Numerische Behandlung inverser Sturm-Liouville Probleme

Diplomarbeit

vorgelegt von

Thomas Dierkes

nach einer Aufgabenstellung von

Prof. Dr. F. Natterer

April 1995

�

Westfälische Wilhelms-Universität

Münster

Institut für Numerische und instrumentelle Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Randwertprobleme 6 2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Existenz von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Reihenentwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Asymptotik der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Vollständige Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Inverse Sturm-Liouville-Probleme 29

3.1 Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1 Erster Beweis (nach Gel’fand und Levitan) . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Zweiter Beweis (nach Levinson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.3 Dritter Beweis (nach Rundell und Sacks) . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Diskretisierung der Gel’fand-Levitan-Gleichung . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Sukzessive Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Lanczos-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

INHALTSVERZEICHNIS

4 Numerische Ergebnisse 57 4.1 Fehler bei endlich vielen Spektraldaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Konvergenzordnung der Gel’fand-Levitan-Methode . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Datenerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Allgemeine Bemerkungungen zu den Rekonstruktionen . . . . . . . . . . 64 4.5 Beispielrechnungen für die einzelnen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.1 Ergebnisse der Gel’fand-Levitan-Methode . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.2 Ergebnisse der sukzessiven Approximation . . . . . . . . . . . . . 72 4.5.3 Ergebnisse der Lanczos-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5.4 Vergleich der numerischen Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Zusammenfassung 85

6 Literaturverzeichnis 88

Kapitel 1

Einleitung

In der Physik treten häufig Gleichungen der Gestalt

− \frac{d}{dx} (p(x)\frac{d}{dx}y) + q(x)y = λr(x)y, a ≤ x ≤ b,  (1.1)
y(a) cos α + y′(a) sin α = 0,  (1.2)
y(b) cos β + y′(b) sin β = 0  (1.3)

auf, so z.B. bei der Methode der Separation der Variablen zur Lösung der Wellengleichung eines schwingenden Systems [5]. Dabei sind p(x) und r(x) positive Funktionen, q(x) eine reellwertige Funktion und λ ein (reeller) Parameter. Eine nicht identisch verschwindene Lösungsfunktionen y(x) der Gleichung (1.1), die den homogenen Randbedingungen (1.2) - (1.3) genügen, beschreibt dann die Auslenkung bzgl. einer Richtung des schwingenden Systems. Im zweiten Kapitel wird gezeigt, daß dies nur für bestimmte Parameterwerte λ möglich ist. Diese speziellen Werte werden Eigenwerte des Randwertproblems (1.1) - (1.3) genannt. Das Eigenwertproblem besteht darin, diejenigen Eigenwerte λ zu bestimmen, für welche es eine nicht identisch verschwindene Lösungsfunktion gibt, die den homogenen Randbedingungen genügt. Die zu einem Eigenwert λ gehörigen nicht identisch verschwindenen Lösungsfunktionen werden Eigenfunktionen der Randwertaufgabe (1.1) - (1.3) genannt. Offensichtlich ist jedes multiplikative Vielfache einer Eigenfunktion wieder eine Eigenfunktion. Unter L^{2}-normierten Eigenfunktionen versteht man diejenigen Eigenfunktionen, deren L^{2}-Norm gleich eins ist.

Das so formulierte Problem wird auch nach den beiden Mathematikern Charles Sturm und Josef Liouville benannt, die um 1830 eine umfassende Theorie zu diesem Problemkreis entwickelt haben.

Unter gewissen Glattheitsvoraussetzungen an die Koeffizientenfunktionen p(x), q(x) und r(x) kann man die Gleichung (1.1) durch Transformation der unabhängigen bzw. abhängigen Variablen auf eine einfache Normalform bringen [28]. Durch die sogenannte Liouville-Transformation

ξ = ξ(x) = ∫_{a}^{x} \sqrt{\frac{r(t)}{p(t)}} dt, l = ∫_{a}^{b} \sqrt{\frac{r(t)}{p(t)}} dt, u(ξ) = f(x)y(x), f(x) = ^{4} \sqrt{p(x)r(x)}

1 EINLEITUNG

gehen die Gleichungen (1.1) - (1.3) über in

− \frac{d^{2}}{dξ^{2}} u + Q(ξ)u = λu, 0 ≤ ξ ≤ l,  (1.4)
u(0) cos α + u′(l) sin α = 0,  (1.5)
u(0) cos β + u′(l) sin β = 0,  (1.6)

wobei Q(ξ) der Relation

Q(ξ(x)) = \frac{f(x)}{r(x)} \frac{d}{dx} (\sqrt{\frac{p(x)}{r(x)}} \frac{d}{dx}f(x)) + \frac{q(x)}{r(x)}

genügt. Die Randbedingungen werden (bis auf die Intervallgrenzen) durch diese Transformation ihrer Form nach nicht verändert.

In dieser Arbeit werden nun Lösungsverfahren sogenannter inverser Probleme für Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgaben (1.4) - (1.6) hergeleitet und anhand numerischer Beispiele untersucht.

Inverse Probleme bestehen ganz allgemein in der Aufgabe, Parameter eines physikalischen Modells, z.B. Koeffizientenfunktionen oder Randbedingungen, so zu bestimmen, daß anhand des mit diesen Parametern gebildeten Modells gewisse charakteristische, messbare Werte des Modells zu berechnen sind, die mit tatsächlich gemessenen Größen übereinstimmen.

In dem hier bearbeiteten Fall der inversen Sturm-Liouville-Aufgabe ist die Koeffizientenfunktion Q(ξ) gesucht, so daß die Gleichung (1.4) bzgl. bekannter Randbedingungen vorgegebene Eigenwerte besitzt. Dabei stellt sich neben der Frage der Existenz einer solchen Funktion Q(ξ) die Frage nach der Eindeutigkeit dieser Aufgabenstellung: Gibt es eventuell mehrere Funktionen Q_{1}(ξ), Q_{2}(ξ), …, so daß die entsprechenden Eigenwertaufgaben die gleichen Eigenwerte besitzen?

Diese Frage ist positiv zu beantworten [3]. Somit sind zusätzliche Bedingungen notwendig, damit die gesuchte Koeffizientenfunktion eindeutig aus den gegebenen Daten zu bestimmen ist. Eine dieser zusätzlichen Bedingungen ist bei Dirichletschen bzw. Neumannschen Randbedingungen für die Gleichung (1.4), d.h. u(0) = u(l) = 0 bzw. u′(0) = u′(l) = 0, die Vorgabe der Werte u′(0) bzw. u(0) der einzelnen L^{2}-normierten Eigenfunktionen. Somit lauten die untersuchten inversen Sturm-Liouville-Probleme wie folgt:

Seien die Eigenwerte λ und die Zahlen u′(0) (bzw. u(0)) der L^{2}-normierten Eigenfunktionen der Eigenwertaufgabe (1.4) - (1.6) bzgl. Dirichlet-Randbedingungen (bzw. Neumann-Randbedingungen) gegeben. Bestimme die Funktion Q(ξ), so daß die Eigenwertaufgabe (1.4) - (1.6) die gegebenen Werte besitzt.

Im zweiten Kapitel werden einzelne Aussagen über Randwertprobleme wiedergegeben, soweit sie zum Beweis der Eindeutigkeit einer Lösung dieser inversen Probleme benötigt werden.

Im dritten Kapitel werden drei verschiedene Ansätze zum Beweis der Eindeutigkeit dargestellt. Der erste Beweis gibt den klassischen Ansatz von I. M. Gel’fand und B. M. Levitan wieder [7], der zweite Beweis folgt den Ideen von N. Levinson [18] und der dritte Beweis schließlich stellt einen neueren Ansatz von W. Rundell und P. E. Sacks dar [27].

Aus dem erste und dem dritte Eindeutigkeitsbeweis ergeben sich konkrete Algorithmen zur Lösung der betrachteten inversen Sturm-Liouville-Probleme, da diese Beweise konstruktiv sind. Darüberhinaus wird im dritten Kapitel ein weiteres Verfahren angegeben, daß auf der Lanczos-Methode beruht [22].

Zur Untersuchung der numerischen Algorithmen wurden die benötigten Daten (die Eigenwerte) durch Lösen bestimmter Eigenwertaufgaben generiert. Zu verschiedenen Funktionen Q(ξ) sind die Eigenwerte λ und die Zahlen u′(0) numerisch bestimmt worden. Die Resultate der mit diesen Daten ausgeführten Algorithmen sind in Kapitel 4 dargestellt. Durch die numerische Simulation der Eingabedaten sind die gesuchten Koeffizientenfunktionen a priori bekannt. Dies vereinfacht die Beurteilung der numerischen Ergebnisse der einzelnen Verfahren, weil damit auf eine Lösung der mit den punktweise rekonstruierten Funktionen gebildeten Eigenwertprobleme verzichtet werden kann.

Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe ist ein spezielles Randwertproblem. In diesem Kapitel werden Aussagen über Randwertprobleme hergeleitet, soweit sie zum Beweis der Eindeutigkeit der betrachteten inversen Sturm-Liouville-Probleme benötigt werden.

So wird zunächst die Existenz von Eigenwerten bei Randwertproblemen und die Entwickelbarkeit von L^{2}-Funktionen nach Eigenfunktionen bewiesen. Danach wird das asymptotische Verhalten der Eigenwerte verschiedener Sturm-Liouville-Aufgaben geklärt. Schließlich wird gezeigt, daß bestimmte Funktionensysteme eine gewisse Vollständigkeitseigenschaft besitzen.

2.1 Definitionen

Gewöhnliche Differentialgleichungen, deren Lösungsfunktionen an den Endpunkten des zu betrachtenden Intervalls bestimmte Werte annehmen sollen, werden kurz Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen genannt. Dabei sind Ableitungen, die an den Intervallgrenzen auftreten, jeweils als einseitige Grenzwerte zu verstehen. Mit C^{k}[a, b], −∞ ≤ a < b ≤ ∞, sei die Menge aller Funktionen bezeichnet, die k-mal stetig differenzierbar im offenen Intervall (a, b) sind, und deren k-te Ableitung sich stetig von links in b bzw. von rechts in a fortsetzen läßt.

In dieser Arbeit werden ausschließlich lineare gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet. Daher ist es zweckmäßig, die allgemeine Definition für Randwertprobleme auf lineare Differentialoperatoren zu beschränken. Die jeweiligen Lösungsmengen der betrachteten Differentialgleichungen bilden dann mit der punktweisen Addition von Funktionen und der punktweisen Multiplikation von Skalaren mit Funktionen einen linearen Funktionenraum.

2 RANDWERTPROBLEME

Definition 2.1.1 (Randwertproblem) Sei n eine natürliche Zahl und [a, b] ein endliches Intervall in IR. Sei D : C^{n}[a, b] ⟶ C[a, b],

Du := p_{0} \frac{d^{n}}{dx^{n}} u + p_{1} \frac{d^{n−1}}{dx^{n−1}} u + ⋯ + p_{n}u mit p_{j} ∈ C^{n−j}[a, b], j = 0, 1, …, n,

und p_{0}(x) ≠ 0 für alle x ∈ [a, b], ein linearer Differentialoperator der Ordnung n.

Seien für k = 1, 2, …, n Operatoren R_{k} : C^{n}[a, b] ⟶ C der Gestalt

R_{k}u := ∑_{j=1}^{n} (α_{kj} \frac{d^{j−1}}{dx^{j−1}} u(a) + β_{kj} \frac{d^{j−1}}{dx^{j−1}} u(b))

mit α_{kj}, β_{kj} ∈ C gegeben.

Dann ist für jedes f(x) ∈ C[a, b] ein Randwertproblem dadurch gegeben, Funktionen u(x) ∈ C^{n}[a, b] zu bestimmen, die die Gleichungen

Du = f,  (2.1)
R_{k}u = 0,  k = 1, 2, …, n,  (2.2)

erfüllen.

Falls die Matrizen (α_{kj}) und (β_{kj}) wechselseitig verschiedene Nullzeilen besitzen, nennt man die Randbedingungen separiert. Im weiteren sollen stets alle Randbedingungen separiert sein.

In der Gleichung Du = f stellt D einen linearen Operator dar. Analog zur Theorie der linearen Gleichungssysteme kann man daher nach den Eigenwerten von D fragen, die diesen Operator diagonalisieren. Man setzt also speziell f := λu auf der rechten Seite der Differentialgleichung mit einem Parameter λ ∈ C. Man gelangt so zu dem Begriff des Eigenwertes eines Randwertproblems.

Definition 2.1.2 (Eigenwerte eines Randwertproblems) Ein Wert λ ∈ C heißt Eigenwert eines linearen Randwertoperators D, falls die Gleichungen

Du = λu,  (2.3)
R_{k}u = 0,  k = 1, 2, …, n,  (2.4)

eine Lösung u ≠ 0 in C^{n}[a, b] besitzen.

