l}||_{m,q} ∀Φ_{j}, Φ_{l} ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)

ist F stetig. Ist andererseits F ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)′, Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) ⊂ W^{m,q}(Ω) mit 1 < q < ∞, dann gibt es mit Lemma (3.2.10) genau ein Element v ∈ L_{N}^{p}, so dass

F (Φ) = ∑_{0≤|α|≤m}(v_{α}, D^{α}Φ)_{0} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω).

Damit gibt es für F (Φ) genau die Darstellung (3.68). Dies zusammen mit (3.67) ergibt

B_{L}(u, Φ) = (f, Φ)_{0} ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)
⟺ B_{L}(u, Φ) = F (Φ) ∀Φ ∈ W_{0}^{m,q}(Ω).  (3.69)

Damit ist Lemma (3.2.9) anwendbar. Es folgt, dass für alle F ∈ W_{0}^{m,q}(Ω)′ die Gleichung (3.69) eine Lösung u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) hat genau dann, wenn F (v) = 0 ∀v ∈ N(T_{q}). Mit (3.66) und der Darstellung (3.68) folgt

F (v) = 0 ∀v ∈ N(T_{q}) ⟺ (f, v)_{0} = 0 ∀v ∈ N(L^{∗}).

Somit hat (3.69) eine Lösung genau dann, wenn (f, v)_{0} = 0 ∀v ∈ N(L^{∗}). Zusammen mit (3.67) und (3.64) folgt Aussage 2 für den Operator L. Die Eindeutigkeit der Lösung folgt mit Lemma (3.2.9). Für den Operator L^{∗} verläuft der Beweis analog. Damit ist Aussage 2 gezeigt. Es gilt (3.64) für u ∈ W_{0}^{m,p}(Ω) ∩ W^{2m+k,p}(Ω). Typischerweise gilt für v ∈ W_{0}^{m,q}(Ω) ∩ W^{2m+k,q}(Ω)

B_{L}^{∗}(v, Φ) = (L^{∗}v, Φ)_{0} ∀Φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Mit

Lu = f ∈ W^{k,p}(Ω)
L^{∗}v = g ∈ W^{k,q}(Ω)

und Lemma (3.2.8) folgen die Abschätzungen für Aussage 3 und damit ist der Satz bewiesen. □ Wir zeigen nun, dass der Laplace-Operator

Δ : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})

ein surjektiver Homöomorphismus ist. Dabei wenden wir Lemma (3.2.11) komponentenweise an.

Satz 3.2.12 Sei Ω ⊂ IR^{n} offen und beschränkt mit ∂Ω ∈ C^{m+2}, m ≥ 0 und p > n. Dann ist der Laplace-Operator mit

Δ : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})

ein surjektiver Homöomorphismus.

Beweis: Um Lemma (3.2.11) anzuwenden zeigen wir, dass das Problem

−Δu = 0 auf Ω  (3.70)
u = 0 auf ∂Ω

mit u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) und 0 ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) genau eine Lösung hat. Für den Nullraum folgt dann

dim N(Δ) = dim N(Δ^{∗}) = 0.  (3.71)

Erfüllt Ω die Kegeleigenschaft, so gilt für die Sobolev-Räume (keine stetige Einbettung)

W^{m,p}(Ω) ⊆ W^{j,p}(Ω) j ≤ m, 1 ≤ p ≤ ∞
W^{m,p}(Ω) ⊆ W^{m,k}(Ω) 0 ≤ m, 1 ≤ k ≤ p ≤ ∞.

Es folgt

u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ⇒ u ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{1,2}(Ω, IR^{n})
f ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) ⇒ f ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Es ist W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) = W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{1,2}(Ω, IR^{n}) ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt

A : B := spurA^{T} B = ∑_{i,j=1,···,n} A_{ij}B_{ij}.

Die zugehörige Bilinearform für das Dirichlet Problem (3.70) und den Hilbert Raum W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) ist

a(u, v) := ∫_{Ω} ∇u : ∇v dx ∀u, v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Wir erhalten unter Ausnutzung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für konvergente Reihen und bestimmte Integrale

|a(u, v)| = | ∫_{Ω} ∇u : ∇v dx| = | ∫_{Ω} ∑_{i,j=1}^{n}(∇u)_{ij}(∇v)_{ij}dx|

≤ | ∫_{Ω} ( ∑_{i,j=1}^{n}[(∇u)_{ij}]^{2}dx)^{1/2}( ∑_{i,j=1}^{n}[(∇v)_{ij}]^{2}dx)^{1/2}|

≤ ( ∫_{Ω} ∑_{i,j=1}^{n}[(∇u)_{ij}]^{2}dx)^{1/2}( ∫_{Ω} ∑_{i,j=1}^{n}[(∇v)_{ij}]^{2}dx)^{1/2}
≤ |u|_{1,2} |v|_{1,2} ∀u, v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Die Bilinearform a(u, v) ist somit stetig für alle u, v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}). Ist Ω beschränkt, so sind nach Poincaré die Normen | · |_{1} und || · ||_{1} in W_{0}^{1,2}(Ω) äquivalent. Somit existiert eine Konstante c > 0 mit

∫_{Ω} ∇u : ∇u dx = ∫_{Ω} ∑_{i,j=1}^{n}(∇u)_{ij}^{2}dx = |u|_{1}^{2} ≥ c||u||_{1}^{2}.

Damit ist die stetige Bilinearform elliptisch. Nach Lax-Milgram existiert genau eine Lösung u = 0 ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) für das Problem (3.70). Damit ist auch u = 0 ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) die eindeutige Lösung für das Problem (3.70). Für den Nullraum folgt somit Gleichung (3.71). Der Laplace-Operator ist gleichmäßig elliptisch. Der Rest der Aussage folgt dann mit Lemma (3.2.11). □

Linearisierung und Existenzsatz

Es ist ein Denkgesetz, dass jede Funktion im Unendlichkleinen linear wird.

Unbekannter Physiker 1915

Ziel dieses Kapitels ist es, einen lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für das Problem

div T (x, ∇φ(x)) + f = 0 auf Ω  (4.1)
φ|_{∂Ω} = l_{∂Ω}  (4.2)

herzuleiten. Im Mittelpunkt steht der Operator

u ↦ div T (x, ∇(id + u)).  (4.3)

Hier ist T (x, ∇φ(x)), kurz T (∇φ) die Antwortfunktion zum ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor für elastische Materialien. Das Kapitel zeigt, dass das Differential des Operators bei Starrkörperbewegungen ein Homöomorphismus von W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) auf den Raum W^{m,p}(Ω, IR^{n}) ist. Der Satz über die Umkehrabbildung liefert dann lokale Existenz und Eindeutigkeit für die Lösung des Dirichlet Problems (4.1). Grundlagen für dieses Kapitel sind die Quellen [5], [9], [18], [21], [23] und [25].

4.1 Grundlagen aus der Funktionalanalysis

Im Verlauf dieses Kapitels benötigen wir einige Definitionen, Sätze und Lemmata, die als Grundkenntnisse der Funktionalanalysis gelten. Zur besseren Übersicht und zwecks einfacherer Verweise erfolgt an dieser Stelle eine kurze Zusammenfassung dieser Aussagen.

Satz 4.1.1 (Satz vom inversen Operator) Es seien X, Y Banach-Räume, T : X → Y eine bijektive stetige lineare Abbildung. Dann ist T^{−1} stetig, also ein Homöomorphismus.

Lemma 4.1.2 Sei HL(X, Y) die Menge aller linearen Homöomorphismen zwischen den Banach-Räumen X und Y. Dann ist HL(X, Y) ⊂ L(X, Y) offen.

Beweis: Mit Y als Banach-Raum folgt, dass auch L(X, Y) ein Banach Raum ist. Für ein Ψ ∈ L(X, Y) definieren wir die Supremumsnorm

||Ψ|| := sup_{x≠0} \frac{||Ψ(x)||}{||x||}.  (4.4)

Sei T_{0} ∈ HL(X, Y). Die Abbildung U ↦ T_{0}^{−1}U von L(X, Y) nach L(X, X) ist stetig und HL(X, Y) ist das Urbild der Menge HL(X, X). Daher können wir Œ X = Y annehmen. Sei T ∈ HL(X, X), U ∈ L(X, X) mit ||T − U|| < ϵ und ||T^{−1}(T − U)|| < 1. Wir zeigen, U ∈ HL(X, X). Es ist

U = T (I − T^{−1}(T − U)).

Mit der von Neumann-Reihe folgt

(I − T^{−1}(T − U))^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} (T^{−1}(T − U))^{n} ∈ L(X, X).

Daher ist U invertierbar und es gilt

U^{−1} = (I − T^{−1}(T − U))^{−1}T^{−1}

ist stetig und linear. U^{−1} ist stetig genau dann, wenn das Urbild offener Mengen offen ist. U ist damit eine offene Abbildung. Da B_{δ} ⊂ U(B_{1}(0)) für ein δ > 0, ist B_{r}(0) ⊂ U(B_{r/δ}(0)) für alle r > 0. Also ist U surjektiv. Damit ist U ein linearer Homöomorphismus. □

Satz 4.1.3 Seien (X, ||·||_{X}), (Y, ||·||_{Y}) reflexive reelle Banach-Räume und b eine stetige Bilinearform auf X ×Y. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Es gibt eine Konstante c > 0 mit

sup_{0≠x∈X} \frac{|b(x, y)|}{||x||_{X}} ≥ c||y||_{Y} ∀y ∈ Y,

und

sup_{0≠y∈Y} \frac{|b(x, y)|}{||y||_{Y}} ≥ c||x||_{X} ∀x ∈ X.

2. Für jedes y′ ∈ Y′ existiert ein eindeutiges x ∈ X, so dass

y′(y) = b(x, y) ∀y ∈ Y.

3. Für jedes x′ ∈ X′ existiert ein eindeutiges y ∈ Y, so dass

x′(x) = b(x, y) ∀x ∈ X.

Beweis: Siehe Valent [25], Seite 57 Theorem 2.3 □

Lemma 4.1.4 Es seien X, Y normierte Räume und T : X → Y eine beschränkte, lineare Abbildung. Dann ist T stetig bezüglich der schwachen Topologien von X und Y.

Beweis: Hirzebruch [19], Seite 62. □

Satz 4.1.5 (Satz über die Umkehrabbildung) Es seien X, Y Banach-Räume, U ⊂ X eine offene Teilmenge und x_{0} ∈ U. Ist f : U → Y, eine C^{k}-Abbildung (k ≥ 1) und das Differential bei x_{0} eine Bijektion von X auf Y. Dann existiert eine offene Umgebung U_{0} von x_{0} in X mit U_{0} ⊂ U und eine offene Umgebung V_{0} von f(x_{0}) in Y, so dass f einen C^{k}-Diffeomorphismus von U_{0} auf V_{0} induziert. Ist f bei x_{0} analytisch, so ist auch die Inverse von f bei f(x_{0}) analytisch.

Satz 4.1.6 Sei Ω ⊂ IR^{n} offen und erfülle die Kegeleigenschaft. Ist mp > n, dann existiert eine Konstante K^{∗} abhängig von m, p, n und von den endlichem Kegel aus der Kegeleigenschaft, so dass für alle u, v ∈ W^{m,p}(Ω) das fast überall punktweise auf Ω definierte Produkt uv zu W^{m,p}(Ω) gehört. Es gilt

||uv||_{m,p,Ω} ≤ K^{∗}||u||_{m,p,Ω}||v||_{m,p,Ω}.

Damit ist W^{m,p}(Ω) eine kommutative Banach-Algebra bezüglich der punktweisen Multiplikation und der äquivalenten Norm

||u||_{m,p,Ω}^{∗} = K^{∗}||u||_{m,p,Ω}.

Beweis: Adams [2], Seite 115 □

Lemma 4.1.7 Erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft und seien m, k ≥ 0 ganze Zahlen. Ist (m + k)p > n, u ∈ W^{m,p}(Ω), v ∈ W^{m+k,p}(Ω), dann ist uv ∈ W^{m,p}(Ω) und es gibt eine Zahl c > 0 unabhängig von u und v, mit

||uv||_{m,p} ≤ c||u||_{m,p}||v||_{m+k,p}.

Beweis: Siehe Valent [25], Seite 27. □

Definition 4.1.8 Es sei N ≥ 1 eine ganze Zahl und (x, y) ↦ f(x, y) eine reellwertige Funktion definiert auf Ω × IR^{n}. Für jede Funktion σ : Ω → IR^{N} sei F (σ) : Ω → IR definiert durch

F (σ)(x) := f(x, σ(x)) ∀x ∈ Ω.

Lemma 4.1.9 Erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft, sei U ⊂ IR^{N} offen, m ≥ 1 eine ganze Zahl, und f ∈ C^{m}(\overline{Ω} × U). Dann ist die Abbildung

F : \{σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} ⊂ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) → W^{m,p}(Ω)

σ ↦ F (σ)

stetig für jede ganze Zahl r ≥ 0 mit (m + r)p > n.

Beweis: Ein Induktionsbeweis findet sich in Valent [25], Seite 27. □

Das folgende Lemma zeigt, dass die Funktion auch stetig differenzierbar ist.

Lemma 4.1.10 Erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft, sei U ⊂ IR^{N} offen und m ≥ 1. Ist f ∈ C^{m+1}(\overline{Ω} × U), dann ist für alle ganzen Zahlen r ≥ 0 mit (m + r)p > n die Abbildung

F : \{σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} → W^{m,p}(Ω)  (4.5)
σ ↦ F (σ)

stetig differenzierbar und das Differential für ein beliebiges σ ist die stetig lineare Abbildung

F′(σ) : W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) → W^{m,p}(Ω)

definiert für alle τ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) mit

F′(σ)(τ) = ∑_{j=1}^{N} F_{y_{j}}(σ)τ_{j},  (4.6)

wobei F_{y_{j}}(σ) = D_{y_{j}}f(x, σ(x)) eine reellwertige Funktion auf Ω ist.

Beweis: Ist D_{y_{j}}f ∈ C^{m}(\overline{Ω} × U), so folgt mit Lemma (4.1.9) F_{y_{j}}(σ) ∈ W^{m,p}(Ω). Mit Lemma (4.1.7) folgt τ_{j}F_{y_{j}}(σ) ∈ W^{m,p}(Ω). Mit (m + r)p > n ist W^{m+r,p}(Ω) stetig in C^{1}(\overline{Ω}) eingebettet. Dass die Abbildung (4.6) wohldefiniert und stetig ist, folgt mit Lemma (4.1.9). Wir zeigen nun mit

lim_{||τ||_{m+r,p}→0} \frac{||F (σ + τ) − F (σ) − ∑_{j=1}^{N} τ_{j}F_{y_{j}}(σ)||_{m,p}}{||τ||_{m+r,p}} = 0,  (4.7)

dass die Abbildung auch differenzierbar ist und mit (4.6) übereinstimmt. Für jedes τ ∈ W^{m+r,p}(\overline{Ω}, IR^{N}) mit ||τ||_{m+r,p} so klein, dass

sup_{x∈Ω} |τ(x)| < dist(σ(\overline{Ω}), IR^{N} \ U),

können wir

F (σ + τ) − F (σ) − ∑_{j=1}^{N} τ_{j}F_{y_{j}}(σ) = ∑_{j=1}^{N} τ_{j} ∫_{0}^{1}(F_{y_{j}}(σ + tτ) − F_{y_{j}}(σ))dt

schreiben. Zusammen mit Lemma (4.1.7) erhalten wir

||F (σ + τ) − F (σ) − ∑_{j=1}^{N} τ_{j}F_{y_{j}}(σ)||_{m,p}

≤ c||τ||_{m+r,p} ∑_{j=1}^{N} || ∫_{0}^{1} F_{y_{j}}(σ + tτ) − F_{y_{j}}(σ))dt||_{m,p},  (4.8)

wobei c > 0 unabhängig von τ ist. Nach Lemma (4.1.9) ist die Abbildung σ ↦ F_{y_{j}}(σ) von \{σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} nach W^{m,p}(Ω) stetig. Die Gleichung (4.7) folgt somit aus (4.8), denn es gilt

|| ∫_{0}^{1} F_{y_{j}}(σ + tτ) − F_{y_{j}}(σ))dt||_{m,p} ≤ ∫_{0}^{1} ||F_{y_{j}}(σ + tτ) − F_{y_{j}}(σ)||_{m,p}dt.

Sei L := L(W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}), W^{m,p}(Ω)) der Raum aller stetig linearen Abbildungen von W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) nach W^{m,p}(Ω), ausgestattet mit der Topologie der beschränkten Konvergenz. Es genügt zu zeigen, dass der Operator σ ↦ F′(σ) von {σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{n}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} in den Raum L stetig ist. Wir wissen, dass die Abbildung σ ↦ F_{y_{j}}(σ) von \{σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} nach W^{m,p}(Ω) stetig ist. Mit Lemma (4.1.7) folgt für Gleichung (4.6) und festes \overline{σ} ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) mit \overline{σ}(\overline{Ω}) ⊂ U die Abschätzung

||(F′(σ) − F′(\overline{σ}))(τ)||_{m,p} ≤ ∑_{j=1}^{N} ||(F_{y_{j}}(σ) − F_{y_{j}}(\overline{σ}))τ_{j}||_{m,p}
≤ Nc||F_{y_{j}}(σ) − F_{y_{j}}(\overline{σ})||_{m,p}||τ||_{m+r,p}

mit c > 0 unabhängig von τ und σ. Insgesamt erhalten wir

lim_{||σ−\overline{σ}||_{m+r+p}→0} \{\frac{||(F′(σ) − F′(\overline{σ}))(τ)||_{m,p}}{||τ||_{m+r,p}} : 0 ≠ τ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N})\} = 0.

Damit ist das Differential (4.6) beschränkt und somit stetig. □ Die Hauptaussage ist nicht die Gestalt des Differentials, sondern die Fixierung der Räume.

4.2 Zulässige Deformationen und deren topologischen Eigenschaften

Wir definieren nun die Menge aller zulässigen Deformationen für dieses Kapitel bzw. diese Theorie.

Definition 4.2.1 Eine Deformation φ heißt zulässig für das Problem (4.1), (4.2), wenn φ ein orientierungserhaltender C^{1}-Diffeomorphismus von \overline{Ω} auf \overline{Ω} ist und φ|_{∂Ω} = l_{∂Ω}. Die Menge aller zulässigen Deformationen mit φ ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) bezeichnen wir mit A_{m+2,p}.

Lemma 4.2.2 Sei Ω ⊂ IR^{n} zusammenhängend und stimme mit dem Inneren der Menge \overline{Ω} überein. Dann ist eine stetig differenzierbare Funktion φ : \overline{Ω} → IR^{n} mit φ(x) = x, ∀x ∈ ∂Ω ein orientierungserhaltender C^{1} Diffeomorphismus von \overline{Ω} auf \overline{Ω} genau dann, wenn det ∇φ > 0 für alle x ∈ \overline{Ω}.

Beweis: Siehe Valent [25], Seite 92, Lemma 3.1. □ Damit ist sichergestellt, dass positive Volumina wieder in positive Volumina abgebildet werden. Für spätere Sätze benötigen wir, dass A_{m+2,p} eine offene Menge ist. Der folgende Satz zeigt dies.

Satz 4.2.3 Sei Ω ⊂ IR^{n} mit stetig differenzierbarem Rand, Ω stimme mit dem Inneren der Menge \overline{Ω} überein und m ≥ 0 eine ganze Zahl. Dann ist für p(m + 1) > n, A_{m+2,p} eine offene Teilmenge des affinen Teilraumes (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ⊂ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}).

Beweis: Für p(m + 1) > n ist W^{m+2,p}(Ω) stetig in C^{1}(\overline{Ω}) eingebettet, siehe Satz (2.1.8). Weiter gilt mit u ∈ C^{1}(\overline{Ω})

u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ⟺ u|_{∂Ω} = 0.

Daher gilt für p(m + 1) > n,

u ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) mit u|_{∂Ω} = 0 ⟺ u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}),

es folgt

A_{m+2,p} ⊆ (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}).

Wir zeigen nun, dass A_{m+2,p} offen ist in (l\overline{Ω} +W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}))∩W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}). Sei dazu φ_{0} ∈ A_{m+2,p} fest und

μ_{0} := inf_{x∈Ω} det ∇φ_{0}(x).  (4.9)

Mit Lemma (4.2.2) folgt μ_{0} > 0. Mit φ ↦ det ∇φ ist eine stetig Abbildung von C^{1}(\overline{Ω}, IR^{n}) nach C^{0}(\overline{Ω}) definiert. Da W^{m+2,p}(Ω) stetig in C^{1}(\overline{Ω}) eingebettet ist, ist die Abbildung auch von W^{m+2,p}(Ω) nach C^{0}(\overline{Ω}) stetig. Daher existiert eine offene konvexe Umgebung U_{0} um φ_{0} in W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}), so dass

sup_{x∈Ω} | det ∇φ(x) − det ∇φ_{0}(x)| < μ_{0} ∀φ ∈ U_{0}.

Zusammen mit (4.9) folgt

inf_{x∈Ω} det ∇φ(x) > 0 ∀φ ∈ U_{0}.

Die Menge Ω stimmt mit dem Inneren ihres Abschlusses überein. Mit Lemma (4.2.2) folgt, dass jedes φ ∈ (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ U_{0} ein orientierungserhaltender C^{1}-Diffeomorphismus von \overline{Ω} auf \overline{Ω} ist. Daher ist

(l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ U_{0} ⊆ A_{m+2,p}.

Also ist A_{m+2,p} offen in (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}). □

4.3 Linearisierung des Elastizitätsoperators

Ziel dieses Abschnittes ist es, den Elastizitätsoperator zu linearisieren. Dies führt auf das Differential des Spannungstensors T (x, ∇φ(x)) an einen festen Punkt φ ∈ (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+}.

Lemma 4.3.1 Erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft, sei p(m + 1) > n und T ∈ C^{m+2}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}). Dann ist

φ ↦ div T (∇φ)  (4.10)

eine stetig differenzierbare Abbildung von (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} nach W^{m,p}(Ω, IR^{n}) und das Differential an einem beliebigen Punkt φ ∈ (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} in Richtung ∇v, ist die (stetig lineare) Abbildung

v ↦ div( ∑_{k,h=1}^{n} T_{Z_{hk}}(∇φ)∇_{k}v_{h}),  (4.11)

mit T_{Z_{hk}}(∇φ) := D_{Z_{hk}}T (x, ∇φ(x)).

Beweis: Wir betrachten die Richtungsableitung von T (∇φ) in Richtung ∇v für beliebig oft differenzierbare T, φ und v. Es gilt:

D_{Z}T (∇φ)(∇v) := \frac{d}{dϵ}|_{ϵ=0}T (∇φ + ϵ∇v)

= ∑_{k,h=1}^{n} \frac{∂T}{∂F_{hk}} |_{F_{hk}=(∇φ)_{hk}} \frac{d((∇φ)_{hk} + ϵ(∇v)_{hk})}{dϵ}|_{ϵ=0}

= ∑_{k,h=1}^{n} \frac{∂T}{∂F_{hk}} |_{F_{hk}=(∇_{k}φ_{h})}∇_{k}v_{h}

= ∑_{k,h=1}^{n} T_{Z_{hk}}(∇φ)∇_{k}v_{h}.

Es folgt

div (D_{Z}T (∇φ)(∇v)) = div ( ∑_{k,h=1}^{n} T_{Z_{hk}}(∇φ)∇_{k}v_{h}).

Zusammen mit dem Einbettungssatz (2.1.8) und Lemma (4.1.10) folgt die Aussage für die Räume W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) und W^{m,p}(Ω, IR^{n}). Nach Satz (4.2.3) ist die Teilmenge

(W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} : = {φ ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) : det ∇φ > 0}
⊂ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})

offen. Insgesamt folgt die Behauptung. □

Damit ist die stetig lineare Abbildung (4.11) die Linearisierung des Operators (4.10). Dies motiviert zur folgender Definition:

Definition 4.3.2 Seien l_{ijhk} : Ω → IR mit i, j, h, k = 1, …, n, reellwertige Funktionen und l : Ω × 𝕄_{n} → 𝕄_{n} sei durch

l(x, Z) := ( ∑_{h,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)Z_{hk})_{i,j=1,...,n}

definiert. Für eine Funktion σ : Ω → 𝕄_{n} definieren wir die zugeordnete linearisierte Abbildung

L(σ) : Ω → 𝕄_{n}
L(σ)(x) := l(x, σ(x)).

Damit ist der linearisierte Operator (4.11) von der Gestalt

u ↦ div L(∇u)

mit L = T_{Z}(∇φ) für festes φ ∈ (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+}. Die folgende Definition geht auf Agmon,Douglis und Nirenberg zurück.

Definition 4.3.3 Der Operator

u ↦ div L(∇u) = div( ∑_{h,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}u_{h})_{i,j=1,...,n}  (4.12)

ist elliptisch in Punkt x ∈ Ω, wenn

det ( ∑_{j,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n} ≠ 0 ∀ξ ∈ IR^{n} \ {0}.