Jede solche Lösung u wird dann eine zum Eigenwert λ zugehörige Eigenfunktion genannt.

Das Gleichungssystem (2.3)–(2.4) wird kurz auch Eigenwertproblem (für gewöhnliche Differentialoperatoren) genannt.

Es ist keineswegs trivial, ob (2.3)–(2.4) überhaupt Lösungen besitzt, d.h. ob überhaupt Eigenwerte und damit zugehörige Eigenfunktionen für ein gegebenes Problem existieren. Zumindest für eine bestimmte Klasse von Eigenwertproblemen ist die Existenz von Eigenwerten gesichert. Dies ist die Klasse der selbstadjungierten Eigenwertprobleme, wie im nächsten Abschnitt gezeigt werden soll.

Sei durch

(f, g) := ∫_{a}^{b} f(t)\overline{g(t)} dt

eine Bilinearform für die auf dem Intervall [a, b] Lebesgue-meßbaren Funktionen f(x) und g(x) gegeben. Bezeichnet L^{2}(a, b) die Menge aller Funktionen f(x), die auf [a, b] Lebesgue-meßbar sind und deren Norm

||f||_{L^{2}(a,b)} := (f, f)^{1/2} < ∞

ist, dann kann man folgende Definition für selbstadjungierte Eigenwertprobleme geben:

Definition 2.1.3 Ein Eigenwertproblem heißt selbstadjungiert, falls für alle u, v ∈ C^{n}[a, b] mit R_{k}u = R_{k}v = 0, k = 1, …, n, die Gleichung

(Du, v)_{L^{2}(a,b)} = (u, Dv)_{L^{2}(a,b)}  (2.5)

besteht. Hierbei ist (·, ·)_{L^{2}(a,b)} die Bilinearform

(u, v)_{L^{2}(a,b)} := ∫_{a}^{b} u(t)\overline{v(t)} dt.

Mit diesen allgemeinen Definitionen stellen sich die sogenannten Sturm-Liouvilleschen Randwertaufgaben als spezielles Randwertproblem 2. Ordnung dar.

Definition 2.1.4 (Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe) Sei [a, b] ⊂ IR ein endliches Intervall und q(x) eine stetige Funktion auf [a, b]. Sei L : C^{2}[a, b] ⟶ C[a, b],

Lu := −u′′ + q(x)u, a ≤ x ≤ b, q(x) ∈ C[a, b],

ein Differentialoperator 2. Ordnung (Sturm-Liouvillescher Differentialoperator). Dann ist mit den Randbedingungen

R_{0}u := α_{00}u(a) + β_{00}u(b) + α_{01}u′(a) + β_{01}u′(b),
R_{1}u := α_{10}u(a) + β_{10}u(b) + α_{11}u′(a) + β_{11}u′(b)

und einer Funktion f(x) ∈ C^{2}[a, b] durch die Gleichungen

Lu = f,  (2.6)
R_{0}u = R_{1}u = 0  (2.7)

eine (reguläre) Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe gegeben.

Eine sogenannte irreguläre Sturm-Liouville-Aufgabe ergibt sich, falls das Intervall der Differentialgleichung nicht endlich ist oder die Koeffizientenfunktion nicht stetig ist. Diese Fälle sollen jedoch in dieser Arbeit nicht berücksichtigt werden.

Partielle Integration auf der linken Seite von (2.5) zeigt, daß Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme mit separierten Randbedingungen selbstadjungiert sind.

Zuletzt sei zur bequemeren Handhabung eine Definition für Eigenwerte der Sturm-Liouville-Aufgabe für bestimmte separierte Randbedingungen gegeben.

Definition 2.1.5 (Dirichlet- und Neumann-Eigenwerte) Eigenwerte eines Sturm-Liouvilleschen Differentialoperators

Lu = −u′′ + q(x)u, a ≤ x ≤ b,

unter den Randbedingungen

u(a) = u(b) = 0

sollen im folgenden kurz Dirichlet-Eigenwerte genannt werden.

Die Eigenwerte des Operators L unter den Randbedingungen

u′(a) = u′(b) = 0

sollen hingegen Neumann-Eigenwerte heißen.

Dirichlet-Neumann-Eigenwerte seien dementsprechend die Eigenwerte von L unter den Randbedingungen

u(a) = u′(b) = 0.

2.2 Existenz von Eigenwerten

In diesem Abschnitt soll die Existenz von Eigenwerten bei selbstadjungierten Eigenwertproblemen geklärt werden. Der Beweis hierzu setzt grundlegende Eigenschaften der sogannten Greenschen Funktion eines selbstadjungierten Randwertproblems voraus, die z.B. in [4] zu finden sind. Dort wird folgender Satz bewiesen:

Satz 2.2.1 (Greensche Funktion) Sei l kein Eigenwert eines Randwertproblems (2.1)- (2.2) und Ω := [a, b] × [a, b].

Dann gibt es eine Funktion G_{l} : Ω ⟶ C (Greensche Funktion) mit den folgenden Eigenschaften:

1. Für k = 0, 1, …, n − 2 sind die partiellen Ableitungen \frac{∂^{k}G_{l}(x, y)}{∂x^{k}} stetig auf Ω.

Für k = n − 1 hat man Stetigkeit nur, falls x ≠ y ist. Es gilt:

\frac{∂^{n−1}G_{l}(x + 0, x)}{∂x^{n−1}} − \frac{∂^{n−1}G_{l}(x − 0, x)}{∂x^{n−1}} = \frac{1}{p_{0}(x)}

2. Für die Funktion u(x) := G_{l}(x, y) mit festem y ∈ [a, b] gelten die Gleichungen Du = lu und R_{k}u = 0, falls x ≠ y ist.

3. Die Funktion u(x) := ∫_{a}^{b} G_{l}(x, t)f(t) dt löst das Randwertproblem (2.1)-(2.2).

4. Ist das zugehörige Eigenwertproblem selbstadjungiert und l ∈ IR, dann gilt

G_{l}(x, y) = \overline{G_{l}(y, x)}.

Anhand dieser Eigenschaften der Greenschen Funktion kann gezeigt werden, daß

(Gv)(x) := ∫_{a}^{b} G_{l}(x, t)v(t) dt

ein kompakter, hermitischer Operator in L^{2}(a, b) ist [4]. Für diese Operatoren ist die Existenz von Eigenwerten bewiesen [1]. Somit ist die Existenz der Eigenwerte selbstadjungierter Eigenwertprobleme auf die Existenz von Eigenwerten bei kompakten, selbstadjungierten Operatoren zurückgeführt. Dies ist die wesentliche Idee zum Beweis des folgenden Satzes.

Satz 2.2.2 Sei

Du = λu,  (2.8)
R_{k}u = 0,  k = 1, 2, …, n,  (2.9)

ein selbstadjungiertes Eigenwertproblem. Dann gilt:

1. Das Eigenwertproblem besitzt abzählbar unendlich viele reelle Eigenwerte (λ_{n})_{n∈IN}.

2. Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander.

3. Die Eigenwerte lassen sich betragsmäßig anordnen und häufen sich höchstens im

Unendlichen:

|λ_{1}| ≤ |λ_{2}| ≤ ⋯ ≤ |λ_{n}| ≤ · · · .

Beweis: Zunächst soll bewiesen werden, daß die Eigenwerte reell sind und Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.

Seien u, v Eigenfunktionen zu den Eigenwerten λ bzw. μ. Dann gilt wegen der Selbstadjungiertheit

0 = (Lu, v)_{L^{2}} − (u, Lv)_{L^{2}} = (λ − μ̄)(u, v)_{L^{2}}.

Für u = v und λ = μ ergibt sich daraus λ = λ̄, also λ ∈ IR.

Falls λ ≠ μ ist, folgt (u, v)_{L^{2}} = 0, d.h. u(x) ist orthogonal zu v(x).

Zum Beweis der Aussage, daß sich die Eigenwerte höchstens im Unendlichen häufen, sei

{Φ_{1}(x, l), …, Φ_{n}(x, l)}

ein Fundamentalsystem zu (D − l)u = 0 [11]. Die Funktionen Φ_{j} sind analytisch in l. Es gilt die Äquivalenz

l ist Eigenwert von D ⟺ det(R_{k}Φ_{j}) = 0.

Als Linearkombination von analytischen Funktionen ist d(l) := det(R_{k}Φ_{j}) wieder analytisch. Sei nun p ∈ C ein Häufungspunkt der Eigenwerte von D, so wäre nach dem Identitätssatz für analytische Funktionen d(l) ≡ 0. Die Existenz der Eigenwerte vorausgesetzt, kann es keine Häufungspunkte der Eigenwerte von D im Endlichen geben.

Zur Existenz der Eigenwerte sei l = 0 kein Eigenwert von D. Dies kann man durch Addieren einer Konstanten zu D stets erreichen. Man definiere nun den Operator

(Gu)(x) := ∫_{a}^{b} G(x, t)u(t) dt,

wobei G(x, y) die Greensche Funktion für l = 0 des Eigenwertproblems ist.

Offensichtlich sind die Eigenwerte des Operators G genau die Kehrwerte der Eigenwerte des Differentialoperators D zu den gleichen Eigenfunktionen.

Man zeigt, daß G ein kompakter, hermitischer Operator in L^{2}(a, b) ist [4]. Dann ist entweder

||G|| = sup_{||u||_{L^{2}}=1} |(Gu, u)_{L^{2}}| ≠ 0  (2.10)

oder −||G|| ein Eigenwert von G, der mit μ_{0} bezeichnet werden soll. Die zugehörige normierte Eigenfunktion sei u_{0}(x).

Der Operator

(G_{1}u)(x) := ∫_{a}^{b} G_{1}(x, t)u(t) dt

mit dem Kern

G_{1}(x, y) := G(x, y) − μ_{0}u_{0}(x)\overline{u_{0}(y)}

ist dann wiederum kompakt und hermitisch.

Falls

||G_{1}|| = sup_{||u||_{L^{2}}=1} |(G_{1}u, u)_{L^{2}}| ≠ 0

ist, sei μ_{1} Eigenwert von G_{1} und u_{1}(x) die zugehörige normierte Eigenfunktion. Der Fall ||G_{1}|| = 0 wird zum Schluß des Beweises behandelt.

Für u ∈ L^{2}(a, b) beliebig ergibt sich

(G_{1}u, u_{0})_{L^{2}} = ∫_{a}^{b}(G_{1}u)(t)\overline{u_{0}(t)} dt
= ∫_{a}^{b} ∫_{a}^{b} G(t, s)u(s)\overline{u_{0}(t)} ds dt − μ_{0} ∫_{a}^{b} ∫_{a}^{b} u_{0}(t)\overline{u_{0}(s)}u(s)\overline{u_{0}(t)} ds dt
= ∫_{a}^{b} u(s) ∫_{a}^{b} \overline{G(s, t)}\overline{u_{0}(t)} dt ds − μ_{0} ∫_{a}^{b} u(s)\overline{u_{0}(s)} \underbrace{∫_{a}^{b} u_{0}(t)\overline{u_{0}(t)} dt}_{=1} ds

= (u, Gu_{0})_{L^{2}} − μ_{0}(u, u_{0})_{L^{2}}
= 0.

Setzt man hierbei u = u_{1}, folgt (u_{1}, u_{0})_{L^{2}} = 0. Somit erhält man durch eine analoge Rechnung

Gu_{1} = G_{1}u_{1} = μ_{1}u_{1}.

μ_{1} ist also auch ein Eigenwert von G und wegen (2.10) gilt

|μ_{1}| = |(G_{1}u_{1}, u_{1})_{L^{2}}| = |(Gu_{1}, u_{1})_{L^{2}}| ≤ ||G|| = |μ_{0}|.

Durch Bildung der Operatoren G_{2}, G_{3}, ... analog zu G_{1} folgt, daß der Operator G die Eigenwerte

|μ_{0}| ≥ |μ_{1}| ≥ |μ_{2}| ≥ ⋯ > 0

besitzt, falls ||G_{m}|| ≠ 0 ist.

Wäre nun ein Eigenwert μ_{m} = 0 = ||G_{m}||, so würde aus der Gleichung

0 = (G_{m}f)(x) = (Gf)(x) − ∑_{k=0}^{m−1} μ_{k}u_{k}(x)(f, u_{k})_{L^{2}}

durch Anwenden des Differentialoperators D die Gleichung

0 = f(x) − ∑_{k=0}^{m−1} u_{k}(x)(f, u_{k})_{L^{2}}

für jede beliebige Funktion f ∈ L^{2}(a, b) folgen. Somit wäre dim L^{2}(a, b) = m < ∞. Dies ist ein Widerspruch zu der Tatsache, daß dim L^{2}(a, b) = ∞ ist. Somit sind die Eigenwerte μ_{k} betragsmäßig größer Null.