Gilt

(η ⊗ ξ) · l(x, η ⊗ ξ) > 0 ∀ξ, η ∈ IR^{n} \ {0},

dann ist der Operator (4.12) stark elliptisch in x ∈ Ω. Gelten die Bedingungen für alle x ∈ Ω, so ist der Operator elliptisch bzw. stark elliptisch auf Ω.

Satz 4.3.4 Seien l_{ijhk} stetige Funktionen auf \overline{Ω}. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für

(η ⊗ ξ) · l(x, η ⊗ ξ) > 0, ∀(x, ξ, η) ∈ \overline{Ω} × (IR^{n} \ \{0\}) × (IR^{n} \ \{0\}) (4.13)

ist, dass es zwei Zahlen c > 0 und λ > 0 gibt, so dass

∑_{i,j,k,h=1}^{n} ∫_{Ω} l_{ijhk}(x)∇_{j}v_{i}∇_{k}v_{h} dx + λ||v||_{0,2}^{2} ≥ c||v||_{1,2}^{2} ∀v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Aus der Gleichung (4.13) folgt

det ( ∑_{j,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n} > 0 ∀(x, ξ) ∈ \overline{Ω} × (IR^{n} \ \{0\})

und mit l_{ijhk} ∈ C^{0}(\overline{Ω}) folgt

det ( ∑_{j,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n} ≥ c_{1}|ξ|^{2n} ∀(x, ξ) ∈ Ω × IR^{n}. (4.14)

Dabei ist c_{1} > 0 unabhängig von (x, ξ). Setzen wir für c_{1} das Minimum der stetigen Funktion

(x, ξ) ↦ det ( ∑_{j,k=1}^{n} l_{ijhk}(x)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n}

auf \overline{Ω} × \{ξ ∈ IR^{n} : |ξ| = 1\}, so ist Gleichung (4.14) erfüllt.

Beweis: Siehe Fichera [18]. Der Satz ist auch als Gårdingsche Ungleichung bekannt. □

Satz 4.3.5 Seien l_{ijhk} ∈ W^{m+1,p}(Ω) mit p > n und sei ∂Ω ∈ C^{m+2}. Dann folgt aus

(η ⊗ ξ) · l(x, η ⊗ ξ) > 0, ∀(x, ξ, η) ∈ \overline{Ω} × (IR^{n} \ \{0\}) × (IR^{n} \ \{0\}),

für alle u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) die Abschätzung

||div L(∇u)||_{m,p} + ||u||_{0,2} ≥ c||u||_{m+2,p}.  (4.15)

Dabei ist die Zahl c > 0 unabhängig von u und nur abhängig von den Funktionen l_{ijhk} durch die Elliptizitäts-Konstante c_{1} aus der Abschätung (4.14), eine obere Schranke für ||l_{ijhk}||_{m+1,p} (i, j, h, k = 1, …, n) und von 1/δ. Hier ist δ das strikt positive reelle Funktional aus der Arbeit von Agmon, Douglis und Nierenberg (siehe [5], Seite 43). Die Autoren bezeichnen δ als die “minor constant” für das Dirichlet Problem des Operators u ↦ div l(x, ∇u(x)).

Beweis: Ein Beweis für die Abschätzung

||div L(∇u)||_{m,p} + ||u||_{0,p} ≥ c||u||_{m+2,p}

mit p > n und u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) findet sich in Valent ([25], Theorem 6.2, Seite 75). Mit der dazugehörenden Bemerkung ([25], Seite 77) folgt dann die Behauptung. □

Lemma 4.3.6 Es sei l_{ijhk} ∈ L^{∞}(Ω) (i, j, h, k = 1, … n), \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1 mit p > 1 und

b(v, u) := ∫_{Ω} l(x, ∇u(x)) · ∇v(x) dx ∀(v, u) ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}) × W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}).

Dann gibt es für jedes f ∈ W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) ein eindeutiges u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) mit

−div L(∇u) = f  (4.16)

genau dann, wenn es ein c > 0 gibt, welches

sup \{\frac{|b(v, u)|}{||v||_{1,p′}} : 0 ≠ v ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n})\} ≥ c||u||_{1,p} ∀u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}),

und

sup \{\frac{|b(v, u)|}{||u||_{1,p}} : 0 ≠ u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})\} ≥ c||v||_{1,p′} ∀v ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n})

erfüllt.

Beweis: Der Operator

u ↦ div L(∇u)  (4.17)

bildet W^{1,p}(Ω, IR^{n}) nach W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) ab. Wir identifizieren W^{−1,p}(Ω) mit dem Dual (W_{0}^{1,p′}(Ω))′ von W_{0}^{1,p′}(Ω) und definieren (v, f) ↦< v, f > auf W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}) und W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) durch

< v, f >:= ∑_{i=1}^{n} f_{i}(v_{i}).  (4.18)

Daher können wir W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) als den Dualraum von W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}) betrachten. Wir erhalten die starke Topologie auf W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) durch die Norm

||f||_{−1,p} := sup \{\frac{| < v, f > |}{||v||_{1,p′}} : 0 ≠ v ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n})\}.  (4.19)

Ist u ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{n}) und v ∈ C_{0}^{∞}(Ω, IR^{n}), so folgt mit (4.18)

< v, −div L(∇u) >= − ∫_{Ω} ∑_{i,j,h,k}^{n} ∇_{j}(l_{ijhk}∇_{k}u_{h})v_{i}dx = ∫_{Ω} l(x, ∇u(x)) · ∇vdx.

Der Raum C_{0}^{∞}(Ω) liegt dicht in W_{0}^{1,p′}(Ω). Daher folgt

< v, −div L(∇u) >= b(v, u)  (4.20)
∀(v, u) ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}) × W^{1,p}(Ω, IR^{n}).

Für l_{ijhk} ∈ L^{∞}(Ω) liefert die Höldersche Ungleichung

|b(v, u)| ≤ c_{p}||v||_{1,p′} ||u||_{1,p} ∀(v, u) ∈ W^{1,p′}(Ω, IR^{n}) × W^{1,p}(Ω, IR^{n}), (4.21)

mit c_{p} > 0 unabhängig von u und v. Daher ist die Bilinearform

(v, u) ↦ b(v, u) ∀(v, u) ∈ W^{1,p′}(Ω, IR^{n}) × W^{1,p}(Ω, IR^{n})

stetig. Mit (4.19), (4.20) und (4.21) folgt

||div L(∇u)||_{−1,p} ≤ c_{p}||u||_{1,p} ∀u ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{n}).

Damit ist gezeigt, dass (4.17) ein stetiger Operator von W^{1,p}(Ω, IR^{n}) nach W^{−1,p}(Ω, IR^{n}) ist. Ist nun u ∈ W^{1,p}(Ω, IR^{n}) und f ∈ W^{−1,p}(Ω, IR^{n}), so folgt mit (4.20)

−div L(∇u) = f ⟺ b(v, u) =< v, f > ∀v ∈ W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}).

Die Räume X := W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) und Y := W_{0}^{1,p′}(Ω, IR^{n}) sind reflexiv. Mit Satz (4.1.3) folgt die Behauptung. □

Satz 4.3.7 Es sei l_{ijkh} ∈ W^{m+1,p}(Ω) (i, j, k, h = 1, …, n), m ≥ 0, p > n und ∂Ω ∈ C^{m+2}. Gilt

|b(v, v)| ≥ c||v||_{1,2}^{2} ∀v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n})  (4.22)

für eine Zahl c > 0 unabhängig von v mit

b(v, u) := ∫_{Ω} l(x, ∇u(x)) · ∇vdx = ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}u_{h}(x)∇_{j}v_{i}(x)dx,

dann ist der Operator

u ↦ div l(x, ∇u(x))  (4.23)

ein (linearer) surjektiver Homöomorphismus von

W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n}).

Beweis: Mit ∇_{k}u_{h}, ∇_{j}v_{i}, l_{ijhk} ∈ W^{m+1,p}(Ω) und ∂Ω ∈ C^{m+2} (Kegeleigenschaft ist erfüllt) folgt mit Satz (4.1.6), dass die Bilinearform b(v, u) wohldefiniert auf W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ist. Gleichung (4.22) besagt, dass die Funktion b(v, v) keinen Vorzeichenwechsel besitzt. Um dies zu zeigen, nehmen wir das Gegenteil an. Annahme: Es existieren v, w ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}), so dass b(v, v) ≥ c||v||_{1,2}^{2} und b(w, w) < −c||w||_{1,2}^{2}. Sei nun λ ∈ [0, 1] und

F (λ) := ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}(λv_{h} + (1 − λ)w_{h})∇_{j}(λv_{i} + (1 − λ)w_{i}) dx.

Es ist

F (0) = ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}w_{h}∇_{j}w_{i} dx < −c||w||_{1,2}^{2}  (4.24)

F (1) = ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}v_{h}∇_{j}v_{i} dx ≥ c||v||_{1,2}^{2}.  (4.25)

Die Funktion F (λ) ist auf [0, 1] stetig. Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein s ∈ [0, 1], so dass F (s) = 0 und F (s) ≥ c||sv + (1 − s)w||_{1,2}^{2}. Damit ||sv + (1 − s)w||_{1,2}^{2} = 0, müssen v und w linear abhängig sein. Mit w := μv, μ ∈ IR und Gleichungen (4.24),(4.25) folgt

0 > F (0) = ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} l_{ijhk}(x)∇_{k}(μv_{h})∇_{j}(μv_{i}) dx = μ^{2}F (1) ≥ 0.

Das ist ein Widerspruch. Folglich hat die Funktion b(v, v) kein Vorzeichenwechsel. Damit gilt Œ b(v, v) ≥ 0 ∀v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}). Für jedes (x, t) ∈ Ω × [0, 1] setzen wir

m_{ijhk}(x, t) := tl_{ijhk}(x) + (1 − t)δ_{ih}δ_{jk},  (4.26)

mit δ_{ih}, δ_{jk} als Kronecker-Symbol. Die Funktionen l_{ijhk} ∈ W^{m+1,p}(Ω) erfüllen die Gleichung (4.22). Für jede Funktion σ : Ω → 𝕄_{n} sei M_{t}(σ) die 𝕄_{n}-wertige Funktion, die durch

M_{t}(σ)(x) := M_{t}(x, σ(x)) := ( ∑_{h,k=1}^{n} m_{ijhk}(x, t)σ_{hk}(x))_{i,j=1,...,n} (4.27)

auf Ω definiert ist. Wir zeigen für ein c_{2} > 0 die Abschätzung

||div M_{t}(∇u)||_{−1,2} ≥ c_{2}||u||_{1,2} ∀(t, u) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}). (4.28)

Wie oben gezeigt, kann Œ b(v, v) ≥ 0 ∀v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) angenommen werden. Betrachte die Funktion b_{t}(v, v) für (t, v) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}),

b_{t}(v, v) := ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} m_{ijhk}(x, t)∇_{k}v_{h}∇_{j}v_{i} dx

= ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} (tl_{ijhk}(x) + (1 − t)δ_{ih}δ_{jk})∇_{k}v_{h}∇_{j}v_{i} dx

= ∫_{Ω} ∑_{i,j,k,h=1}^{n} tl_{ijhk}(x)∇_{k}v_{h}∇_{j}v_{i} + (1 − t)δ_{ih}δ_{jk}∇_{k}v_{h}∇_{j}v_{i} dx

≥ tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t) ∫_{Ω} ∑_{j,i=1}^{n} ∇_{j}v_{i}∇_{j}v_{i} dx

= tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t) ∫_{Ω} ∑_{j,i=1}^{n}(∇_{j}v_{i})^{2} dx

= tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t) ∑_{i=1}^{n} ∫_{Ω} ∑_{j=1}^{n}(∇_{j}v_{i})^{2} dx

= tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t) ∑_{i=1}^{n} |v_{i}|_{1,2}^{2}
= tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t)|v|_{1,2}^{2}
≥ tc||v||_{1,2}^{2} + (1 − t)c_{1}||v||_{1,2}^{2},  (Poincaré, c_{1} > 0)
≥ c_{2}||v||_{1,2}^{2}  (4.29)

und c_{2} := min_{0≤t≤1}{tc + (1 − t)c_{1}} > 0.