Damit ist alles gezeigt. □

2.3 Reihenentwicklung nach Eigenfunktionen

In diesem Abschnitt soll die Entwickelbarkeit von L^{2}-Funktionen nach den Eigenfunktionen selbstadjungierter Eigenwertprobleme gezeigt werden. Dazu ist eine Aussage über die Summierbarkeit der Quadrate der sogenannten Fourierkoeffizienten nützlich, die mit der sogenannten Besselschen Ungleichung folgt.

Lemma 2.3.1 (Besselsche Ungleichung) Sei f(x) ∈ L^{2}(a, b) und {u_{k}(x); k ∈ IN} eine orthonormale Folge von Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Eigenwertproblems.

Dann konvergiert die Reihe

∑_{k=1}^{∞} |c_{k}|^{2}, c_{k} := (f, u_{k})_{L^{2}} = ∫_{a}^{b} f(t)\overline{u_{k}(t)} dt.

Es besteht die Ungleichung

∑_{k=1}^{∞} |c_{k}|^{2} ≤ ||f||_{L^{2}}^{2} < ∞.  (2.11)

2 RANDWERTPROBLEME

Beweis: Für jedes n ∈ IN gilt wegen der Orthonormalität der u_{k}(x)

0 ≤ ||f − ∑_{k=1}^{n} c_{k}u_{k}||_{L^{2}}^{2} = ||f||_{L^{2}}^{2} − ∑_{k=1}^{n} |c_{k}|^{2},

woraus die Behauptung des Lemmas folgt. □ Satz 2.3.1 Seien u_{k}(x), k = 1, 2, …, die orthonormalen Eigenfunktionen des selbstadjungierten Eigenwertproblems

Du = λu,
R_{j}u = 0,  j = 1, 2, …, n,

n-ter Ordnung. Sei f(x) ∈ C^{n}[a, b] und es gelte R_{j}f = 0, j = 1, …, n. Dann konvergiert die Reihe

∑_{k=1}^{∞} c_{k}u_{k}(x) , c_{k} := ∫_{a}^{b} f(t)\overline{u_{k}(t)} dt,

auf [a, b] gleichmäßig gegen f(x). Bemerkung 2.3.1 Die Zahlen c_{k} = (f, u_{k})_{L^{2}} heißen verallgemeinerte Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) bzgl. des Differentialoperators D. Indem man die Gleichung

f(x) = ∑_{k=1}^{∞} c_{k}u_{k}(x)

mit f(x) multipliziert und anschließend von a bis b integriert, erhält man wegen der gleichmäßigen Konvergenz

||f||_{L^{2}}^{2} = ∑_{k=1}^{∞} |c_{k}|^{2}.  (2.12)

Diese Gleichung wird auch Parsevalsche Gleichung oder Vollständigkeitsrelation genannt. Zum Beweis des Satzes benötigt man zwei Lemmata: Lemma 2.3.2 Für die Eigenwerte (μ_{n})_{n∈IN} des Operators

(Gv)(x) = ∫_{a}^{b} G(x, t)v(t) dt , v ∈ C[a, b],

gilt

lim_{n→∞} |μ_{n}| = 0.  (2.13)

Beweis: Wegen der Selbstadjungiertheit folgt für festes x ∈ [a, b] aus der Gleichung

∫_{a}^{b} \overline{G(t, x)}u_{k}(t) dt = μ_{k}u_{k}(x),

daß μ_{k}\overline{u_{k}(x)} der k-te Fourierkoeffizient der Funktion h(t) := G(t, x) = \overline{G(x, t)} ist. Also liefert die Besselsche Ungleichung (2.11) für n ∈ IN

∑_{k=1}^{n} μ_{k}^{2}|u_{k}(x)|^{2} ≤ ∫_{a}^{b} |G(t, x)|^{2} dt.

Integriert man diese Ungleichung nach x und läßt n gegen Unendlich gehen, erhält man

∑_{k=1}^{∞} μ_{k}^{2} ≤ M^{2}(b − a)^{2} , M := sup_{a≤x,t≤b} |G(t, x)|.

Damit folgt |μ_{n}| ⟶ 0 für n → ∞. □

Lemma 2.3.3 Für jedes v(x) ∈ C[a, b] gilt

lim_{n→∞} ||Gv − ∑_{k=1}^{n} μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}||_{L^{2}} = 0.  (2.14)

Beweis: Für die Integraloperatoren

(G_{n}v)(x) := ∫_{a}^{b} G_{n}(x, t)v(t) dt

mit den Kernen

G_{n}(x, t) = G(x, t) − ∑_{k=1}^{n} μ_{k}u_{k}(x)\overline{u_{k}(t)}

gilt laut Beweis des Satzes 2.2.2 die Relation ||G_{n}|| = |μ_{n+1}|. Daher folgt wegen (2.13)

||Gv − ∑_{k=1}^{n} μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}||_{L^{2}} = ||G_{n}v||_{L^{2}} ≤ |μ_{n+1}|||v||_{L^{2}} ⟶ 0, n → ∞.

□

Beweis: (zu Satz 2.3.1) Wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich |(Gv)(x)|^{2} ≤ M^{2}(b − a)^{2}||v||_{L^{2}}^{2} und damit für 0 < l < m

|∑_{k=l}^{m} μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}(x)|^{2} = |(G ∑_{k=l}^{m}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}) (x)|^{2}

≤ M^{2}(b − a) ∑_{k=l}^{m} |(v, u_{k})_{L^{2}}|^{2}.

Die letzte Summe konvergiert wegen der Besselschen Ungleichung (2.11) für l, m → ∞ gegen Null. Somit konvergiert

∑_{k=1}^{∞} μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}(x)

für x ∈ [a, b] gleichmäßig gegen eine Funktion aus C[a, b]. Da Gv stetig ist, muß wegen (2.14)

(Gv)(x) = ∑_{k=1}^{∞} μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}}u_{k}(x)  (2.15)

für alle x ∈ [a, b] gelten. Für f ∈ C^{n}[a, b] mit R_{j}f = 0 ist durch v := Df eine stetige Funktion auf [a, b] definiert und es gilt f = Gv. Die Rechnung

μ_{k}(v, u_{k})_{L^{2}} = (v, μ_{k}u_{k})_{L^{2}}
= (v, Gu_{k})_{L^{2}}
= (Gv, u_{k})_{L^{2}}
= (f, u_{k})_{L^{2}}

zeigt, daß mit (2.15) die Behauptung des Satzes folgt. □

Schließlich überträgt sich die Entwickelbarkeit nach den Eigenfunktionen auch auf L^{2}−Funktionen wie folgt. Allerdings ist dann die Konvergenz der Entwicklung nicht mehr gleichmäßig, sondern besteht nur noch in der L^{2}−Norm. Der Operator

P f := ∑_{k=1}^{∞}(f, u_{k})_{L^{2}}u_{k}

stellt eine orthogonale Projektion P : L^{2} ⟶ C_{0}^{∞} dar, denn erstens gilt

P f = f für alle f ∈ C_{0}^{∞}(a, b),

wie gerade gezeigt, und zweitens ergibt sich mit der Besselschen Ungleichung (2.11)

||P || = sup_{||u||_{L^{2}}=1} ||P u||_{L^{2}} = 1.

Somit ist P surjektiv auf L^{2}(a, b), da C_{0}^{∞}(a, b) dicht in L^{2}(a, b) liegt. Daraus erhält man die Gültigkeit von Satz 2.3.1 auch für L^{2}-Funktionen, die auf dem Intervall [a, b] definiert sind.

2.4 Asymptotik der Eigenwerte

Für die Eigenwerte einer regulären Sturm-Liouville-Aufgabe kann man zeigen, daß sie nach unten beschränkt sind [11]. Dadurch lassen sich die Eigenwerte der Größe nach anordnen, etwa λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ · · ·. In diesem Abschnitt soll das Wachstum der Eigenwerte näher beschrieben werden. Die Kenntnis über die Asymptotik der Eigenwerte wird später zum Beweis der Eindeutigkeit der Lösung des inversen Problems benötigt.

Zur Asymptotik der Eigenwerte sind zwei Sätze von zentraler Bedeutung. Anhand eines Vergleichssatzes können die Eigenwerte zweier Randwertprobleme gegeneinander abgeschätzt werden. Der Beweis dieses Satz ist sehr einfach mittels einer Charakterisierung der Eigenwerte als Maximum-Minimumwerte zu erbringen [5].

Satz 2.4.1 (Courantsches Maximum-Minimumprinzip) Sei das Eigenwertproblem

Du = λu, R_{k}u = 0, k = 1, …, n,

selbstadjungiert. Ferner seien die Eigenwerte von D nach unten beschränkt und V :=< v_{1}, …, v_{j−1} > ein (j − 1)-dimensionaler Vektorraum, der von stückweise stetigen Funktionen v_{1}, …, v_{j−1} mit R_{k}v_{m} = 0, k = 1, …, n, m = 1, …, j − 1, erzeugt wird.

Dann berechnen sich die Eigenwerte λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ λ_{3} ≤ ⋯ anhand der Formel

λ_{j} = max_{dim(V)=j−1} min_{\begin{matrix}||u||_{L^{2}}=1, \\ R_{k}u=0, \\ u⊥V \end{matrix}} (Du, u)_{L^{2}}.

Beweis: Seien u_{1}, u_{2}, …, u_{j−1} die zu λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{j−1} gehörigen, orthonormierten Eigenfunktionen von D und V :=< u_{1}, …, u_{j−1} > der von u_{1}, …, u_{j−1} aufgespannte (j − 1)-dimensionale Vektorraum. Im Fall j = 1 sei V der Nullraum {0}. Ferner sei

λ_{j}(V) := min_{\begin{matrix}||u||_{L^{2}}=1, \\ R_{k}u=0, \\ u⊥V \end{matrix}} (Du, u)_{L^{2}}.

Damit ergibt sich:

1. Es gilt λ_{j}(V) = λ_{j}. Denn aus u ⊥ V folgt u = ∑_{l=j}^{∞} c_{l}u_{l}. Somit erhält man

λ_{j}(V) = min_{||u||_{L^{2}}=1} (∑_{l=j}^{∞} c_{l}Du_{l}, ∑_{l=j}^{∞} c_{l}u_{l})_{L^{2}}

= min ; ∑ c_{l}^{2}=1 (∑_{l=j}^{∞} c_{l}λ_{l}u_{l}, ∑_{l=j}^{∞} c_{l}u_{l})_{L^{2}}

= min ; ∑ c_{l}^{2}=1 ∑_{l=j}^{∞} c_{l}^{2}λ_{l}
= λ_{j}, da λ_{j} ≤ λ_{j+1} ≤ ….

2. Für jeden von j −1 linear unabhängigen, auf [a, b] stückweise stetigen Funktionen v_{1}, v_{2}, …, v_{j} aufgespannten Vektorraum Ṽ der Dimension j − 1 gilt

λ_{j}(Ṽ) ≤ λ_{j}.

Denn es gibt eine Funktion u mit u ⊥ Ṽ , ||u||_{L^{2}} = 1 und R_{k}u = 0:

Setzt man

u := ∑_{l=1}^{j} d_{l}u_{l},

so ergeben die Bedingungen u ⊥ Ṽ und ||u||_{L^{2}}^{2} = ∑_{l=1}^{j} d_{l}^{2} = 1 insgesamt j Glei-

chungen für die j Variablen d_{l}, l = 1, …, j. Damit sind die Zahlen d_{l} eindeutig bestimmbar und man erhält die Abschätzung

λ_{j}(Ṽ) = min_{\begin{matrix}||u||_{L^{2}}=1, \\ R_{k}u=0, \\ u⊥Ṽ \end{matrix}} (Du, u)_{L^{2}}

≤ ∑_{l=1}^{j} λ_{l}d_{l}^{2}

≤ λ_{j} ∑_{l=1}^{j} d_{l}^{2} = λ_{j}.

Mit 1. und 2. folgt die Behauptung des Satzes. □

Aus diesem Prinzip folgt, wie schon angedeutet, unmittelbar der erwähnte Vergleichssatz.

Satz 2.4.2 (Vergleichssatz) Seien

D_{1}u = λu, D_{2}u = λu

zwei selbstadjungierte Eigenwertprobleme mit den gleichen Randbedingungen R_{k}u = 0, k = 1, …, n. Das erste Problem habe die Eigenwerte

λ_{1}^{(1)} ≤ λ_{2}^{(1)} ≤ · · · .