Mit Abschätzung (4.29) folgt

|b_{t}(v, v)| ≥ c_{2}||v||_{1,2}^{2} ∀(t, v) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n})
⇒  \frac{|b_{t}(v, v)|}{||v||_{1,2}} ≥ c_{2}||v||_{1,2} ∀(t, v) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}) \ \{0\}
⇒ sup \{\frac{|b_{t}(v, u)|}{||v||_{1,2}} : 0 ≠ v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n})\} ≥ c_{2}||u||_{1,2}
∀(t, u) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Mit dieser Abschätzung ist Lemma (4.3.6) anwendbar und liefert zusammen mit dem Operator (4.27) angewandt auf (4.16), (4.19) (4.20) die gesuchte Abschätzung (4.28). Nach Sobolev ist W^{m+1,p}(Ω) in C^{m}(\overline{Ω}) stetig eingebettet. Damit ist auch m_{ijhk}(x, t) ∈ C^{m}(\overline{Ω}). Mit der Abschätzung (4.29) und Satz (4.3.4) folgt (4.13) für m_{ijhk}(x, t), also

∑_{i,j,h,k=1}^{n} m_{ijhk}(x, t)ξ_{j}ξ_{k}η_{i}η_{h} > 0,  (4.30)
∀(t, x, ξ, η) ∈ [0, 1] × \overline{Ω} × (IR^{n} \ \{0\}) × (IR^{n} \ \{0\}).

Mit Abschätzung (4.30) und Satz (4.3.4) folgt, dass es eine Zahl c_{1} > 0 gibt, unabhängig von (t, x, ξ), so dass

det ( ∑_{j,k=1}^{n} m_{ijhk}(x, t)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n} ≥ c_{1}|ξ|^{2n}, ∀(t, x, ξ) ∈]0, 1[×Ω × IR^{n}.

Für c_{1} setzen wir das Minimum der strikt positiven, stetigen Funktion

(t, x, ξ) ↦ det ( ∑_{j,k=1}^{n} m_{ijhk}(x, t)ξ_{j}ξ_{k})_{i,h=1,...,n}

auf der kompakten Menge [0, 1] × \overline{Ω} × \{ξ ∈ IR^{n} : |ξ| = 1\} ⊂ IR^{2n+1}. Agmon, Douglis und Nirenberg zeigen in ihrer Arbeit, dass ein stark elliptisches System mit Dirichlet Begingungen die “complementing condition” erfüllt und die “minor constant” positiv ist, siehe [5], Seite 43-44. Abschätzung (4.30) zeigt, dass der Operator u ↦ div M_{t}(∇u) stark elliptisch ist. Somit erfüllt das Dirichlet Problem für den stark elliptischen Operator u ↦ div M_{t}(∇u) die “complementing condition” ∀t ∈ [0, 1]. Folglich ist die “minor constant”, nennen wir sie δ_{t}, für dieses Problem zweifellos positiv ∀t ∈ [0, 1]. Die Funktion t ↦ δ_{t} ist stetig, somit folgt inf{δ_{t} : t ∈ [0, 1]} > 0. Dies zusammen mit Satz (4.3.5) zeigt, dass es eine Zahl c_{3} > 0 gibt, unabhängig von u und t mit

||div M_{t}(∇u)||_{m,p} + ||u||_{0,2} ≥ c_{3}||u||_{m+2,p},  (4.31)

für alle (t, u) ∈ [0, 1] × (W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})). Aus der gezeigten Abschätzung (4.28) folgt

||u||_{1,2} ≤ c_{2}^{−1}||div M_{t}(∇u)||_{−1,2} ∀(t, u) ∈ [0, 1] × W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}), (4.32)

mit Abschätzung (4.31) und α := c_{3}^{−1} folgt

||u||_{m+2,p} ≤ α||div M_{t}(∇u)||_{m,p} + α||u||_{0,2}  (4.33)

für alle (t, u) ∈ [0, 1] × (W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})). Mit (4.32), (4.33) und β := αc_{2}^{−1} folgt

||u||_{m+2,p} ≤ α||div M_{t}(∇u)||_{m,p} + α||u||_{0,2}
≤ α||div M_{t}(∇u)||_{m,p} + α||u||_{1,2}
≤ α||div M_{t}(∇u)||_{m,p} + β||div M_{t}(∇u)||_{−1,2}  (4.34)
∀(t, u) ∈ [0, 1] × (W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})).

Die Zahlen α, β sind wie c_{2} und c_{3} unabhängig von u und t. Die Divergenz der Gleichung (4.27) für t = 0 und jedes x ∈ Ω ist,

(div M_{0}(∇u))(x) = div( ∑_{h,k=1}^{n} m_{ijhk}(x, 0)∇_{k}u_{h}(x))_{i,j=1,...,n}

= div( ∑_{h,k=1}^{n} δ_{ih}δ_{jk}∇_{k}u_{h}(x))_{i,j=1,...,n}
= Δu(x),

mit u = (u_{1}, u_{2}, …, u_{n})^{T} und Δ als Laplace-Operator der wie div zeilenweise wirkt. Mit der Voraussetzung ∂Ω ∈ C^{m+2} und Satz (3.2.12) ist der Laplace-Operator

Δ : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n}).

ein surjektiver Homöomorphismus. Sei nun

J := {t : t ∈ [0, 1], u ↦ div M_{t}(∇u) ist ein (linearer) surjektiver

Homöomorphismus von W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})}.

Die Menge J ist somit nicht leer. Wir zeigen nun, dass J eine offene Teilmenge des topologischen Raumes [0, 1] ist. Die Menge der linearen Homöomorphismen von Banach-Raum X surjektiv auf den Banach-Raum Y ist eine offene Teilmenge des Banach-Raumes L(X, Y) der mit der Supremumsnorm (4.4) ausgestattet ist, siehe Lemma (4.1.2). Die Abbildung

t ↦ div (M_{t} ∘ ∇)

von [0, 1] in den Raum der stetigen linearen surjektiven Abbildungen von W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) auf W^{m,p}(Ω, IR^{n}) ist stetig. Da das Urbild offener Mengen über stetigen Funktionen offen ist, folgt dass J offen in [0, 1] ist. Wir zeigen nun, dass J auch abgeschlossene Teilmenge von [0, 1] ist und somit folgt J = [0, 1]. Dann ist gezeigt, dass u ↦ div M_{1}(∇u), also der Operator (4.23), ein linearer surjektiver Homöomorphismus von W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n}) ist. Sei {t_{r}}_{r∈IN} eine Folge in J die gegen ein t ∈ [0, 1] konvergiert. Wir zeigen t ∈ J. Sei f ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) beliebig aber fest. Mit t_{r} ∈ J ∀r ∈ IN, gibt es für jedes r ∈ IN ein

u(r) ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) mit div M_{t_{r}}(∇u(r)) = f.

Mit Ungleichung (4.34) folgt, dass die Folge {u(r)}_{r∈IN} beschränkt ist in W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}). Der Teilraum

W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ⊂ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})

ist reflexiv. Daher existiert in {u(r)}_{r∈IN} ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) eine schwach konvergente Teilfolge {u(n)}_{n∈IN} mit

u(n) ⇀ u ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}).

Für alle t ∈ [0, 1] ist die lineare Abbildung

u ↦ div M_{t}(∇u)  (4.35)
W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})

stetig und mit Lemma (4.1.4) auch stetig bezüglich der schwachen Topologien von W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) und W^{m,p}(Ω, IR^{n}). Damit ist die Folge {div M_{t_{n}}(u(n))}_{n∈IN} beschränkt im reflexiven Raum W^{m,p}(Ω, IR^{n}). Somit gibt es eine schwach konvergente Teilfolge, wir bleiben bei der Notation, mit

div M_{t_{n}}(∇u(n)) ⇀ div M_{t}(∇u) in W^{m,p}(Ω, IR^{n}).

Mit div M_{t_{n}}(∇u(n)) = f ∀n ∈ IN folgt die starke Konvergenz von

< div M_{t_{n}}(∇u(n)), l > → < div M_{t}(∇u), l > ∀l ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n})′
< div M_{t_{n}}(∇u(n)), l > →  < f, l >  ∀l ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n})′.

Dies ergibt

lim_{n→∞} div M_{t_{n}}(∇u(n)) = div M_{t}(∇u)  (4.36)
= f.

Seien nun u, v ∈ W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) mit div M_{t}∇u = div M_{t}∇v. Mit Ungleichung (4.34) folgt ∀(t, u) ∈ [0, 1]×(W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})∩W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))

||u − v||_{m+2,p} ≤ α||div M_{t}(∇u) − div M_{t}(∇v)||_{m,p}
+ β||div M_{t}(∇u) − div M_{t}(∇v)||_{−1,2}
= 0.

Damit ist der Operator (4.36) injektiv. Da f ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) beliebig war, ist (4.36) stetig linear und bijektiv. Mit dem Satz vom Inversen Operator (4.1.1) folgt, dass die Abbildung (4.36) ein Homöomorphismus ist, also t ∈ J. Damit ist der Satz bewiesen. □

Nach Voraussetzung ist das Myokard Ω ⊂ IR^{3} und somit p > n = 3. Daher sind die Sobolev-Räume keine Hilbert-Räume. Deswegen haben wir Satz (3.2.12) für Banach-Räume gezeigt.

4.4 Spezielle Deformationen

Die folgenden Sätze zeigen, dass Starrkörperbewegungen die Voraussetzung (4.22) aus Satz (4.3.7) erfüllen. Wir betrachten den ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor T (x, ∇φ(x)), kurz T (∇φ), aus der Einleitung.

Definition 4.4.1 Sei L_{m+2,p} die Menge aller φ ∈ A_{m+2,p}, so dass

∫_{Ω} ∑_{h,k=1}^{n}(∇_{Z_{hk}}T (∇φ)∇_{k}v_{h}) · ∇vdx ≥ c(φ)||v||_{1,2}^{2}, ∀v ∈ C_{0}^{∞}(Ω, IR^{n}),

mit passender Zahl c(φ) > 0 unabhängig von v.

Eine Motivation für diese Definition findet sich in der Einleitung, Abschätzung (1.27).

Satz 4.4.2 Sei ∂Ω ∈ C^{1} und die Ableitungen ∇_{Z_{hk}}T für (h, k = 1, … n) seien stetige Funktionen auf (\overline{Ω}×𝕄_{+}^{n}). Dann ist für (m+1)p > n, L_{m+2,p} eine offene Teilmenge von A_{m+2,p} und offene Teilmenge des affinen Teilraumes (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ⊂ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}).

Beweis: Sei φ_{0} ∈ L_{m+2,p}, dann gibt es eine Zahl c(φ_{0}) > 0 mit

∫_{Ω} ∑_{h,k=1}^{n}(∇_{Z_{hk}}T (∇φ_{0})∇_{k}v_{h}) · ∇vdx ≥ c(φ_{0})||v||_{1,2}^{2}, ∀v ∈ C_{0}^{∞}(Ω, IR^{n}). (4.37)

Die Funktionen ∇_{Z_{hk}}T_{ij} existieren und sind stetig auf (\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}). Mit Sobolevs Einbettungssatz folgt, dass φ ↦ ∇_{Z_{hk}}T (∇φ)eine stetige Abbildung von (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} nach C^{0}(\overline{Ω}, 𝕄^{n}) ist. Dann gibt es für alle ϵ mit 0 < ϵ < c(φ_{0}) eine Umgebung U_{0} von φ_{0} in W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}), so dass aus φ ∈ U_{0} folgt

| ∫_{Ω} ∑_{h,k=1}^{n}((∇_{Z_{hk}}T (∇φ_{0}) − ∇_{Z_{hk}}T (∇φ))∇_{k}v_{h}) · ∇v dx| ≤ ϵ||v||_{1,2}^{2} (4.38)

für alle v ∈ C_{0}^{∞}(Ω, IR^{n}). Kombinieren wir (4.37) mit (4.38), so folgt aus φ ∈ U_{0}

∫_{Ω} ∑_{h,k=1}^{n}(∇_{Z_{hk}}T (∇φ)∇_{k}v_{h}) · ∇vdx ≥ (c(φ_{0}) − ϵ)||v||_{1,2}^{2}, ∀v ∈ C_{0}^{∞}(Ω, IR^{n}).

Mit Satz (4.2.3) können wir U_{0} so wählen, dass U_{0} ⊆ A_{m+2,p} ist. Damit ist der Satz bewiesen. □

Lemma 4.4.3 Es sei T ∈ C^{1}(\overline{Ω}×𝕄_{+}^{n}, 𝕄_{+}^{n}) und (1.24), (1.25), (1.26), (1.27) seien erfüllt. Dann gibt es für alle R ∈ 𝕆_{+}^{n} eine reelle Zahl m_{R} > 0, so dass

∫_{Ω} ( ∑_{h,k=1}^{n} ∇_{Z_{hk}}T (x, R)∇_{k}v_{h}(x)) · ∇v(x) dx

≥ m_{R} ∫_{Ω} |∇(R^{T} v) + (∇(R^{T} v))^{T} |^{2} dx, ∀v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n})

gilt.