Für alle Funktionen u(x) mit R_{k}u = 0, k = 1, …, n, gelte die Beziehung

(D_{1}u, u)_{L^{2}} ≤ (D_{2}u, u)_{L^{2}}.

Dann hat das zweite Eigenwertproblem die Eigenwerte λ_{1}^{(2)} ≤ λ_{2}^{(2)} ≤ ⋯ und es gilt

λ_{j}^{(1)} ≤ λ_{j}^{(2)}, j = 1, 2, ….

Beweis: Mit dem Maximum-Minimumprinzip gilt

λ_{j}^{(1)} = max_{dim(V)=j−1} min_{\begin{matrix}||u||_{L^{2}}=1, \\ R_{k}u=0, \\ u⊥V \end{matrix}} (D_{1}u, u)_{L^{2}}

≤ max_{dim(V)=j−1} min_{\begin{matrix}||u||_{L^{2}}=1, \\ R_{k}u=0, \\ u⊥V \end{matrix}} (D_{2}u, u)_{L^{2}} = λ_{j}^{(2)}.

□

Eine Anwendung des Vergleichssatzes 2.4.2 auf den Operator Du := −u′′ +q(x)u liefert eine Abschätzung für die Eigenwerte von D.

Sei dazu q̃(x) eine stetige Funktion auf [a_{1}, a_{2}]. Definiert man mit

D̃u := −u′′ + q̃(x)u und d := max_{[a_{1},a_{2}]} |q(x) − q̃(x)|

die beiden Operatoren

D_{1}u := D̃u − du und D_{2} := D̃u + du,

so folgt

(D_{1}u, u)_{L^{2}} ≤ (Du, u)_{L^{2}} ≤ (D_{2}u, u)_{L^{2}}.

Wegen des Vergleichssatzes 2.4.2 gilt dann

λ̃_{n} − d ≤ λ_{n} ≤ λ̃_{n} + d,

wobei λ̃_{n} die Eigenwerte von D̃ sind. Die letzte Abschätzung ist ein Hilfsmittel für den Beweis des nächsten Satzes, der asymptotische Formeln für die Eigenwerte verschiedener Randwertprobleme liefert.

Satz 2.4.3 (asymptotisches Verhalten der Eigenwerte) Sei q ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}]. Seien (λ_{n})_{n∈IN}, die Eigenwerte des Problems

−u′′ + q(x)u = λu für a_{1} ≤ x ≤ a_{2}

mit den Randbedingungen

u(a_{j}) cos α_{j} + u′(a_{j}) sin α_{j} = 0, 0 ≤ α_{j} < π, j = 1, 2.

Dann genügen die Eigenwerte λ_{n} den folgenden asymptotischen Ausdrücken:

1. Für α_{1} = α_{2} = 0 (Dirichletsche Randbedingungen) gilt

λ_{n} = c_{1}^{2}n^{2} + c_{2} + O (\frac{1}{n^{2}} ) .

2. Für α_{1} = 0, α_{2} = \frac{π}{2} oder α_{2} = 0, α_{1} = \frac{π}{2} (gemischte Randbedingungen) gilt

λ_{n} = c_{1}^{2} (n − \frac{1}{2})^{2} + c_{2} + O (\frac{1}{n^{2}} ) .

3. Für α_{1} = α_{2} = \frac{π}{2} (Neumannsche Randbedingungen) gilt

λ_{n} = c_{1}^{2}(n − 1)^{2} + c_{2} + O (\frac{1}{n^{2}} ) .

Hierbei sind c_{1} und c_{2} Konstanten, die von n unabhängig sind:

c_{1} = \frac{π}{a_{2} − a_{1}} , c_{2} = \frac{1}{a_{2} − a_{1}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt.

Beweis: Zum Beweis soll die WKB-Methode verwendet werden [13]. Dazu wählt man

v(x) = A(x) sin Φ(x)

als Ansatz für eine Eigenfunktion. Es folgt

− v′′ + q(x)v = − (\frac{A′′}{A} − (Φ′)^{2} − q(x)) v − (2A′Φ′ + AΦ′′) cos Φ.  (2.16)

Für A(x) = Φ′(x)^{−1/2} verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite in (2.16), falls Φ′(x) > 0 für alle x ∈ [a_{1}, a_{2}] gilt. Dies ist sicherlich der Fall, wenn man für hinreichend großes λ

Φ′(x) = \sqrt{λ} − \frac{q(x)}{2\sqrt{λ}}

setzt. Damit ergibt sich

−v′′ + q(x)v = ((Φ′)^{2} + q(x) + \frac{3}{4} \frac{(Φ′′)^{2}}{(Φ′)^{2}} − \frac{1}{2} \frac{Φ′′′}{Φ′} ) v
= (λ − q(x) + O (\frac{1}{λ}) + q(x) + O (\frac{1}{λ^{3/2}} ) + O (\frac{1}{λ})) v
= (λ + O (\frac{1}{λ})) v.  (2.17)

Um den Vergleichssatz 2.4.2 anwenden zu können, werden jetzt die Randwerte Φ_{j} := Φ(a_{j}), j = 1, 2, so bestimmt, daß die Eigenfunktion v(x) in den verschiedenen Fällen die Randbedingungen erfüllt.

Man erhält aus

0 = v_{j} cos α_{j} + v′_{j} sin α_{j}
= (Φ′_{j})^{−1/2} sin Φ_{j} cos α_{j} + ((Φ′_{j})^{1/2} cos Φ_{j} − \frac{Φ′′_{j}(Φ′_{j})^{1/2}}{2(Φ′_{j})^{2}} sin Φ_{j}) sin α_{j}

= ((Φ′_{j})^{−1/2} cos α_{j} − \frac{Φ′′_{j}(Φ′_{j})^{1/2}}{2(Φ′_{j})^{2}} ) sin Φ_{j} + (Φ′_{j})^{−1/2} sin α_{j} cos Φ_{j}

für den Fall, daß sin α_{j} ≠ 0 ist (Neumannsche Randbedingungen), durch einige Umformungen (man beachte Φ′_{j} > 0) mit

g_{j} := \frac{cot α_{j}}{Φ′_{j}} − \frac{Φ′′_{j}}{2(Φ′_{j})^{2}} , j = 1, 2,

und l < m ∈ Z das Ergebnis

Φ_{1} = (l + \frac{1}{2}) π + arctan g_{1},

Φ_{2} = (m − \frac{1}{2}) π + arctan g_{2}.

Falls sin α_{1} = sin α_{2} = 0 ist (Dirichletsche Randbedingungen), ergibt sich

Φ_{1} = lπ
Φ_{2} = mπ.

Durch Kombination dieser beiden Fälle erhält man entsprechende Formeln für Φ_{1} und Φ_{2} bei gemischten Randbedingungen.

Seien λ = λ̃_{n} Lösungen der Gleichung

Φ_{2} − Φ_{1} = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} Φ′(t) dt

(2.18)

= (a_{2} − a_{1})\sqrt{λ} − \frac{1}{2\sqrt{λ}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt,

für die, wie oben vorausgesetzt, Φ′(x) > 0 ist. Die Funktion v = (Φ′)^{−1/2} sin Φ hat im offenen Intervall (a_{1}, a_{2}) genau (k − l − 1) Nullstellen, da Φ streng monoton steigend ist und für die Randwerte lπ < Φ_{1} < (l + 1)π, (k − 1)π < Φ_{2} < kπ (0 ≤ l < k) gilt. Daher nimmt Φ(x) in (a_{1}, a_{2}) genau (k − l − 1)-mal den Wert eines ganzzahligen Vielfachen von π an. Da v nach (2.17) die Differentialgleichung

−v′′ + q(x)v = (λ + h(x, λ))v,

h(x, λ) := \frac{q^{2}(x)}{4λ} − \frac{q′′(x)}{4λ − 2} − \frac{3}{4} \frac{(q′(x))^{2}}{(2λ − q(x))^{2}} ,

erfüllt, sind die λ̃_{n} genau die Eigenwerte dieser Gleichung. Wegen des Vergleichssatzes 2.4.2 genügen die Eigenwerte λ_{n} der Abschätzung

λ̃_{n} + min_{x∈[a_{1},a_{2}]} h(x, λ̃_{n}) ≤ λ_{n} ≤ λ̃_{n} + max_{x∈[a_{1},a_{2}]} h(x, λ̃_{n}).

Aus (2.18) ergibt sich

\sqrt{λ̃_{n}} = \frac{Φ_{2} − Φ_{1}}{a_{2} − a_{1}} + \frac{1}{2(a_{2} − a_{1})\sqrt{λ̃_{n}}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt

= \frac{Φ_{2} − Φ_{1}}{a_{2} − a_{1}} + \frac{1}{2(Φ_{2} − Φ_{1})(1 + O(1/λ̃_{n}))} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt

⟹ λ̃_{n} = (\frac{Φ_{2} − Φ_{1}}{a_{2} − a_{1}} )^{2} + \frac{1}{a_{2} − a_{1}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt + O (\frac{1}{λ̃_{n}} ) .

Da für alle x ∈ [a_{1}, a_{2}] die Abschätzung h(x, λ) = O(1/λ) gültig ist und arctan g_{j} die Größenordnung O(1/\sqrt{λ}) hat, sind die asymptotischen Entwicklungen für alle drei Randbedingungen bewiesen. □

Desweiteren sind Aussagen zur Asymptotik der Eigenfunktionen bezüglich großer Eigenwerte für die weitere Untersuchung des inversen Sturm-Liouville-Problem von Interesse. Folgender Satz wird in [18] zitiert.

Satz 2.4.4 Sei q(x) ∈ C[a_{1}, a_{2}] und λ ∈ C mit λ = s^{2}, s = σ+iτ. Die Funktion u(x, λ) sei eine Lösung der Anfangswertaufgabe

u′′ + λu = q(x)u,  a_{1} ≤ x ≤ a_{2},
u(a_{1}, λ) = γ_{1},
u′(a_{1}, λ) = γ_{2}.

Dann existiert eine Konstante s_{0} > 0, so daß für (γ_{1}, γ_{2}) = (0, 1) und |s| > s_{0} die Abschätzungen

u(x, λ) = \frac{sin s(x − a_{1})}{s} + O (\frac{e^{|τ|(x−a_{1})}}{|s|^{2}} )

und

u′(x, λ) = cos s(x − a_{1}) + O (\frac{e^{|τ|(x−a_{1})}}{|s|} )

für alle x ∈ [a_{1}, a_{2}] gelten.

Für (γ_{1}, γ_{2}) = (1, 0) existiert eine Konstante s̃_{0} > 0, so daß mit |s| > s̃_{0} die Abschätzungen

ũ(x, λ) = cos s(x − a_{1}) + O (\frac{e^{|τ|(x−a_{1})}}{|s|} )

und

ũ′(x, λ) = −s sin s(x − a_{1}) + O(e^{|τ|(x−a_{1})})

für alle x ∈ [a_{1}, a_{2}] gelten.

Beweis: O.B.d.A kann man annehmen, daß mit l := a_{2} − a_{1} die Intervallgrenzen a_{1} = 0, a_{2} = l lauten, da durch eine Verschiebung des Intervalls die Lösungen u(x, λ) der Anfangswertaufgabe entsprechend verschoben werden. Für die Funktionen u(x, λ) und ũ(x, λ) gelten die Integralgleichungen (s. [26])

u(x, λ) = \frac{sin sx}{s} + \frac{1}{s} ∫_{0}^{x} sin s(x − t)q(t)u(t, λ) dt,  (2.19)
ũ(x, λ) = cos sx + \frac{1}{s} ∫_{0}^{x} sin s(x − t)q(t)ũ(t, λ) dt.  (2.20)

Setzt man u(x, λ) = e^{|τ|x}f(x), so ist zu zeigen, daß f(x) = O(1/|s|) für alle 0 ≤ x ≤ l gilt. Aus (2.19) folgt zunächst

f(x) = \frac{sin sx}{s}e^{−|τ|x} + \frac{1}{s} ∫_{0}^{x} e^{−|τ|(x−t)} sin s(x − t)q(t)f(t) dt.

Setzt man M := sup_{0≤x≤l} |f(x)|, so ergibt sich die Abschätzung

M ≤ \frac{1}{|s|} + \frac{M}{|s|} ∫_{0}^{x} |q(t)| dt.

Es folgt

M ≤ \frac{1}{|s|} (1 − \frac{1}{|s|} ∫_{0}^{l} |q(t)| dt)^{−1}

unter der Bedingung, daß der rechts stehende Kehrwert positiv ist. Dies ist sicherlich erfüllt, falls

|s| > ∫_{0}^{l} |q(t)| dt

gilt. Damit erhält man für die Funktion u(x, λ) die Abschätzung

u(x, λ) = O(|s|^{−1}e^{|τ|x}).  (2.21)

Anhand (2.20) erhält man für die Funktion ũ(x, λ) durch analoge Rechnung das Ergebnis

ũ(x, λ) = O(e^{|τ|x}).  (2.22)

Indem man diese Abschätzungen in die Integralgleichungen (2.19), (2.20) eingesetzt, ergeben sich die Gleichungen

u(x, λ) = \frac{sin sx}{s} + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|^{2}} ) ,

ũ(x, λ) = cos sx + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|} ) .

Differenziert man die Integralgleichungen (2.19), (2.20) nach x, so erhält man

u′(x, λ) = cos sx + ∫_{0}^{x} cos s(x − t)q(t)u(t, λ) dt,
ũ′(x, λ) = −s sin sx + ∫_{0}^{x} cos s(x − t)q(t)ũ(t, λ) dt.

Mit (2.21) bzw. (2.22) leitet man daraus die asymptotischen Abschätzungen

u′(x, λ) = cos sx + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|} ) ,
ũ′(x, λ) = −s sin sx + O (e^{|τ|x})

her. □

Mit den bisherigen Resultaten lassen sich nun Aussagen über das asymptotische Verhalten der Anfangsbedingungen der normierten Eigenfunktionen Sturm-Liouvillescher Eigenwertprobleme treffen.

Satz 2.4.5 Sei q(x) ∈ C[a_{1}, a_{2}]. Seien λ_{n}, n = 1, 2, …, die Eigenwerte des Problems

−v′′ + q(x)v = λv

mit den Randbedingungen

v(a_{j}) cos α_{j} + v′(a_{j}) sin α_{j} = 0, 0 ≤ α_{j} < π, j = 1, 2.

Dann gelten für die normierten Eigenfunktion v_{n}(x) folgende asymptotische Beziehungen:

1. Falls α_{1} = α_{2} = 0 ist, gilt

|v′_{n}(a_{1})| = \sqrt{λ_{n}} (\sqrt{\frac{2}{a_{2} − a_{1}}} + O(\frac{1}{n})) .

2. Falls α_{1} = α_{2} = \frac{π}{2} ist, gilt

|v_{n}(a_{1})| = \sqrt{\frac{2}{a_{2} − a_{1}}} + O(\frac{1}{n}).

Beweis: Da nach Satz (2.2.2) die Eigenwerte λ_{n}, n = 1, 2, …, reell sind, ergibt sich wegen der Eindeutigkeit der Lösung der Anfangswertaufgabe aus Satz 2.4.4

v_{n}(x) = v′_{n}(a_{1}) (\frac{1}{\sqrt{λ_{n}}} sin \sqrt{λ_{n}}(x − a_{1}) + O (\frac{1}{λ_{n}} ))

bzw.

v_{n}(x) = v_{n}(a_{1}) (cos \sqrt{λ_{n}}(x − a_{1}) + O (\frac{1}{λ_{n}^{1/2}} )) ,

falls λ_{n} > max{s_{0}, s̃_{0}} ist.

Integration über das Quadrat der Funktionen v_{n}(x) liefert dann im ersten Fall mit der Formel 2 sin^{2} ax = 1 − cos 2ax die Relation

1 = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} v_{n}^{2}(t) dt = \frac{(v′_{n}(a_{1}))^{2}}{λ_{n}} (∫_{a_{1}}^{a_{2}} sin^{2} \sqrt{λ_{n}}(t − a_{1}) dt + O (\frac{1}{λ_{n}^{1/2}} ))

= \frac{(v′_{n}(a_{1}))^{2}}{λ_{n}} (\frac{a_{2} − a_{1}}{2} − \frac{sin 2\sqrt{λ_{n}}(a_{2} − a_{1})}{2\sqrt{λ_{n}}} + O (\frac{1}{\sqrt{λ_{n}}} )) ,

also

(v′_{n}(a_{1}))^{2} = λ_{n} (\frac{2}{a_{2} − a_{1}} + O(\frac{1}{n}))
⟹ |v′_{n}(a_{1})| = \sqrt{λ_{n}} (\sqrt{\frac{2}{a_{2} − a_{1}}} + O(\frac{1}{n})) .

Der zweite Fall des Satzes ergibt sich mit der Formel 2 cos^{2} ax = 1 + cos 2ax analog. □

2.5 Vollständige Funktionensysteme

Um die Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems zeigen zu können, benötigt man den Begriff des vollständigen Funktionensystems.

Definition 2.5.1 Für eine Folge (λ_{n})_{n∈IN} von reellen Zahlen soll das Funktionensystem

{φ(x, λ_{n}); n ∈ IN}

vollständig in L^{2}(−π, π) heißen, falls für jede Funktion f(x) ∈ L^{2}(−π, π) aus

∫_{−π}^{π} f(t)φ(t, λ_{n}) dt = 0, n = 1, 2, …,

folgt, daß f(x) fast überall auf dem Intervall [−π, π] identisch Null ist.

Zunächst seien zwei Sätze zitiert, die hier nicht bewiesen werden sollen, aber für das weitere benötigt werden. Die Beweise findet man z.B. in [32].

Satz 2.5.1 (Jensen) Sei f(z) holomorph in B_{R}(0) := {z ∈ C; |z| < R}. Sei f(0) ≠ 0 und n(x) gebe die Anzahl der Nullstellen der Funktion f(z) in B_{x}(0) an.

Dann gilt für r < R

∫_{0}^{r} \frac{n(t)}{t} dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} log |f(re^{iθ})| dθ − log |f(0)|.

Ferner gilt (auch für f(0) = 0) die Ungleichung

∫_{1}^{r} \frac{n(t)}{t} dt < \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} log |f(re^{iθ})| dθ + A,

wobei A eine Konstante ist, die nur von f(z) abhängt.

Satz 2.5.2 (Produktsatz) Sei f(z) eine ganze Funktion, die der asymptotischen Gleichung

f(z) = O(e^{|z|^{3/2}}) für |z| → ∞

genügt. Falls z_{k} ≠ 0, k = 1, 2, …, die von Null verschiedenen Nullstellen der Funktion f(z) sind, ist

f(z) = az^{n}e^{bz} ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{z}{z_{k}} ) e^{z/z_{k}}

die Produktdarstellung von f(z). Hierbei ist n die Ordnung der Nullstelle im Ursprung. Die Zahlen a, b sind geeignete Konstanten.

Für das Funktionensystem {e^{iλ_{n}x}; n ∈ IN} gibt es folgendes Vollständigkeitskriterium [19]:

Satz 2.5.3 Sei (λ_{n})_{n∈IN} eine Folge reeller Zahlen und Λ(x) die Anzahl der Werte, für die |λ_{n}| ≤ x gilt. Falls die Ungleichung

∫_{1}^{x} \frac{Λ(t)}{t} dt > 2x − \frac{1}{2} log x − C

mit einer Konstanten C > 0 besteht, ist das Funktionensystem

{e^{iλ_{n}x}; n ∈ IN}

vollständig in L^{2}(−π, π).

Beweis: Angenommen, die Aussage des Satzes ist nicht richtig. Dann gibt es eine Funktion f(x) ∈ L^{2}(−π, π), die nicht identisch verschwindet, so daß

H(w) := ∫_{−π}^{π} f(t)e^{iwt} dt

an den Stellen w = λ_{n}, n = 1, 2, …, gleich Null ist. Da f(x) ungleich Null ist, verschwindet H(w) nicht identisch.

Sei n(r) die Anzahl der Nullstellen von H(w), deren Betrag kleiner gleich r ist. Im folgenden sei A stets eine Konstante, die höchstens von f(x) und (λ_{n})_{n∈IN} abhängt.

Da aus der Definition der Funktion H(w) die Abschätzung

H(re^{iθ}) = O(e^{πr| sin θ|})

folgt, gilt mit der Ungleichung aus Satz 2.5.1:

∫_{1}^{r} \frac{n(t)}{t} dt ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} log |H(re^{iθ})| dθ + A
≤ 2r + A.  (2.23)

Nun ist n(t) eine monoton steigende Funktion. Damit ergibt sich

n(r) ∫_{r}^{2r} \frac{dt}{t} ≤ ∫_{r}^{2r} \frac{n(t)}{t} dt ≤ ∫_{1}^{2r} \frac{n(t)}{t} dt < 4r + A.

Also ist n(r) < 4r/ log 2 + A. Da (λ_{n})_{n∈IN} eine Teilmenge der Nullstellenmenge von H(w) ist, ergibt sich

Λ(r) < \frac{4}{log 2}r + A.

O.B.d.A. kann man annehmen, daß kein Folgeglied λ_{n} gleich Null ist. Wegen der letzten Abschätzung konvergiert das Produkt

F (w) := ∏_{n=1}^{∞} (1 − \frac{w}{λ_{n}} ) e^{w/λ_{n}}.

Da H(w) die Nullstellen w = λ_{n}, n = 1, 2, …, besitzt, ist

G(w) := H(w)/F (w)

eine ganze Funktion. Bezeichnet nun n_{1}(r) die Anzahl der Nullstellen der Funktion G(w), die betragsmäßig kleiner gleich r sind, dann gilt offensichtlich

n_{1}(r) = n(r) − Λ(r), und also

∫_{1}^{r} \frac{n_{1}(t)}{t} dt = ∫_{1}^{r} \frac{n(t)}{t} dt − ∫_{1}^{r} \frac{Λ(t)}{t} dt.

Mit der Voraussetzung

∫_{1}^{r} \frac{Λ(t)}{t} dt > 2r − \frac{1}{2} log r − C  (2.24)

und (2.23) ergibt sich dann

∫_{1}^{r} \frac{n_{1}(t)}{t} dt ≤ \frac{1}{2} log r + A.

Daraus folgt, daß n_{1}(r) = 0 sein muß. Somit hat die Funktion G(w) keine Nullstellen. Anhand des Faktorisierungssatzes gilt folglich H(w) = ae^{bw}F (w). Insbesondere gilt dann

|H(iv)| = e^{cv}|aF (iv)|.  (2.25)

Dabei sind a, b und c passende Konstanten.

Für jedes hinreichend kleine ϵ > 0 ergibt sich aus der Definition von H(w) und mittels der Hölderschen Ungleichung die Abschätzung

|H(iv)| ≤ (∫_{−π}^{−π+ϵ} + ∫_{−π+ϵ}^{π−ϵ} + ∫_{π−ϵ}^{π}) e^{−vt}|f(t)| dt
≤ [∫_{−π+ϵ}^{π−ϵ} e^{2vt} dt]^{1/2} [∫_{−π+ϵ}^{π−ϵ} |f(t)|^{2} dt]^{1/2}
+ [∫_{−π}^{−π+ϵ} e^{2vt} dt]^{1/2} [∫_{−π}^{−π+ϵ} |f(t)|^{2} dt]^{1/2}
+ [∫_{π−ϵ}^{π} e^{2vt} dt]^{1/2} [∫_{π−ϵ}^{π} |f(t)|^{2} dt]^{1/2}
≤ 2e^{(π−ϵ)|v|}|v|^{−1/2} [∫_{−π+ϵ}^{π−ϵ} |f(t)|^{2} dt]^{1/2}
+4e^{π|v|}|v|^{−1/2} [(∫_{−π}^{−π+ϵ} + ∫_{π−ϵ}^{π}) |f(t)|^{2} dt]^{1/2} .

Jetzt gibt es für jedes δ > 0 einen Wert ϵ, so daß

[(∫_{−π}^{−π+ϵ} + ∫_{π−ϵ}^{π}) |f(t)|^{2} dt]^{1/2} ≤ δ

bleibt. Deswegen folgen mit einer positiven Konstanten A die Ungleichungen

|H(iv)| ≤ Ae^{π|v|}|v|^{−1/2}(e^{−ϵ|v|} + δ)

und

log |H(iv)| ≤ π|v| − \frac{1}{2} log |v| + log(e^{−ϵ|v|} + δ) + log A.

Da δ beliebig klein gewählt werden kann, folgt

lim_{|v|→∞} (log |H(iv)| − π|v| + \frac{1}{2} log |v|) = −∞

und anhand der Gleichung (2.25)

lim_{|v|→∞} (log |F (iv)| + cv − π|v| + \frac{1}{2} log |v|) = −∞.  (2.26)

Andererseits besteht aufgrund der Definition der Funktion F (w) die Gleichung

log |F (iv)| = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} log(1 + v^{2}/t^{2}) dΛ(t)
= ∫_{0}^{∞} \frac{2v^{2}t}{(t^{2} + v^{2})^{2}} ∫_{0}^{t} \frac{Λ(s)}{s} ds dt (zweimal partiell integriert).