Beweis: Valent [25], Seite 62, Theorem 3.3 □ Damit zeigen wir den nächsten Satz.

Satz 4.4.4 Es erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft,

T ∈ C^{1}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}),

und seien (1.24), (1.25), (1.26), (1.27) erfüllt. Dann gibt es für alle R ∈ 𝕆_{+}^{n} ein c_{R} > 0, so dass

∫_{Ω} ∑_{h,k=1}^{n}(∇_{Z_{hk}}T (x, R)∇_{k}v_{h}(x)) · ∇v(x) dx ≥ c_{R}||v||_{1,2}^{2}

für alle v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n}) mit

∫_{Ω} v dx = 0,  R^{T} ∫_{Ω} Dv dx ∈ 𝕊_{n}  (4.39)

und für alle v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}).

Beweis: Mit D^{s}v := (∇_{j}v_{i} +∇_{i}v_{j})_{i,j=1,...n}, der Poincaréschen und der ersten Kornschen Ungleichung

∫_{Ω} |∇v|^{2} dx ≤ 2 ∫_{Ω} |D^{s}v|^{2} dx, ∀u ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n})

folgt mit c_{1} > 0 die Abschätzung

||R^{T} v||_{1,2}^{2} ≤ c_{1} ∫_{Ω} |∇(R^{T} v) + ∇(R^{T} v)|^{2} dx ∀v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}). (4.40)

Eine Folgerung aus der zweiten Kornschen Ungleichung ist mit c_{2} > 0 die Abschätzung

||v||_{1,2}^{2} ≤ c_{2} ∫_{Ω} |D^{s}v|^{2} dx

für alle

v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n}) mit ∫_{Ω} v dx = 0 und ∫_{Ω} ∇v dx ∈ 𝕊^{n}.

Daraus folgt mit c_{3} > 0 die Abschätzung

||R^{T} v||_{1,2}^{2} ≤ c_{3} ∫_{Ω} |∇(R^{T} v) + ∇(R^{T} v)|^{2} dx  (4.41)

für alle

v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n}) mit ∫_{Ω} v dx = 0 und R^{T} ∫_{Ω} ∇v dx ∈ 𝕊_{n}.  (4.42)

Insgesamt erhalten wir mit (4.40), (4.41) und c_{4} > 0 die Abschätzung

||R^{T} v||_{1,2}^{2} ≤ c_{4} ∫_{Ω} |∇(R^{T} v) + ∇(R^{T} v)|^{2} dx  (4.43)

für alle v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n}), die (4.42) erfüllen und für alle v ∈ W_{0}^{1,2}(Ω, IR^{n}). Es gilt

||v||_{1,2} ≤ c_{5}||R^{T} v||_{1,2}, ∀v ∈ W^{1,2}(Ω, IR^{n})  (4.44)

mit c_{5} > 0 unabhängig von v. Lemma (4.4.3) zusammen mit (4.43) und (4.44) liefert die Behauptung. □ Zusammen mit den Definitionen (1.5.1) und (4.4.1) folgt, dass jede Starrkörperbewegung ein Element aus L_{m+2,p} ist. Insbesondere ist die Identität eine Starrkörperbewegung.

4.5 Der linearisierte Elastizitätsoperator als analytische Funktion

Die folgenden Sätze zeigen, unter welchen Voraussetzungen der Elastizitätsoperator analytisch ist.

Definition 4.5.1 Sei U ⊂ IR^{N} offen und (x, y) ↦ f(x, y) eine reellwertige C^{∞}-Funktion auf \overline{Ω}×U. Wir nennen f analytisch in y bei y_{0} und gleichmäßig bezüglich x, wenn für jedes x_{0} ∈ \overline{Ω} eine Umgebung U_{0} von (x_{0}, y_{0}) ∈ \overline{Ω} × U existiert, so dass

f(x, y) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}f_{y}^{(k)}(x, y_{0})(y − y_{0})^{k} ∀(x, y) ∈ U_{0}.  (4.45)

Dabei ist f_{y}^{(k)}(x, y_{0}) die k-te Ableitung der Funktion y ↦ f(x, y) bei y_{0} und (y − y_{0})^{k} bezeichnet die multilineare Form (\underbrace{y − y_{0}, …, y − y_{0}}_{k−mal}).

Wir nennen f analytisch in y und gleichmäßig in x, wenn für alle y_{0} ∈ U, f analytisch ist in y bei y_{0} und gleichmäßig in x. Die Definition gilt auch, wenn f eine IR^{M}-wertige Funktionen mit M ≥ 1 ist.

Für kompaktes \overline{Ω} ist f analytisch in y bei y_{0} und gleichmäßig in x genau dann, wenn es eine Umgebung V_{0} von y_{0} in U gibt, so dass (4.45) für alle (x, y) ∈ \overline{Ω} × V_{0} gilt.

Satz 4.5.2 Sei U ⊂ IR^{N} offen, Ω ⊂ IR^{n} erfülle die Kegeleigenschaft, m ≥ 1. Ist f ∈ C^{∞}(\overline{Ω} × U) und für |α| ≤ m seien die Funktionen

(x, y) ↦ D_{x}^{α}f(x, y)

analytisch in y und gleichmäßig in x. Ist r > 0 eine natürliche Zahl mit (m + r)p > n, dann ist σ ↦ F (σ) eine analytische Abbildung mit

F : \{σ ∈ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) : σ(\overline{Ω}) ⊂ U\} ⊂ W^{m+r,p}(Ω, IR^{N}) → W^{m,p}(Ω).

Beweis: Siehe Valent [25], Seite 39. □ Damit folgt der nächsten Satz.

Satz 4.5.3 Erfülle Ω ⊂ IR^{n} die Kegeleigenschaft, sei

T ∈ C^{∞}(\overline{Ω} × 𝕄_{n}^{+}, 𝕄_{n}),

und für |α| ≤ m + 1 seien die Funktionen (x, Z) ↦ D_{x}^{α} T (x, Z) analytisch in Z und gleichmäßig in x. Dann ist für (m + 1)p > n der Elastizitätsoperator

φ ↦ div T (∇φ)

eine analytische Abbildung von (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} nach W^{m,p}(Ω, IR^{n}).

Beweis: Mit Satz (4.5.2) und (m + 1)p > n folgt, dass ∇φ ↦ T (∇φ) eine analytische Abbildung von W^{m+1,p}(Ω, 𝕄^{n}) nach W^{m+1}(Ω, 𝕄^{n}) ist. Die Menge (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} ist nach Satz (4.2.3) offene Teilmenge des affinen Teilraumes (l\overline{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}). Der Operator div wirkt zeileneweise. Daher folgt für φ ↦ div T (∇φ) die Behauptung. □

4.6 Ein lokaler Existenzsatz für das Dirichlet Problem

Satz 4.6.1 (Lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Es sei m ≥ 0, p > n, ∂Ω ∈ C^{m+2} und T ∈ C^{m+2}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}) die Antwortfunktion zum ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor. Dann gibt es für jedes φ_{0} ∈ L_{m+2,p} Zahlen ξ > 0 und η > 0, so dass für alle f ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) mit ||f + div T (∇φ_{0})||_{m,p} < ξ das Problem

div T (x, ∇φ) + f = 0 auf Ω ⊂ IR^{n}  (4.46)
φ|_{∂Ω} = l_{∂Ω}  (4.47)

genau eine Lösung φ(f) ∈ L_{m+2,p} ⊂ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) mit ||φ(f) − φ_{0}||_{m+2,p} < η hat, wobei φ ein orientierungserhaltender C^{1}-Diffeomorphismus von \overline{Ω} auf \overline{Ω} ist.Weiter ist die Abbildung f ↦ φ(f) stetig differenzierbar, sie ist analytisch bei div T (x, ∇φ_{0}), wenn T ∈ C^{∞}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}) und für |α| ≤ m + 1 die Funktionen (x, Z) ↦ D_{x}^{α}T (x, Z) analytisch in Z und gleichmäßig bezüglich x sind.

Beweis: Mit Satz (4.2.3) folgt, dass A_{m+2,p} − l\overline{Ω} eine offene Teilmenge des Raumes W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ist. Lemma (4.3.1) zusammen mit T ∈ C^{m+2}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}) ergibt, dass die Abbildung

A_{m+2,p} − l\overline{Ω} → W^{m,p}(Ω, IR^{n})
v ↦ div T (∇(l\overline{Ω} + v))

stetig differenzierbar ist. Analog zur Definition (4.3.2) bezeichnen wir das Differential an einem beliebigen Punkt φ_{0} = l\overline{Ω} + v ∈ L_{m+2,p} in Richtung ∇u mit div L(∇u). Satz (4.4.2) besagt, dass die Menge L_{m+2,p} offen ist in A_{m+2,p}. Zusammen mit Definition (4.4.1) und Satz (4.3.7) folgt, dass die stetig lineare Abbildung

div L(∇·) : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})
u ↦ div L(∇u).

eine Bijektion ist. Nach dem Satz über die Umkehrabbildung (4.1.5) existieren für jedes φ_{0} ∈ L_{m+2,p} offene Umgebungen U_{0} von φ_{0} und V_{0} von div T (∇φ_{0}) mit

U_{0} ⊂ L_{m+2,p} ⊂ (l_{Ω} + W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n})) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n})
V_{0} ⊂ W^{m,p}(Ω, IR^{n}),

so dass der finite Elastizitätsoperator

φ ↦ div T (∇φ)  (4.48)

ein C^{1}-Diffeomorphismus von U_{0} → V_{0} ist. Daher existieren Zahlen ξ > 0, η > 0, so dass das Problem (4.46), (4.47) für alle f ∈ W^{m,p}(Ω, IR^{n}) mit ||f + div T (∇φ_{0})||_{m,p} < ξ genau eine Lösung φ(f) ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) mit ||φ(f) − φ_{0}||_{m+2,p} < η hat. Sei nun T ∈ C^{∞}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{n}, 𝕄^{n}) und für |α| ≤ m + 1 seien die Funktionen (x, Z) ↦ D_{x}^{α}T (x, Z) analytisch in Z und gleichmäßig bezüglich x. Mit Satz (4.5.3) folgt, dass (4.48) analytisch ist von (W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}))^{+} nach W^{m,p}(Ω, IR^{n}). Zusätzlich ist der Operator (4.48) ein C^{1}−Diffeomorphismus von U_{0} auf V_{0}. Mit Satz (4.1.5) folgt, dass f ↦ φ(f) analytisch ist bei div T (x, ∇φ_{0}). □

Dass die Antwortfunktion des inkompressiblen, anisotropen und hyperelastischen Myokards diesen Voraussetzungen genügt, zeigt der folgende Abschnitt. Mit der Bemerkung zu Satz (4.4.4) folgt, dass die Identität ein Element aus L_{m+2,p} ist. Gilt für die Deformation φ_{0} = id, so befindet sich der Körper im Referenzzustand und es wirken keine Kräfte auf ihn. Der Satz (4.6.1) ist anwendbar und liefert uns lokale Existenz und Eindeutigkeit. Zusätzlich kann die Dimension n frei gewählt werden. Für das Myokard Ω ⊂ IR^{3} gilt n = 3.

Damit haben wir uns einen lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die stationäre nichtlineare Herzmechanik hergeleitet.

Wir zeigen nun eine Abschätzung für die Umgebung U_{0} von φ_{0} = id ∈ L_{m+2,p}.

Satz 4.6.2 Es gelten die Voraussetzungen und Notationen aus Satz (4.6.1). Sei φ_{0} = id, dann gilt für alle φ = id + u ∈ U_{0} die Abschätzung

||u||_{m+2,p} < 1/K.

Dabei ist K > 0 eine von u unabhängige Konstante.

Beweis: Mit m ≥ 0, p > n = 3 folgt die kompakte Einbettung

W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) ⋐ C_{B}^{1}(Ω, IR^{n}) := {u ∈ C^{1}(Ω, IR^{n}) : ∇u ist beschränkt auf Ω},

siehe Valent [25], Seite 20. Wir betrachten daher die stetig differenzierbare Funktion

φ = id + u : IR^{n} → IR^{n}.

Mit der von Neumann Reihe folgt, dass die Matrix

∇φ = ∇(id + u) = I + ∇u

invertierbar ist für alle ||∇u||_{∞} < 1. Wir definieren die konvexe Menge

U := {∇φ = I + ∇u : ||∇u||_{∞} < 1}.