Wendet man nun die Voraussetzung (2.24) auf die letzte Formel an, so erhält man

log |F (iv)| ≥ ∫_{0}^{∞} \frac{2v^{2}t}{(t^{2} + v^{2})^{2}} (2t − \frac{1}{2} log t − A) dt
≥ π|v| − \frac{1}{2} log |v| ∫_{0}^{∞} \frac{2s}{(1 + s^{2})^{2}} ds − A (Substitution t = |v|s)
≥ π|v| − \frac{1}{2} log |v| − A.

Dies steht aber im Widerspruch zu (2.26). Somit ist der Satz bewiesen. □

Mit diesen Vorbereitungen läßt sich der folgende Satz über die Vollständigkeit der später verwendeten Funktionensysteme formulieren.

Satz 2.5.4 Sei q(x) ∈ L^{2}(0, π). Seien (λ_{n})_{n∈IN} die Dirichlet-Eigenwerte und (μ_{n})_{n∈IN} die Dirichlet-Neumann-Eigenwerte der Randwertaufgabe

−u′′ + q(x)u = λu,  0 ≤ x ≤ π,
u(0) = u(π) = 0 bzw. u(0) = u′(π) = 0.

Dann sind die Funktionensysteme

\{sin \sqrt{λ_{n}}x; n ∈ IN\} und \{sin \sqrt{μ_{n}}x; n ∈ IN\}

vollständig in L^{2}(0, π).

Beweis: Der Beweis wird nur für den Fall der Dirichlet-Eigenwerte durchgeführt. Im Fall der Dirichlet-Neumann-Eigenwerte verläuft der Beweis analog.

Bezeichne [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x und Λ(x) die Anzahl der Werte, für die \sqrt{λ_{n}} ≤ x ist. Nach Satz 2.4.3 gilt

\sqrt{λ_{n}} = n + O(1/n).

Für hinreichend großes x ist also Λ(x) = [x] + 1. Es folgt

\frac{Λ(x)}{x} ≥ 1.

Somit ist die Ungleichung

∫_{1}^{r} \frac{Λ(t)}{t} dt > r − \frac{1}{2} log r − C

mit einer geeigneten Konstante C > 0 erfüllt. Falls bei den Integralen

∫_{−π}^{π} f(t)e^{i\sqrt{λ_{n}}t} dt = ∫_{−π}^{π} f(t) cos \sqrt{λ_{n}}t dt + i ∫_{−π}^{π} f(t) sin \sqrt{λ_{n}}t dt

nur ungerade Funktionen f(x) ∈ L^{2}(−π, π) betrachtet werden, folgt aus Satz 2.5.3 die Behauptung. □

Inverse Sturm-Liouville-Probleme

Das inverse Sturm-Liouville-Problem, welches hier näher untersucht werden soll, besteht darin, eine Funktion q(x) auf einem Intervall so zu bestimmen, daß das (reguläre) Eigenwertproblem

− y′′ + q(x)y = λy, x ∈ [a_{1}, a_{2}],  (3.1)

mit den Randbedingungen

y(a_{j}) cos α_{j} + y′(a_{j}) sin α_{j} = 0, 0 ≤ α_{j} < π, j = 1, 2,  (3.2)

eine vorgegebene Folge (λ_{n})_{n∈IN} von Eigenwerten besitzt. Allerdings ist bekannt, daß eine Folge von Eigenwerten die zu bestimmende Funktion q(x) nicht eindeutig festlegt [3].

Vielmehr müssen zusätzliche Bedingungen aufgestellt werden, um die Funktion q(x) eindeutig zu bestimmen. Mögliche zusätzliche Bedingungen sind u.a.:

• Die Funktion q(x) sei so zu bestimmen, daß das Eigenwertproblem (3.1) eine weitere Folge (μ_{n})_{n∈IN} von Eigenwerten bei veränderten Randbedingungen besitzt [3], [18]. Z.B. sei in (3.2) α_{2} durch α̃_{2} ersetzt. Dabei gelte sin(α_{2} − α̃_{2}) ≠ 0.

• Die Funktion q(x) sei auf einer Hälfte des Intervalls [a_{1}, a_{2}] bekannt [27].

• Die Symmetrie der Funktion q(x) sei auf dem Intervall [a_{1}, a_{2}] gegeben [3]. Dabei gelte für die Randbedingungen α_{1} = −α_{2}.

• Die Funktion q(x) sei so zu bestimmen, daß das Eigenwertproblem (3.1) - (3.2) eine Folge (ϱ_{n})_{n∈IN} von sogenannten Normierungskonstanten besitzt [7]. Diese Normierungskonstanten seien wie folgt festgelegt:

ϱ_{k} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{y′_{k}(a_{1})} & für & α_{1} = 0 \\ \frac{1}{y_{k}(a_{1})} & für & 0 < α_{1} < π \end{matrix} .

Hierbei sei y_{k} die zu dem Eigenwert λ_{k} gehörige normierte Eigenfunktion.

3 INVERSE STURM-LIOUVILLE-PROBLEME

3.1 Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems

Die Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems läßt sich durch drei verschiedene Ansätze zeigen: erstens durch eine Methode von I. M. Gel’fand und B. M. Levitan [7], die auf dem Begriff der Transmutation beruht, zweitens mit Hilfe des Residuensatzes der Funktionentheorie [18] und drittens durch ein Fixpunktargument, welches von W. Rundell und P. E. Sacks [27] angegeben wurde.

Der in diesem Kapitel zentrale Satz lautet wie folgt.

Satz 3.1.1 (Eindeutigkeit) Seien durch (λ_{n})_{n∈IN} bzw. (μ_{n})_{n∈IN} die Dirichlet- bzw. Neumann-Eigenwerte eines Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblems (3.1) - (3.2) gegeben. Sei (ϱ_{n})_{n∈IN} die Folge der entsprechenden Normierungskonstanten.

Dann ist die Koeffizientenfunktion q(x) ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}] von (3.1) eindeutig festgelegt.

Die hier gegeben Beweise zur Eindeutigkeit beschränken sich also auf den Fall der Dirichlet- bzw. Neumann-Eigenwerte mit entsprechenden Normierungskonstanten als Daten. Der zweite Beweis ist eher von theoretischem Interesse, da die Methode dieses Beweises eine Verallgemeinerung der Eindeutigkeitsaussage (geringere Regularitätsvoraussetzungen an die Koeffizientenfunktion q(x)) zuläßt. Dieser Beweis sei der Vollständigkeit halber hier für zu rekonstruierende C^{2}-Funktionen mit angegeben. Die wesentlichen Verfahren der entwickelten Algorithmen leiten sich aus dem ersten und dritten Beweis her.

3.1.1 Erster Beweis (nach Gel’fand und Levitan)

Als Ansatz ,,vergleicht” man den gesuchten Differentialoperator

Dy := −y′′ + q(x)y

mit einem Ausdruck

D_{0}y := −y′′ + q_{0}(x)y,

bei dem die Funktion q_{0}(x) als bekannt vorausgesetzt ist. Man bestimmt einen Operator T, der Lösungen von Anfangswertaufgaben bzgl. D auf Lösungen von Anfangswertaufgaben bzgl. D_{0} abbildet. Mit Hilfe des adjungiertes Operators T^{∗} ergibt sich dann eine durch die unabhängige Variable x parametrisierte Schar Fredholmscher Integralgleichungen 2. Art, deren Kerne die gesuchte Funktion festlegen.

Der Operator T wird auch Transmutation genannt.

Definition 3.1.1 Ein Operator T : C^{2}[a_{1}, a_{2}] ⟶ C^{2}[a_{1}, a_{2}] heißt Transmutation von D_{0} und D bzgl. Dirichletscher Randbedingungen, falls die Gleichung

D_{0}T φ = T Dφ

für alle φ ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}] mit φ(a_{1}) = 0 gilt.

Bemerkung 3.1.1 Die Bedingung φ(a_{1}) = 0 in der Definition ersetzt man bei einem Eigenwertproblem mit Neumannschen Randbedingungen φ′(a_{1}) = φ′(a_{2}) = 0 durch φ′(a_{1}) = 0.

Die Existenz einer Transmutation für die oben erklärten Differentialoperatoren wird durch den folgenden Satz gesichert:

Satz 3.1.2 Seien q(x), q_{0}(x) ∈ C[a_{1}, a_{2}]. Dann existiert für alle φ(x) ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}] genau eine Transmutation von D_{0} und D der Form

(T φ)(x) = φ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)φ(t) dt, a_{1} ≤ x ≤ a_{2}.

Hierbei heißt die Funktion

K(x, y) ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω), Ω := \{(x, y) ∈ IR^{2}; a_{1} < y < x < a_{2}\}

der ,,Kern” des Integraloperators.

Beweis: Falls eine Funktion K(x, y) wie behauptet existiert, muß die Gleichung

− (T ϕ)′′ + q_{0}(x)T ϕ = T (−ϕ′′ + q(x)ϕ) für ϕ ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}]  (3.3)

erfüllt sein. Für die linke Seite ergeben sich aus der geforderten Form des Operators T die Formeln

(T ϕ)(x) = ϕ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)ϕ(t) dt,
(T ϕ)′(x) = ϕ′(x) + K(x, x)ϕ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K_{x}(x, t)ϕ(t) dt und
(T ϕ)′′(x) = ϕ′′(x) + (K(x, x))′ϕ(x) + K(x, x)ϕ′(x)
+ K_{x}(x, x)ϕ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K_{xx}(x, t)ϕ(t) dt.

Für den ersten Summanden des Arguments auf der rechten Seite von (3.3) erhält man durch partielle Integration

(T ϕ′′)(x) = ϕ′′(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)ϕ′′(t) dt
= ϕ′′(x) − ∫_{a_{1}}^{x} K_{y}(x, t)ϕ′(t) dt + [K(x, t)ϕ′(t)]_{a_{1}}^{x}
= ϕ′′(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K_{yy}(x, t)ϕ(t) dt + [K(x, t)ϕ′(t) − K_{y}(x, t)ϕ(t)]_{a_{1}}^{x} .

Damit lautet die Gleichung (3.3) ausführlich

−(K(x, x))′ϕ(x) − K(x, x)ϕ′(x) − K_{x}(x, x)ϕ(x) − ∫_{a_{1}}^{x} K_{xx}(x, t)ϕ(t) dt
+q_{0}(x)ϕ(x) + q_{0}(x) ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)ϕ(t) dt
= − ∫_{a_{1}}^{x} K_{yy}(x, t)ϕ(t) dt − [K(x, t)ϕ′(t) − K_{y}(x, t)ϕ(t)]_{a_{1}}^{x}
+q(x)ϕ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)q(t)ϕ(t) dt.

Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn die Koeffizienten von ϕ(x), ϕ′(x), ϕ(a_{1}) und ϕ(t) auf der linken und rechten Seite übereinstimmen. Damit ergeben sich folgende Bedingungen für die Existenz der Funktion K(x, y):

ϕ(x) :  −(K(x, x))′ − K_{x}(x, x) − K_{y}(x, x) + q_{0}(x) − q(x) = 0
⟺ −2(K(x, x))′ = q(x) − q_{0}(x)
⟺ K(x, x) = C + \frac{1}{2} ∫_{a_{1}}^{x}[q_{0}(t) − q(t)] dt,
ϕ′(a_{1}) :  K(x, a_{1}) = 0
⟹ C = 0,
ϕ(t) :  −K_{xx}(x, t) + K_{yy}(x, t) + q_{0}(x)K(x, t) − q(t)K(x, t) = 0
in Ω = {(x, y) ∈ IR^{2}; a_{1} < y < x < a_{2}}.

Also muß die Funktion K(x, y) eine hyperbolische Gleichung

K_{yy} − K_{xx} + (q_{0}(x) − q(y))K = 0 in Ω

unter den Randbedingungen

K(x, x) = \frac{1}{2} ∫_{a_{1}}^{x}[q_{0}(t) − q(t)] dt für a_{1} ≤ x ≤ a_{2} und
K(a_{1}, y) = 0 für a_{1} ≤ y ≤ a_{2}

erfüllen, damit sie den Kern eines Transmutationsoperators T von D_{0} und D darstellt. Da keine Charakteristiken vom Punkt (a_{1}, a_{1}) ins Innere von Ω laufen, existiert eine solche Lösung der obigen partiellen Differentialgleichung und es gilt

K(x, y) ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω).
□

Bemerkung 3.1.2 Aus dem Beweis wird ersichtlich, daß es genau eine Transmutation von D und D_{0}

(T̃φ)(x) = φ(x) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)φ(t) dt, a_{1} ≤ x ≤ a_{2},

mit einer Funktion H(x, y) ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) gibt.

Anhand des Satzes 3.1.3 und des Satzes 2.3.1 über die Reihenentwicklung von C^{2}- Funktionen durch Eigenfunktionen ergibt sich sofort T̃ = T^{−1}.