Mit ∇φ ∈ U folgt daher det ∇φ ≠ 0. Die Determinantenfunktion ist stetig und somit gilt

det∇φ > 0, ∀∇φ ∈ U,

denn sonst existiert für ∇ψ ∈ U mit det∇ψ = det(I + ∇u) < 0 ein t ∈]0, 1[, so dass I + t∇u ∈ U und det(I + t∇φ) = 0. Dies ist ein Widerspruch. Ist φ ∈ U_{0} so folgt ∇φ_{0} ∈ U. Nach Adams, [2] Seite 96 gibt es eine Einbettungskonstante K > 0, abhängig von Ω, der Dimension n und des Kegels aus der Kegelbedingung, so dass

||∇u||_{∞} ≤ K||∇u||_{m+1,p} = K||u||_{m+2,p}, ∀u ∈ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}).

Mit ||u||_{m+2,p} < 1/K folgt die Behauptung. □

4.7 Die Antwortfunktion für das Myokard

Costa et al [12] rechnet mit der Antwortfunktion des zweiten Piola-Kirchhoff-schen Spannungstensors, der sich aus dem Energiefunktional (4.49) ergibt. Diese Antwortfunktion ist allerdings vom Verzerrungstensor E abhängig. Es ist E = \frac{1}{2}(F^{T} F − I), mit F = I folgt E ∉ 𝕄_{+}^{3}. Somit ist

Σ(x, E) ∉ C^{m+2}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{3}, 𝕄^{3}).

Wir benötigen zusätzlich die Antwortfunktion des ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensors um Satz 4.6.1 anzuwenden. Die folgende Transformation ist also für die Anwendung des lokalen Existenzsatzes (4.6.1) notwendig. Wir betrachten das Energiefunktional

Ŵ (x, E) = \frac{C}{2} (eQ̂ − 1) − \frac{p}{2}(g^{(x)} − 1)  (4.49)

für das inkompressible, anisotrope und hyperelastische Myokard mit

Q̂ = 2b_{1}(E_{11} + E_{22} + E_{33}) + b_{2}E_{11}^{2} +
b_{3}(E_{22}^{2} + E_{33}^{2} + 2E_{23}E_{32}) +  (4.50)
2b_{4}(E_{12}E_{21} + E_{13}E_{31}).

Das Energiefunktional (4.49) und die Konstanten sind aus Gleichung (2.29) bekannt. Aus Gleichung (4.50) folgt (b_{1} = 0, 0)

Q̂ = b_{2}E_{11}^{2} + b_{3}(E_{22}^{2} + E_{33}^{2} + 2E_{23}E_{32}) + 2b_{4}(E_{12}E_{21} + E_{13}E_{31}). (4.51)

Die Matrix

E = \frac{1}{2}(C − I) mit C = F^{T} F  (4.52)

ist symmetrisch. Mit (4.51) folgt

Q̂ = b_{2}E_{11}^{2} + b_{3}(E_{22}^{2} + E_{33}^{2} + 2E_{23}^{2}) + 2b_{4}(E_{12}^{2} + E_{31}^{2}).  (4.53)

Für die Komponenten der Matrix E gilt:

E_{11} = \frac{1}{2}(C_{11} − 1), E_{22} = \frac{1}{2}(C_{22} − 1), E_{33} = \frac{1}{2}(C_{33} − 1),
E_{23} = \frac{1}{2}C_{23}, E_{12} = \frac{1}{2}C_{12}, E_{31} = \frac{1}{2}C_{31}.

Dies eingesetzt in Gleichung (4.53) ergibt

Q̂ = \frac{b_{2}}{4} (C_{11} − 1)^{2} +

\frac{b_{3}}{4} ((C_{22} − 1)^{2} + (C_{33} − 1)^{2} + 2C_{23}^{2}) +

\frac{b_{4}}{2} (C_{12}^{2} + C_{13}^{2}).  (4.54)

Um die folgenden Gleichungen übersichtlich darzustellen, verwenden wir die Einsteinsche Summenkonvention. Mit der Gleichung (4.52) ergibt sich für die Komponenten der Matrix C

C = F^{T} F ⇒ C_{ij} = F_{ki}F_{kj} = ∑_{k=1}^{3} F_{ki}F_{kj}.  (4.55)

Mit (4.54) und (4.55) folgt

Q̂ = \frac{b_{2}}{4} (F_{k1}F_{k1} − 1)^{2} +

\frac{b_{3}}{4} ((F_{k2}F_{k2} − 1)^{2} + (F_{k3}F_{k3} − 1)^{2} + 2(F_{k2}F_{k3})^{2}) +

\frac{b_{4}}{2} ((F_{k1}F_{k2})^{2} + (F_{k1}F_{k3})^{2}).  (4.56)

Insgesamt ergibt sich für die Gleichung (4.49)

Ŵ (x, F) = \frac{C}{2} \{ exp [\frac{b_{2}}{4} (F_{k1}F_{k1} − 1)^{2} +

\frac{b_{3}}{4} ((F_{k2}F_{k2} − 1)^{2} + (F_{k3}F_{k3} − 1)^{2} + 2(F_{k2}F_{k3})^{2}) +

\frac{b_{4}}{2} ((F_{k1}F_{k2})^{2} + (F_{k1}F_{k3})^{2})]

−1 \} − \frac{p}{2}((detF)^{2} − 1).  (4.57)

Für die Komponenten der Antwortfunktion für den zweiten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor gilt

Σ(x, F)_{ij} = \frac{∂Ŵ}{∂F_{ij}} (x, F) ∀F ∈ 𝕄_{+}^{3} mit detF = 1.

Mit (1.17) und (1.18) erhalten wir die Antwortfunktion für den ersten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor durch

T (x, F) = F Σ(x, F).

Nach Konstruktion von Ŵ können wir T ∈ C^{m+2}(\overline{Ω} × 𝕄_{+}^{3}, 𝕄^{3}) annehmen. Die Antwortfunktion für das Myokard erfüllt somit die Voraussetzung aus Satz (4.6.1).

Numerische Berechnungen

Die Wahrheit ist viel zu komplex, als dass sie irgend etwas anderes als Approximationen erlauben würde.

John von Neumann

Dieses Kapitel zeigt zwei Beispiele aus der nichtlinearen Elastizitätstheorie. Einfache, aber aussagekräftige geometrische Objekte zeigen, wie große Verschiebungen hyperelastisches und inkompressibles Material deformieren. Gleichzeitig zeigen diese Beispiele, dass die lineare Elastizitätstheorie hier nicht anwendbar ist und durch die nichtlineare Theorie ersetzt werden muß. Die Größe der Deformationen darf und kann hier nicht mehr ignoriert werden. Zusätzlich werden wir Materialkonstanten einführen und ihre physikalische Bedeutung erfahren. Das FORTRAN Programm FLagSHyP (Finte element LArGe Strain HYperelasticity Program) von Javier Bonet und Richard D. Wood [9] führt die Berechnungen durch und ist unter http://www.swansea.ac.uk/civeng/Research/Software/flagshyp/ zugänglich. Als Eingabedaten benötigt das Programm die Triangulierung mit den Randwertdaten, eine definierte Materialnummer mit den zugehörigen Eigenschaften Dichte und Dicke des Materials und die Lamé-Konstanten λ > 0, μ > 0. Sie sind nur für homogene isotrope elastische Materialien definiert und ergeben sich aus der Darstellung der Antwortfunktion

Σ(E) = λ(spur(E))I + 2μE + o(E).

Dabei heißt ein Material homogen, wenn seine Antwortfunktion im Referenzzustand unabhängig ist von x ∈ \overline{Ω}. Mit den Lamé-Konstanten lassen sich die Poissonzahl ν und das Elastizitätsmodul E berechnen. Es gilt

ν = \frac{λ}{2(λ + μ)}  E = \frac{μ(3λ + 2μ)}{λ + μ}.  (5.1)

Die Poissonzahl beschreibt die Querkontraktion, so verringert sich z.B. der Durchmesser eines Stabes, wenn er gedehnt wird. Dieses Verhältnis gibt die Poissonzahl wider. Es gilt 0 < ν < 0, 5. Das Elastizitätsmodul kann physikalisch gedeutet werden als jene Spannung, die eine Werkstoffverlängerung auf das Doppelte bewirken würde. Die Lamé-Konstante λ beschreibt die Spannung infolge von Dichteänderung. Bei inkompressiblen Materialien, die keine Dichteänderung zulassen ist, λ → ∞.

E  ν  λ  μ
(10^{5}Kg/cm^{2})  (10^{5}Kg/cm^{2}) (10^{5}Kg/cm^{2})
Stahl  21.00  0.28  10.00  8.20
Eisen  20.00  0.28  9.90  7.80
Kupfer  11.00  0.34  8.70  4.10
Bronze  10.00  0.31  6.20  3.80
Aluminium  7.00  0.34  5.60  2.60
Nickel  2.20  0, 30  1, 30  0.85
Gummi  0.037  0.485  0.40  0.012

Tabelle 5.1: Durchschnittswerte für die Konstanten E, ν, λ und μ

Bei den folgenden Beispielen wird eine Triangulierung mit bilinearen Viereckslementen benutzt. Das Programm FLagSHyP berechnet die Deformation und für jeden Gauß-Punkt die Spannung und die Dicke des deformierten Körpers. In unseren Beispielen wird die Spannung in der X,Y-Ebene berechnet. Um die Spannung graphisch darzustellen, benutzen wir die von Mises Spannung, siehe [20], Seite 373. Zusammen mit der ES gilt für die von Mises Spannung m an einem Punkt x^{φ} im deformierten Körper

m = \sqrt{\frac{3}{2}T̃(x^{φ})_{rs}T̃(x^{φ})_{rs}}, mit T̃(x^{φ})_{rs} := T^{φ}(x^{φ})_{rs} − \frac{1}{3}T^{φ}(x^{φ})_{kk}δ_{rs}.

Wie üblich ist δ_{rs} das Kronecker-Symbol und T^{φ} der symmetrische Cauchysche Spannungstensor. Anschließend werden die Daten auf den Gauß-Punkten arithmetisch gemittelt und auf den zugehörigen Gitterpunkten übertragen. Mit dem Graphikprogramm plotmtv werden die Daten nachträglich visualisiert.

5.1 Hyperelastisches Material

Aus der Einleitung ist bekannt, dass das Myokard ein hyperelastisches inkompressibles Material ist, das während eines Herzzyklus Dehnungen von bis zu 30% ausgesetzt ist. Das erste Beispiel zeigt eine ausgestanzte, quadratische Platte. Das Material sei homogen, isotrop und hyperelastisch. Somit verhält sich die Platte wie das Herz geometrisch nichtlinear. Wir betrachten das Material mit der Dichte ρ = 1.0, der Wanddicke h = 0.1 und den Lamé-Konstanten λ = 100, μ = 100. Für das Elastizitätsmodul und die Poissonzahl erhalten wir E = 250 und ν = 0.25. FLagHysP berechnet uns die Deformation, die Dicke der deformierten Platte und die Spannungen in der X, Y −Richtung. Für den symmetrischen Cauchy-Greenschen Verzerrungstensor gilt

C = ( \begin{matrix}C_{11} & C_{12} & 0 \\ C_{21} & C_{22} & 0 \\ 0 & 0 & C_{33} \end{matrix} ) , mit C_{33} = \frac{h^{2}}{H^{2}} .