Der so ermittelte Operator T stellt also einen sogenannten Volterrascher Integraloperator 2. Art dar, dessen Eigenschaften durch funktionalanalytische Betrachtungen hergeleitet werden [33]. Insbesondere stellt sich heraus, daß T und der inverse Operator T^{−1} stetig sind. Mit dem Operator T lassen sich die Lösungen ϕ(x, λ), ϕ_{0}(x, λ) der durch λ parametrisierten Anfangswertprobleme

Dϕ = λϕ,  ϕ(a_{1}, λ) = γ_{1},
ϕ′(a_{1}, λ) = γ_{2}

und

D_{0}ϕ_{0} = λϕ_{0},  ϕ_{0}(a_{1}, λ) = γ_{1},
ϕ′_{0}(a_{1}, λ) = γ_{2}

mit (γ_{1}, γ_{2}) = (0, 1) (bzw. (γ_{1}, γ_{2}) = (1, 0)) ineinander überführen. Es gilt der folgende Satz:

Satz 3.1.3 Für den Transmutationsoperator T von D_{0} und D gilt

ϕ_{0}(x, λ) = (T ϕ)(x, λ), a_{1} ≤ x ≤ a_{2}.

Beweis: Sei

Ψ_{0}(x, λ) := (T ϕ)(x, λ) = ϕ(x, λ) + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)ϕ(t, λ) dt.

Dann ist

D_{0}Ψ_{0} = D_{0}T ϕ = T Dϕ = λT ϕ = λΨ_{0}

und

Ψ_{0}(a_{1}, λ) = ϕ(a_{1}, λ) = γ_{1},
Ψ′_{0}(a_{1}, λ) = ϕ′(a_{1}, λ) + \underbrace{K(a_{1}, a_{1})}_{=0} ϕ(a_{1}, λ) = γ_{2}.

Damit ist Ψ_{0}(x, λ) eine Lösung der gewöhnlichen Diffentialgleichung

D_{0}y = −y′′ + q_{0}(x)y = λy

mit den gleichen Anfangswerten wie ϕ_{0}(x, λ). Da diese Anfangswertaufgabe eindeutig zu lösen ist (q_{0}(x) ist stetig), folgt

ϕ_{0}(x, λ) = Ψ_{0}(x, λ) = (T ϕ)(x, λ).
□

Nun seien die Folge (λ_{n})_{n∈IN} der Eigenwerte und die Folge (ϱ_{n})_{n∈IN} der Normierungskonstanten gegeben. Sei durch

l^{2}(IR) := {(c_{n})_{n∈IN}, ||c||_{l^{2}} < ∞} mit ||c||_{l^{2}}^{2} := ∑_{k=1}^{∞} c_{k}^{2}

der Hilbertraum der reellen quadratsummierbaren Folgen bezeichnet. Sei auf l^{2}(IR) wie folgt einen Operator Φ : l^{2} ⟶ L^{2}(a_{1}, a_{2}) definiert:

(Φc)(x) := ∑_{k=1}^{∞} c_{k} \frac{ϕ(x, λ_{k})}{ϱ_{k}}.

Wenn u_{k}(x), k = 1, 2, …, die durch ||u_{k}||_{L^{2}} = 1 normierten Eigenfunktionen bezeichnen, die zu den Eigenwerten λ_{k} gehören, dann gilt mit den Normierungskonstanten ϱ_{k}

ϱ_{k}u_{k}(x) = ϕ(x, λ_{k}),

da die Funktionen ϱ_{k}u_{k}(x) und ϕ(x, λ_{k}) die gleiche Anfangswertaufgabe lösen. Man erhält die Abschätzung

||Φc||_{L^{2}}^{2} = ∫_{a_{1}}^{a_{2}}(Φc)^{2}(t) dt
= ∑_{k=1}^{∞} c_{k}^{2}  (die u_{k}(t) sind orthogonal zueinander)
≤ ||c||_{l^{2}}^{2}.

Somit ist der lineare Operator Φ beschränkt mit ||Φ|| = 1. Also existiert der adjungierte Operator Φ^{∗} : L^{2}(a_{1}, a_{2}) ⟶ l^{2},

(Φc, f)_{L^{2}} = (c, Φ^{∗}f)_{l^{2}},  f ∈ L^{2}(a_{1}, a_{2}),
c ∈ l^{2}(IR).

Für k = 1, 2, … lassen sich die Werte (Φ^{∗}f)_{k} explizit berechnen:

∑_{k=1}^{∞} c_{k}(Φ^{∗}f)_{k} = (c, Φ^{∗}f)_{l^{2}}
= (Φc, f)_{L^{2}}
= (∑_{k=1}^{∞} c_{k}u_{k}(·), f)_{L^{2}}

= ∑_{k=1}^{∞} c_{k}(u_{k}, f)_{L^{2}}

⟹ (Φ^{∗}f)_{k} = (u_{k}, f)_{L^{2}} = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} u_{k}(t)f(t) dt.

Aufgrund der Entwickelbarkeit von L^{2}-Funktionen durch die Eigenfunktionen u_{k}(x) (Satz 2.3.1) ergibt sich dann

(ΦΦ^{∗}f)(x) = ∑_{k=1}^{∞}(Φ^{∗}f)_{k}u_{k}(x)

= ∑_{k=1}^{∞}(u_{k}, f)_{L^{2}}u_{k}(x)
= f(x)  (im Sinne der L^{2} − Konvergenz).

Nun betrachtet man den Operator

Φ_{0} : l^{2} ⟶ L^{2}(a_{1}, a_{2}), (Φ_{0}c)(x) := T (Φc)(x) = ∑_{k=1}^{∞} c_{k} \frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})}{ϱ_{k}}.

Dieser ist linear und beschränkt, da T ein beschränkter Volterrascher Integraloperator 2. Art ist. Es folgt

Φ_{0}Φ_{0}^{∗}f = (T Φ)(T Φ)^{∗}f = T ΦΦ^{∗}T^{∗}f = T T^{∗}f

für alle f(x) ∈ L^{2}(a_{1}, a_{2}).

Bezeichne I den identischen Operator. Mit der Setzung F := Φ_{0}Φ_{0}^{∗} −I erhält man dann

F = T T^{∗} − I
⇒ T^{−1}F = T^{∗} − T^{−1}
⇒ T̃F + T̃ = T^{∗}.

Wegen K^{∗}(x, t) = K(t, x) = 0 für t ≤ x lautet die letzte Operatorengleichung

(Ff)(x) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)(Ff)(t) dt + f(x) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)f(t) dt
= f(x) + ∫_{a_{1}}^{x} K^{∗}(x, t)f(t) dt

⇒ (Ff)(x) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)(Ff)(t) dt + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)f(t) dt = ∫_{a_{1}}^{x} K(t, x)f(t) dt = 0.

Wenn (λ_{0,n})_{n∈IN} die Folge der Eigenwerte von D_{0}ϕ = λϕ und (ϱ_{0,n})_{n∈IN} die Folge der zugehörigen Normierungskonstanten bezeichnen, dann bilden die Funktionen

u_{0,k}(x) := \frac{1}{ϱ_{0,k}} ϕ_{0}(x, λ_{0,k})

ein System orthonormierter Eigenfunktionen von D_{0}. Damit berechnet sich die Funktion (Ff)(x) (anhand der Entwickelbarkeit von L^{2}-Funktionen nach den orthonormierten Eigenfunktionen u_{0,k}(x)) zu

(Ff)(x) = (Φ_{0}Φ_{0}^{∗}f)(x) − f(x)
= ∑_{k=1}^{∞} [(\frac{ϕ_{0}(·, λ_{k})}{ϱ_{k}}, f)_{L^{2}} \frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})}{ϱ_{k}}] − ∑_{k=1}^{∞} [(\frac{ϕ_{0}(·, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}}, f)_{L^{2}} \frac{ϕ_{0}(x, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}}]

= ∫_{a_{1}}^{a_{2}} f(t) ∑_{k=1}^{∞} [\frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})ϕ_{0}(t, λ_{k})}{ϱ_{k}^{2}} − \frac{ϕ_{0}(x, λ_{0,k})ϕ_{0}(t, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}^{2}}] dt,

falls die Reihe

∑_{k=1}^{∞} [\frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})ϕ_{0}(t, λ_{k})}{ϱ_{k}^{2}} − \frac{ϕ_{0}(x, λ_{0,k})ϕ_{0}(t, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}^{2}}]

im Sinne von L^{2} konvergiert (Vertauschung von Summation und Integration!). Dies ist unter gewissen Voraussetzung richtig, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 3.1.4 Seien (λ_{n})_{n∈IN}, (ϱ_{n})_{n∈IN} und (λ_{0,n})_{n∈IN}, (ϱ_{0,n})_{n∈IN} die Eigenwerte und Normierungskonstanten der Randwertaufgaben

Dϕ = λϕ, ϕ(a_{1}) = ϕ(a_{2}) = 0 (bzw. ϕ′(a_{1}) = ϕ′(a_{2}) = 0),
D_{0}ϕ = λϕ, ϕ(a_{1}) = ϕ(a_{2}) = 0 (bzw. ϕ′(a_{1}) = ϕ′(a_{2}) = 0),

wobei die Funktion q_{0} ≡ 0 ist und für den Mittelwert der Funktion q(x)

\frac{1}{a_{2} − a_{1}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt = 0

gilt. Sei ϕ_{0}(x, λ) die Lösung der Anfangswertaufgabe

D_{0}ϕ_{0} = λϕ_{0}, ϕ_{0}(a_{1}, λ) = γ_{1}, ϕ′_{0}(a_{1}, λ) = γ_{2}

mit (γ_{1}, γ_{2}) = (0, 1) (bzw. (γ_{1}, γ_{2}) = (1, 0)) und

F (x, y) := ∑_{k=1}^{∞} (\frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})ϕ_{0}(y, λ_{k})}{ϱ_{k}^{2}} − \frac{ϕ_{0}(x, λ_{0,k})ϕ_{0}(y, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}^{2}}) , x, y ∈ [a_{1}, a_{2}].

Dann existiert eine Konstante M > 0, so daß

∫_{a_{1}}^{a_{2}}∫_{a_{1}}^{a_{2}} F (x, y) dx dy < M

gilt.

Beweis: O.B.d.A. darf man annehmen, daß a_{1} = 0 und a_{2} = l ist, da durch eine Verschiebung des zu betrachtenden Intervalls die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Operatoren D und D_{0} nicht verändert werden.

Die Lösung des Anfangswertproblems

−ϕ′′_{0} = μϕ_{0},  ϕ_{0}(0, μ) = γ_{1}
ϕ′_{0}(0, μ) = γ_{2}

lautet für (γ_{1}, γ_{2}) = (0, 1) und für positive Parameterwerte μ

ϕ_{0}(x, μ) = \frac{1}{\sqrt{μ}} sin \sqrt{μ}x, 0 ≤ x.

Für (γ_{1}, γ_{2}) = (1, 0) ergibt sich

ϕ_{0}(x, μ) = cos \sqrt{μ}x, 0 ≤ x.

Da in diesem Fall

ϱ_{k} = \sqrt{\frac{l}{2}} + O (\frac{1}{k} )

ist, kann analog zum erstgenannten Fall gerechnet werden, indem man im folgenden die Sinus- durch die entsprechenden Cosinusterme austauscht. Daher genügt es, nur die Anfangsbedingung (γ_{1}, γ_{2}) = (0, 1) zu betrachten.

Nach Satz 2.4.3 und Satz 2.4.5 gelten für die Eigenwerte von D und den entsprechenden Normierungskonstanten die asymptotischen Formeln

λ_{k} = (\frac{π}{l} )^{2} k^{2} + O (\frac{1}{k^{2}} )
⟹ \sqrt{λ_{k}} = \frac{π}{l} k + O (\frac{1}{k^{3}} )
= \sqrt{λ_{0,k}} + O (\frac{1}{k^{3}} ) und

ϱ_{k} = \frac{1}{\sqrt{λ_{k}}} (\sqrt{\frac{l}{2}} + O (\frac{1}{k} )) .

Damit erhält man eine Näherung der einzelnen Summanden der Reihe F (x, y):

\frac{ϕ_{0}(x, λ_{k})ϕ_{0}(y, λ_{k})}{ϱ_{k}^{2}} − \frac{ϕ_{0}(x, λ_{0,k})ϕ_{0}(y, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}^{2}}

= \frac{sin \sqrt{λ_{k}}x sin \sqrt{λ_{k}}y}{\frac{l}{2} + O (\frac{1}{k} )} − \frac{sin \sqrt{λ_{0,k}}x sin \sqrt{λ_{0,k}}y}{\frac{l}{2} + O (\frac{1}{k} )}

= \{\frac{2}{l} + O (\frac{1}{k} ) − (\frac{2}{l} + O (\frac{1}{k} ))\} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y + O (\frac{1}{k^{3}} )

= \frac{b_{k}}{k} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y + O (\frac{1}{k^{3}} ) .