Dabei steht H für die Dicke der Platte nach der Deformation. Die reellen Eigenwerte λ_{1} und λ_{2}, der oberen symmetrischen 2 × 2 Matrix geben die Ausdehnungen in den Hauptrichtungen an, die durch die zugehörigen Eigenvektoren gegeben sind. Wir betrachten nun das Energiefunktional, das über die Eigenwerte definiert ist

E(λ_{1}, λ_{2}) = μ((ln λ_{1})^{2} + (ln λ_{2})^{2}) + \frac{\overline{λ}}{2}(ln j)^{2},

mit

\begin{aligned}\overline{λ} & = & γλ,  γ & = & \frac{2μ}{λ+2μ} \\ j^{γ} & = & J,  J^{2} & = & det C. \end{aligned}

Die Abbildung (5.1) zeigt die Platte im nichtdeformierten Referenzzustand. Zu erkennen sind die Triangulierung und sechs markierten Punkte. Die Abbildung (5.2) zeigt die Platte im deformierten Gleichgewichtszustand, nachdem der linke und rechte Rand um jeweils 1.8 Einheiten verschoben wurde. Dies entspricht einer Dehnung um den Faktor 1.2 in X-Richtung. Dadurch reduziert sich die Y-Ausdehnung um den Faktor 1.08 und die Wanddicke der Platte h um den Faktor 1.078. Für die markierten Punkte aus Abbildung (5.1) ergibt sich die Deformation in X, Y -Richtung

\begin{aligned}φ(4.00, 0.00) = (5.69, 0.00) & φ(9.00, 0.00) & = & (10.80, 0.00) \\ φ(9.00, 9.00) = (10.80, 9.00) & φ(0.00, 9.00) & = & (0.00, 8.34) \\ φ(0.00, 4.00) = (0.00, 3.58) & φ(5.91, 5.91) & = & (7.21, 5.80). \end{aligned}

Die Abbildung (5.3) zeigt die von Mises Spannungen in der deformierten Platte in X,Y-Richtung. Die unterschiedliche Wanddicke der Platte ist in der Abbildung (5.4) zu sehen. Der geometrische Unterschied zwischen der deformierten und der nichtdeformierten Platte ist deutlich zu erkennen und kann nicht ignoriert werden. Wir wissen, dass die lineare Elastizitätstheorie bei Dehnungen über 10% keine akzeptablen Ergebnisse mehr liefert. Die Dehnung von 20% in X-Richtung und die dadurch entstehenden Dehnungen in Y- und Z-Richtung zeigen zusammen mit der hyperelastischen Eigenschaft, dass die nichtlineare Elastizitätstheorie für dieses Beispiel zwingend erforderlich ist.

5.2 Inkompressibles Neo-Hooke Material

Dieses Beispiel zeigt die Platte aus dem ersten Beispiel; diesmal bestehend aus inkompressiblen Neo-Hooke Material. Inkompressible Materialien wie das Myokard verändern ihr Volumen durch eine Deformation nicht. Für sie gilt detF = 1. Neo-Hooke Materialien sind hyperelastisch und besitzen ein Energiefunktional der Gestalt

W (C) = \frac{μ}{2}(spur C − 3) − μ ln J + \frac{λ}{2}(ln J)^{2}, mit J^{2} = detC,

und C als Cauchy-Greenscher Verzerrungstensor, siehe Bonet [9], Seite 124. Für inkompressibles Material gilt detC = detF^{T} F = detF^{T} · detF = 1. Die Energiefunktionale für inkompressible Neo-Hooke Materialien reduzieren sich somit auf

W (C) = \frac{μ}{2}(spur C − 3).

Costa et al [12] benutzt für eine einfache Modellierung des Myokards ein inkompressibles Neo-Hooke Material. Wir betrachten das Material Nr. 6 aus den Programm FLagSHyP mit der Dichte ρ = 1.0, der Wanddicke h = 0.1 und der Lamé-Konstante μ = 100. Bei inkompressiblen Materialien ist die Lamé-Konstante λ unbeschränkt. Wir betrachten die Grenzwerte aus (5.1) und setzen ν = 0.5 und E = 300. Wie im ersten Beispiel können wir die Ergebnisse mit der Abbildung (5.1) vergleichen. Die Abbildung (5.5) zeigt uns die deformierte Platte im Gleichgewichtszustand, nachdem wir den linken und rechten Rand um jeweils 10 Einheiten verschoben haben. Dies entspricht einer Dehnung um den Faktor 2 in X-Richtung. Dadurch reduziert sich die Y-Ausdehnung der inkompressiblen Platte um den Faktor 1.41, für die Plattendicke erhalten wir den Faktor 1.83. Wir erhalten für unsere sechs markierten Punkte aus Abbildung (5.1) die Deformation

\begin{aligned}φ(4.00, 0.00) = (12.97, 0.00) & φ(9.00, 0.00) & = & (19.00, 0.00) \\ φ(9.00, 9.00) = (19.00, 9.00) & φ(0.00, 9.00) & = & (0.00, 6.35) \\ φ(0.00, 4.00) = (0.00, 3.18) & φ(5.91, 5.91) & = & (13.31, 5.13). \end{aligned}

Die Dehnungen sind hier offensichtlich größer als im ersten Beispiel. Das Neo-Hooke-Material zusammen mit den Dehnungen in X-,Y- und Z-Richtung zeigt uns, dass auch hier die nichtlineare Elastizitätstheorie zwingend erforderlich ist.

Abschließende Beurteilung

Der Wille ist menschlich, und die Ausführung beschränkt.

Der Wunsch ist ohne Grenzen und die Tat ist eingezwängt

William Shakespeare

Wir wissen, dass hyperelastische Materialien Energiefunktionale besitzen und diese aus physikalischen Gründen nicht konvex sein können. Die Existenz einer Lösung für das zugehörige Variationsproblem ist daher nicht durch den Satz von Lax-Milgram gesichert. Dies führte uns zu den polykonvexen Funktionen und zu den Existenzsatz von Ball. Wir haben gezeigt, dass das Energiefunktional des Myokards nicht polykonvex ist. Der Satz Ball ist daher nicht anwendbar. Um Satz (2.6.2) anzuwenden, müssen wir unter anderem zeigen, dass die Gesamtenergie eine schwach unterhalbstetige Funktion ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Energiefunktional quasikonvex ist. Konvexe bzw. polykonvexe Funktionen sind stets quasikonvex. Sind diese Voraussetzung nicht erfüllt, so gilt der Nachweis als sehr schwer. Es sei bemerkt, dass es nichtkonvexe schwach unterhalbstetige Funktionen gibt. Zusätzlich müssen wir zeigen, dass die Definitionsmenge 𝕄_{+}^{3} schwach kompakt ist. Für konvexe abgeschlossene Mengen ist auch dies bekannt. Die zwei Diagonalmatrizen diag(2, 2, 2) und diag(−1, −4, 1) zeigen jedoch, dass die Menge 𝕄_{+}^{3} nicht konvex ist. Auf der einen Seite erkennen wir, dass konvexe Funktionen und konvexe Mengen sehr hilfreich sind, um die Existenz einer Lösung zu zeigen. Auf der anderen Seite bietet die Elastizitätstheorie keine konvexen Funktionale und keine konvexen Mengen. Schwächere Konvexitätsbegriffe halfen uns nicht weiter, einen Existenzsatz für die stationäre nichtlineare Herzmechanik herzuleiten.

Die Antwortfunktion eines hyperelastischen Materials ist gemäß Definition die Jacobi-Matrix des Energiefunktionals. Der Satz von Cauchy (1.2.2), zusammen mit der Piola-Transformation, führt auf ein nichtlineares elliptisches System von partiellen Differentialgleichungen. Dieses System beschreibt das Myokard im Gleichgewichtszustand und ist somit ein Modell für die stationäre nichtlineare Herzmechanik. Das System bezeichnet man auch als Elastizitätsoperator, passende Sobolev-Räume haben wir über Ω ⊂ IR^{n} fixiert. Aus Stetigkeitsgründen sind diese Sobolev-Räume keine Hilbert-Räume. Wir haben gezeigt, dass der Operator differenzierbar ist und dass das Differential für alle φ ∈ L_{m+2,p} bijektiv ist. Um die Bijektion nachzuweisen, zeigten wir unter anderem, dass der Laplace-Operator

Δ : W_{0}^{1,p}(Ω, IR^{n}) ∩ W^{m+2,p}(Ω, IR^{n}) → W^{m,p}(Ω, IR^{n})

für m ≥ 0 und p > n ein Homöomorphismus ist. Wegen p > n = 3 haben wir auch hier keine Hilbert-Räume vorliegen. Deshalb ist der Satz von Lax-Milgram auch hier nicht anwendbar. Die Menge L_{m+2,p} haben wir charakterisiert und gezeigt, dass Starrkörperbewegungen zu ihr gehören. Der Satz über die Umkehrabbildung garantiert uns für jedes φ ∈ L_{m+2,p} eine Umgebung, in der eine eindeutige Lösung existiert. Analytische Voraussetzungen für den Elastizitätsoperator zeigen, dass die Abbildung f ↦ φ(f) analytisch ist. Die Deformation φ = id ist eine Starrkörperbewegung und folglich ein Element der Menge L_{m+2,p}. Somit haben wir uns einen lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die nichtlineare stationäre Herzmechanik hergeleitet.

Ein weiteres Ziel war es, die Umgebung U_{0} um den Punkt φ_{0} = id abzuschätzen, für die uns der Satz (4.6.1) eine eindeutige Lösung garantiert. Wir haben die Abschätzung

||u||_{m+2,p} < 1/K,  ∀ φ = id + u ∈ U_{0}  (6.1)

gezeigt. Dabei ist die Einbettungskonstante K > 0 nur von Ω ⊂ IR^{n}, der Dimension n und des Kegels aus der Kegelbedingung abhängig. Materialeigenschaften die im Elastizitätsoperator enthalten sind, werden also nicht berücksichtigt. Abhilfe liefert hier eine Abschätzung für die Umgebungen, wo der Elastizitätsoperator ein Diffeomorphismus ist. Hierfür sollte ein St.Venant-Kirchhoff Material mit der Antwortfunktion

Σ(E) = λspur(E)I + 2μE

betrachtet werden. St.Venant-Kirchhoff Materialien sind hyperelastisch und besitzen ein nicht polykonvexes Energiefunktional der Gestalt

W (E) = \frac{λ}{2}(spurE)^{2} + μ spur(E^{2}),

siehe [11], Seite 183. Im Anhang findet sich die Abschätzungen für diese Umgebungen. Probleme treten bei der Normabschätzung für die Inverse des Differentials auf. Der Satz (4.6.1) zeigt, dass diese Inverse existiert, eine Normabschätzung ist aber nicht gelungen. Der Grund dafür liegt in der Darstellung des linearisierten Elastizitätsoperators

u ↦ div( ∑_{k,h=1}^{3} T_{Z_{hk}}(∇φ_{0})∇_{k}u_{h}).

Der Satz A.1 liefert uns zwar die Umgebungen, wo der Elastizitätsoperator ein Diffeomorphismus ist, dabei wird die Nebenbedingung φ ∈ L_{m+2,p} allerdings nicht berücksichtigt. Wir wissen aber, dass die Abschätzung (6.1) erfüllt sein muss. Somit erhalten wir eine Abschätzung für die Verschiebung u in Abhängigkeit des Gebietes Ω ⊂ IR^{n} und der Materialeigenschaft, die im Elastizitätsoperator enthalten ist. Für ein St.Venant-Kirchhoff Material ist die Materialeigenschaft durch die Lamé-Konstanten λ und μ gegeben.

Wir haben gesehen, dass St.Venant-Kirchhoff Materialien hyperelastisch sind und nicht polykonvexe Energiefunktionale besitzen. Einen allgemeinen Existenzsatz für große Dehnungen scheint es für diese Materialien nicht zu geben. Trotzdem präsentieren Bonet und Wood [9] ein Programm, welches Berechnungen für hyperelastische Materialien durchführt. Existenzsätze werden von den Autoren leider nicht behandelt. Die geometrische Veränderung des Materials wird von FLagSHyP berücksichtigt. Desweitern können inkompressible Materialien berechnet werden. Das Programm eignet sich nicht, um anisotrope Materialien wie das Myokard zu modellieren.

Um eine Beziehung zur Herzmechanik herzustellen, wählte ich ein hyperelastisches und ein inkompressibles Neo-Hooke Material. Costa et al [12] benutzte für eine einfache Modellierung des Myokards ebenfalls ein inkompressibles Neo-Hooke Material. Dabei wird das transversisotropische Verhalten des Myokards jedoch nicht berücksichtigt. Wird dagegen das Energiefunktional (1.29) betrachtet, so fließt die Anisotropie des Myokards mit ein. Auch Costa et al [12], [13] erwähnt keine Existenzsätze. Die Triangulierung unserer Platten mag etwas grob erscheinen, sie ist aber noch ausreichend, um die gewünschten Effekte sichtbar zu machen. Deutlich zu erkennen sind die Deformationen in der X, Y −Richtung, der dadurch herbeigeführte Materialschwund in der Z−Richtung und die Spannungsverteilung.

Anhang A

Anhang

A.1 Abschätzung für die Umkehrabbildung

Satz A.1.1 Seien E und F Banach-Räume und f : U ⊂ E → F aus C^{r}, r ≥ 2, x_{0} ∈ U, Df(x_{0}) ein Isomorphismus mit

L = ||Df(x_{0})|| und M = ||Df(x_{0})^{−1}||.

Weiter sei

||D^{2}f(x)|| ≤ K für ||x − x_{0}|| ≤ R mit \overline{B_{R}(x_{0})} ⊂ U

und

P = min \{\frac{1}{2KM} , R\},
Q = \frac{P}{4M} .

Dann bildet f die offene Menge B_{P} (x_{0}) diffeomorph auf B_{Q}(f(x_{0})) ab. Für y_{1}, y_{2} ∈ \overline{B_{Q}(f(x_{0}))} gilt ||f^{−1}(y_{1}) − f^{−1}(y_{2})|| ≤ 2M||y_{1} − y_{2}||.

Beweis: Wir können x_{0} = 0, f(x_{0}) = 0 und E = F annehmen. Von der Identität

Df(x) = Df(0) + ∫_{0}^{1} D^{2}f(tx)xdt

erhalten wir ||Df(x)|| ≤ L + K||x|| für x ∈ \overline{B_{R}(0)}. Wir betrachten nun die von Neumann Reihe

||(I + A)^{−1}|| ≤ ∑_{k=0}^{∞} ||A||^{k} = \frac{1}{1 − ||A||}

A.1 Abschätzung für die Umkehrabbildung  101

für ||A|| < 1 und

Df(x) = Df(0)(I + (Df(0))^{−1} ∫_{0}^{1} D^{2}f(tx)xdt).

Sei nun

A := (Df(0))^{−1} ∫_{0}^{1} D^{2}f(tx)xdt
⇒ ||A|| ≤ ||Df(0)^{−1}|| · ||D^{2}f(tx)|| · ||x||
⇒ ||A|| ≤ MK · ||x||.

Damit ||A|| ≤ \frac{1}{2} < 1 ist, muß

||x|| ≤ \frac{1}{2MK} und ||x|| ≤ R

sein. Nun kann die von Neumann Reihe angewandt werden, es folgt

||Df(x)^{−1}|| ≤ \frac{||Df(0)^{−1}||}{1 − ||A||} ≤ 2M, für ||x|| ≤ P.

Sei nun

g_{y}(x) := (Df(0))^{−1}(y + Df(0)x − f(x)),

mit y ∈ \overline{B_{Q}(f(0))}. Wir schreiben φ(x) := Df(0)·x−f(x) = ∫_{0}^{1} Dφ(sx)·xds = − ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} D^{2}f(tsx)·(sx, x)dtds. Das zweite Gleichheitszeichen erhält man durch zweifache Anwendung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung, angewandt auf Df(0) · x − f(x). Somit erhalten wir

g_{y}(x) = (Df(0)^{−1}) · (y + φ(x)), ||φ(x)|| ≤ \frac{K}{2} ||x||^{2} für ||x|| ≤ R.

Sei nun ||y|| ≤ \frac{P}{4M}, mit ||x|| ≤ P ≤ \frac{1}{2MK} folgt

||g_{y}(x)|| ≤ M(||y|| + \frac{K}{2} ||x||^{2}) ≤ M(\frac{P}{4M} + \frac{K}{2} ||x||^{2}) ≤ M(\frac{P}{4M} + \frac{K}{2} P^{2})
≤ M(\frac{P}{4M} + \frac{KP}{4MK} )
= \frac{P}{2} .

Ist ||y|| und ||x|| wie oben gewählt, so folgt g_{y} : \overline{B_{P} (0)} → \overline{B_{P/2}(0)}.

\underline{102 Anhang}

Wir zeigen nun, dass g_{y}(x) eine Kontraktion ist, indem wir g_{y}(x) differenzieren.

Dg_{y}(x) = D(Df(0)^{−1}(y + Df(0)x − f(x)))
= Df(0)^{−1}(Dy + Df(0) − Df(x))
= Df(0)^{−1}(0 + Df(0) − Df(x))
= Df(0)^{−1}( − ∫_{0}^{1} D^{2}f(xs)xds)
⇒ ||Dg_{y}(x)|| ≤ ||Df(0)^{−1}|| || ∫_{0}^{1} D^{2}f(xs)xds||
≤ MK||x||
≤ \frac{1}{2}.

Mit dem Mittelwertsatz folgt

||g_{y}(x_{1}) − g_{y}(x_{2})|| ≤ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}|| für alle x_{1}, x_{2} ∈ \overline{B_{P} (0)}  (A.1)

damit ist gezeigt, dass g_{y}(x) auf \overline{B_{P} (0)} eine Kontraktion ist. Somit besitzt g_{y}(x) genau einen Fixpunkt in \overline{B_{P} (0)}. Sei nun x̂ dieser eindeutige Fixpunkt zu festen y ∈ \overline{B_{Q}(0)}, es folgt

g_{y}(x̂) = Df(0)^{−1}(y + Df(0)x̂ − f(x̂)) = x̂
⇒ Df(0)^{−1}(y − f(x̂)) + x̂ = x̂
⇒ f(x̂) = y

Der Fixpunkt x̂ ist somit eindeutige Lösung der Gleichung f(x̂) = y mit y ∈ \overline{B_{Q}(0)}. Folglich besitzt f eine Umkehrfunktion mit

f^{−1} : \overline{B_{Q}(0)} → \overline{B_{P} (0)}.

Um die Stetigkeit von f^{−1} auf \overline{B_{Q}(0)} zu zeigen, betrachte für festes y und x_{1}, x_{2} ∈ \overline{B_{P} (0)} die Gleichung (A.1)

||g_{y}(x_{1}) − g_{y}(x_{2})|| ≤ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}||

⇒ ||Df(0)^{−1}(y + Df(0)x_{1} − f(x_{1}) − (y + Df(0)x_{2} − f(x_{2})))|| ≤ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}||
⇒ ||x_{1} − x_{2} + Df(0)^{−1}(f(x_{2}) − f(x_{1}))|| ≤ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}||
⇒ ||x_{1} − x_{2}|| − ||Df(0)^{−1}(f(x_{2}) − f(x_{1}))|| ≤ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}||
⇒ \frac{1}{2}||x_{1} − x_{2}|| ≤ ||Df(0)^{−1}|| · ||(f(x_{1}) − f(x_{2})||
⇒ ||x_{1} − x_{2}|| ≤ 2M||f(x_{1}) − f(x_{2})||
⇒ ||f^{−1}(y_{1}) − f^{−1}(y_{2})|| ≤ 2M||y_{1} − y_{2}||,

mit f^{−1}(y_{i}) = x_{i} und y_{i} = f(x_{i}). Damit ist f^{−1} auf \overline{B_{Q}(0)} stetig. Wir zeigen nun, dass f auf einer offenen Menge G ⊂ \overline{B_{P} (0)} diffeomorph ist. Da f stetig differenzierbar ist, findet sich ein r > 0 und ein T ∈ IR, so dass ||Df(x)^{−1}|| ≤ T für alle x ∈ B_{r}(0) ⊂ \overline{B_{P} (0)}. Für y_{1}, y_{2} ∈ \overline{B_{r/4M}(0)} sei x_{1} = f^{−1}(y_{1}) und x_{2} = f^{−1}(y_{2}). Es folgt

||f^{−1}(y_{1}) − f^{−1}(y_{2}) − Df(x_{2})^{−1} · (y_{1} − y_{2})||
= ||x_{1} − x_{2} − Df(x_{2})^{−1} · (f(x_{1}) − f(x_{2}))||
= ||Df(x_{2})^{−1} · (Df(x_{2}) · (x_{1} − x_{2}) − f(x_{1}) + f(x_{2}))||
≤ T ||f(x_{1}) − f(x_{2}) − Df(x_{2}) · (x_{1} − x_{2})||.

Zusammen mit der Stetigkeit von f^{−1} folgt, dass f^{−1} bei f(x) = y differenzierbar ist mit der Ableitung Df(x)^{−1} auf B_{r/4M}(0). Damit ist gezeigt, dass f ein Diffeomorphismus von B_{P} (0) auf B_{Q}(0) ist. □

Literaturverzeichnis

[1] Abraham, R., Marsden, J.E.,Ratiu T. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications Second Edition Springer Verlag, Applied Mathematical Sciences 75, 1988

[2] Adams R. A.

Sobolev Spaces Academic Press, Inc New York, 1975

[3] Agmon Shmuel Lectures On Elliptic Boundary Value Problems Van Nostrand Mathematical Studies 1965

[4] Agmon, S., Douglis, A., Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I. Comm.Pure Appl. Math. 12, 623-727, 1959

[5] Agmon, S., Douglis, A., Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II. Comm.Pure Appl. Math. 17, 35-92, 1964

[6] Alt, Hans Wilhelm Lineare Funktionalanalysis Eine anwendungsorientierte Einführung, 2. Auflage Springer-Verlag, 1992

[7] Antman Stuart S.

Nonlinear Problems of Elasticity Springer-Verlag, Applied Mathematical Sciences Volume 107, 1995

[8] Ball, J.M.

Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity Arch.Rational. Mech.Anal. 63, 337-403, 1977

[9] Bonet, J., Wood, R.D.

Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis Cambridge University Press 1999, 2.Auflage [10] Braess Dietrich

Finite Elemente Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie Springer Verlag, 1997, 2. Auflage

[11] Ciarlet, Philippe G.

Mathematical Elasticity, Volume I: Three-Dimensional Elasticity North-Holland, Studies in Mathematics And Its Applications,Volume 20, 1988

[12] Costa,K.,Hunter,P.,Rogers,J.,Guccione,J.,Waldman,L.,McCulloch,A. A three-dimensional finite element method for large elastic deformations of ventricular myocardium: I-cylindrical and spherical polar coordinates Transactions of the ASME, Vol. 118,November 1996

[13] Costa,K.,Hunter,P.,Rogers,J.,Guccione,J.,Waldman,L.,McCulloch,A. A three-dimensional finite element method for large elastic deformations of ventricular myocardium: II-prolate spheroidal coordinates Transactions of the ASME, Vol. 118,November 1996

[14] Dacorogna B.

Direct Methods in the Calculus of Variations Springer Verlag, Applied Mathematical Sciences Volume 78, 1989

[15] Drozdov Aleksey D.

Finite Elasticity And Viscoelasticity, A Course in the Nonlinear Mechanics of Solids World Scientific, 1996

[16] Ekeland I., Temam R.

Convex Analysis And Variational Problems North-Holland, Studies in Mathematics And Its Applications,Volume 1, 1976,

[17] Evans, Lawrence C.

Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics Volume 1998

[18] Fichera, G.

Existence theorems in elasticity In: Handbuch der Physik, Vol. IVa/2. Springer-Verlag, Berlin 1972

[19] Hirzebruch F., Scharlau W.

Einführung in die Funktionalanlysis, 1996 Spektrum Akademischer Verlag [20] Langtangen Hans Petter

Computational Partial Differential Equations Numerical Methods and Diffpack Programming Lecture Notes in Computational Science and Engineering 2 Springer 1999

[21] Marsden, J., Hughes, T.,J.,R.

Mathematical Foundations of Elasticity Dover Publications, Inc, 1994

[22] Simader, Christian G.

On dirichlet’s Boundary Value Problem Lecture Notes in Mathematics, Vol.268, Springer-Verlag,Berlin, 1972

[23] Spencer A.J.M.

Continuum mechanics Longman Scientific & Technical, 1992

[24] Timoshenko S.P., Goodier J.N.

Theory of Elasticity, Third Edition McGraw-Hill Book Company, 1970

[25] Valent Tullio Boundary Value Problems of Finite Elasticity Springer Tracts in Natural Philosophy, Volume 31, 1988

[26] Vorovich I.I.

Nonlinear Theory of Shallow Shells Springer Verlag, Applied Mathematical Sciences, Volume 133, 1999

LEBENSLAUF

Name:  Jörn Stypa
geboren am:  04.09.1971 in Kleve
Familienstand:  ledig
Eltern:  Waldemar Stypa

Elisabeth Stypa, geb. Vierboom

Schulbildung:  Grundschule-Unterstadt Kleve von 1978 bis 1982

Wilhelm-Frede-Hauptschule Kleve-Rindern von 1982 bis 1988 Aufbaugymnasium Uedem von 1988 bis 1991

Hochschulreife:  am 17.06.1991, in Uedem
Grundwehrdienst: von 01.07.1991 bis 30.06.1992
Studium:  Studium der Mathematik an der

Westfälischen Wilhelms-Universität (WWU) in Münster, WS 1992 bis SS 1997

Prüfungen:  Vordiplom im Fach Mathematik am 27.10.1994

Diplom im Fach Mathematik am 16.09.1997

Tätigkeiten:  wissenschaftliche Hilfskraft am Institut für

Numerische und instrumentelle Mathematik von 01.10.1997 bis 30.9.1999

wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Numerische und instrumentelle Mathematik von 01.10.1999 bis heute

Beginn der

Dissertation:  Oktober 1997 im Fach Mathematik am Institut

für Numerische und instrumentelle Mathematik der WWU in Münster Betreuer: Prof. Dr. C.W.Cryer