Der Term O(1/k^{3}) stellt hierbei eine Funktion dar, die stetig von x und y abhängt. (b_{n})_{n∈IN} ist eine Folge reeller Zahlen, die durch eine Konstante M_{1} > 0 beschränkt wird: |b_{k}| ≤ M_{1}, k ∈ IN.

Diese Näherung gilt für x, y ∈ [0, l] beliebig. Also läßt sich die Norm der Funktion F (x, y) mit einer in x und y stetigen Funktion h(x, y), gegen die der Term O(1/k^{3}) in der Summe absolut und gleichmäßig konvergiert, wie folgt abschätzen:

||F ||_{L^{2}×L^{2}} = ||∑_{k=1}^{∞} (\frac{b_{k}}{k} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y + O (\frac{1}{k^{3}} ))||_{L^{2}×L^{2}}

≤ ||∑_{k=1}^{∞} \frac{b_{k}}{k} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y||_{L^{2}×L^{2}} + ||h||_{L^{2}×L^{2}}.  (3.4)

Nun ergibt sich für die Partialsummen des ersten Terms von (3.4) wegen der Orthogonalitätseigenschaft der Funktionen sin(\frac{kπ}{l} x), k ∈ IN,

∫_{0}^{l}∫_{0}^{l} (∑_{k=1}^{n} \frac{b_{k}}{k} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y)^{2} dx dy

= ∑_{j,k=1}^{n} \frac{b_{j}b_{k}}{jk} \underbrace{∫_{0}^{l} sin \frac{jπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} x dx ∫_{0}^{l} sin \frac{jπ}{l} y sin \frac{kπ}{l} y dy}_{=\{ \begin{matrix}(l/2)^{2}, & falls j = k \\ 0, & sonst \end{matrix}}

= (\frac{l}{2})^{2} ∑_{k=1}^{n} \frac{b_{k}^{2}}{k^{2}}
≤ \frac{1}{24}(lM_{1}π)^{2} für alle n ∈ IN.

Mit ||h||_{L^{2}×L^{2}} ≤ M_{2} erhält man daraus

||F ||_{L^{2}×L^{2}} ≤ \frac{1}{\sqrt{24}}lM_{1}π + M_{2}.

□

Falls man an die Funktion f(x) ∈ L^{2}(a_{1}, a_{2}) die Bedingung supp(f) ⊂ [a_{1}, x] stellt, gelangt man zur Integralgleichung

(Ff)(x) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, s)(Ff)(s) ds + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)f(t) dt
= ∫_{a_{1}}^{x} F (x, t)f(t) dt + \underbrace{∫_{a_{1}}^{x} H(x, s) ∫_{a_{1}}^{x} F (s, t)f(t) dt ds}_{=∫_{a_{1}}^{x} f(t) ∫_{a_{1}}^{x} H(x,s)F (s,t) ds dt} + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)f(t) dt

= ∫_{a_{1}}^{x} f(t) (F (x, t) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, s)F (s, t) ds + H(x, t)) dt = 0.

Da f(x) unter der Voraussetzung supp(f) ⊂ [a_{1}, x] beliebig war, erhält man insgesamt

F (x, y) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)F (t, y) dt + H(x, y) = 0, a_{1} ≤ y ≤ x.  (3.5)

Diese Gleichung ist von I. M. Gel’fand und B. M. Levitan angegeben worden [7]. Sie stellt für jedes fest gewählte x ∈ [a_{1}, a_{2}] eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art dar. Mit der speziellen Wahl

q_{0}(x) := 0, a_{1} ≤ x ≤ a_{2},

für die Vergleichsfunktion q_{0}(x) zeigt der nächste Satz, daß (3.5) für jedes x ∈ [a_{1}, a_{2}] genau eine Lösung H(x, y) besitzt.

Satz 3.1.5 Sei q_{0}(x) ≡ 0 auf [a_{1}, a_{2}]. Die Funktion F (x, y) sei wie in Satz 3.1.4 definiert. Dann besitzt die Integralgleichung

H(x, y) + ∫_{a_{1}}^{x} H(x, t)F (t, y) dt = −F (x, y), a_{1} ≤ y ≤ x,

für jedes x ∈ [a_{1}, a_{2}] genau eine Lösung H(x, y) ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω).

Beweis: Sei x ∈ [a_{1}, a_{2}] beliebig, aber fest. Setze dann

g(y) := H(x, y), a_{1} ≤ y ≤ x.

Um den Fredholmschen Alternativsatz [33] zu verwenden, ist zu zeigen, daß die homogene Gleichung

g(y) + ∫_{a_{1}}^{x} g(t)F (t, y) dt = 0

nur die triviale Lösung g ≡ 0 besitzt.

Sei also g(y) eine Lösung der obigen Gleichung. Dann folgt

g(y) + ∑_{k=1}^{∞} (\frac{ϕ_{0}(y, λ_{k})}{ϱ_{k}} ∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{k})}{ϱ_{k}} dt − \frac{ϕ_{0}(y, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}} ∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}} dt) = 0.

Multipliziert man diese Gleichung mit g(y) und integriert anschließend von a_{1} bis x bezüglich der Variablen t, so erhält man wegen der Parsevalschen Beziehung (Bemerkung 2.12) für die normierten Eigenfunktionen u_{0,k}(x) des Operators D_{0}

∑_{k=1}^{∞} (∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}} dt)^{2} = ∑_{k=1}^{∞} (∫_{a_{1}}^{x} g(t)u_{0,k}(t) dt)^{2} = ∫_{a_{1}}^{x} g^{2}(t) dt

das Ergebnis

∫_{a_{1}}^{x} g^{2}(t) dt + ∑_{k=1}^{∞} \{(∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{k})}{ϱ_{k}} dt)^{2} − (∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{0,k})}{ϱ_{0,k}} dt)^{2}\} =

∑_{k=1}^{∞} (∫_{a_{1}}^{x} g(t)\frac{ϕ_{0}(t, λ_{k})}{ϱ_{k}} dt)^{2} = 0.

Eine Summe aus lauter nichtnegativen Gliedern kann nur dann identisch verschwinden, wenn alle Summanden gleich Null sind. Also ergibt sich

∫_{a_{1}}^{x} g(t) sin \sqrt{λ_{k}}(t − a_{1}) dt = 0 für k = 1, 2, 3, ….

Zusammen mit der Vollständigkeitseigenschaft des Funktionensystems \{sin \sqrt{λ_{k}}(x − a_{1}); k ∈ IN\} und der Eigenschaft g(a_{1}) = 0 folgt g ≡ 0. □

Damit ist die gesuchte Funktion q(x) eindeutig durch die Zahlenfolgen (λ_{n})_{n∈IN} und (ϱ_{n})_{n∈IN} festgelegt.

3.1.2 Zweiter Beweis (nach Levinson)

Während der erste und der dritte Beweis Sätze der Funktionalanalysis benutzen, basiert der zweite Beweis des Satzes 3.1.1 vornehmlich auf Aussagen der Funktionentheorie. Die wesentliche Idee besteht in einer Anwendung des Residuensatzes. Dadurch ergibt sich eine erwähnenswerte theoretische Alternative zu den beiden anderen Beweisen. Der folgende Eindeutigkeitsbeweis wurde von N.Levinson angegeben, allerdings für etwas andere Randbedingungen. Durch eine Gleichung für die Normierungskonstanten ϱ_{k} läßt sich der in [18] durchgeführte Beweis für Dirichletsche bzw. Neumannsche Randbedingungen übertragen.

Seien q_{1}(x), q_{2}(x) ∈ C^{2}[a_{1}, a_{2}] zwei Funktionen, für die die Randwertprobleme

−y′′ + q_{j}(x) = λy,  a_{1} ≤ x ≤ a_{2}, j = 1, 2,
y(a_{1}) = y(a_{2}) = 0  (bzw. y′(a_{1}) = y′(a_{2}) = 0)

die gleichen Eigenwerte (λ_{n})_{n∈IN} und Normierungskonstanten (ϱ_{n})_{n∈IN} besitzen. Zu zeigen ist, daß q_{1} ≡ q_{2} ist.

Dazu seien u_{j}(x, λ), v_{j}(x, λ) die Lösungen der Gleichungen

−y′′ + q_{j}(x)y = λy, a_{1} ≤ x ≤ a_{2}, j = 1, 2,

mit den Anfangswerten

u_{j}(a_{1}, λ) = c_{1},  v_{j}(a_{2}, λ) = c_{1},
u′_{j}(a_{1}, λ) = c_{2},  v′_{j}(a_{2}, λ) = c_{2},

wobei (c_{1}, c_{2}) = (0, 1) (bzw. (c_{1}, c_{2}) = (1, 0)) ist. Wie schon im ersten Beweis sei zunächst nur der erste Fall betrachtet. Für das weitere Vorgehen ist folgendes Lemma nützlich [26]:

Lemma 3.1.1 Für die Normierungskonstanten ϱ_{k} gelten die Gleichungen

\frac{1}{ϱ_{k}^{2}} = u′_{1}(a_{2}, λ_{k})\frac{∂}{∂λ}u_{1}(a_{2}, λ_{k}), k = 1, 2, ….

Beweis: Für jedes x ∈ [a_{1}, a_{2}] ist u_{1}(x, λ) eine ganze Funktion in λ [26]. Also macht es Sinn, beide Seiten der Gleichung

− u′′_{1} + q_{1}(x)u_{1} = λu_{1}  (3.6)

nach λ zu differenzieren. Da u_{1} ∈ C^{2} ist, darf man die partiellen Ableitungen vertauschen und erhält mit der Schreibweise u̇_{1} := \frac{∂}{∂λ}u_{1}

− u̇′′_{1} + q_{1}(x)u̇_{1} = u_{1} + λu̇_{1}.  (3.7)

Multipliziert man die Gleichung (3.7) mit u_{1}, die Gleichung (3.6) mit u̇_{1} und subtrahiert die jeweils resultierenden Gleichungen voneinander, so ergibt sich

u_{1}^{2} = u′′_{1}u̇_{1} − u̇′′_{1}u_{1}.

Damit folgt durch Integration bzgl. t an den Stellen λ = λ_{k}

∫_{a_{1}}^{a_{2}} u_{1}^{2}(t, λ_{k}) dt = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} [u′_{1}(t, λ_{k})u̇_{1}(t, λ_{k}) − u̇′_{1}(t, λ_{k})u_{1}(t, λ_{k})]′ dt
= u′_{1}(a_{2}, λ_{k})\frac{∂}{∂λ}u_{1}(a_{2}, λ_{k}), k = 1, 2, …,

da nach Voraussetzung u_{1}(a_{1}, λ_{k}) = u_{1}(a_{2}, λ_{k}) = 0 und u̇_{1}(a_{1}, λ_{k}) = 0 (der Anfangswert der Funktion u_{1} ist nicht von λ abhängig). Da

\frac{1}{ϱ_{k}^{2}} = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} u_{1}^{2}(t, λ_{k}) dt

gilt, ist das Lemma bewiesen. □

Mit diesem Lemma soll nun gezeigt werden, daß sich die Funktionen u_{j}(x, λ) und v_{j}(x, λ) an den Stellen λ = λ_{k} jeweils um einen gemeisamen Faktor γ_{k} unterscheiden.

Die Existenz dieser Faktoren sichert folgende Überlegung.

Die Eigenwerte (λ_{n})_{n∈IN} sind die Zahlen, für die

u_{1}(a_{2}, λ_{k}) = 0, k = 1, 2, 3, …,

gilt. Weil die reellwertigen Funktionen u_{1}(x, λ_{k}) und v_{1}(x, λ_{k}) die gleiche Differentialgleichung lösen und eine der beiden Anfangsbedingungen gemeinsam erfüllen, gibt es reelle Zahlen γ_{k} ≠ 0, k = 1, 2, 3, …, so daß

u_{1}(x, λ_{k}) = γ_{k}v_{1}(x, λ_{k}), x ∈ [a_{1}, a_{2}].  (3.8)

Nun gilt auch

u_{2}(x, λ_{k}) = γ_{k}v_{2}(x, λ_{k}), x ∈ [a_{1}, a_{2}].  (3.9)

Denn aufgrund der asymptotischen Formel für die Funktion u_{1}(·, λ) aus Satz 2.4.4 ist die Funktion

w(λ) := −u_{1}(a_{2}, λ)

eine ganze Funktion der Ordnung \frac{1}{2} mit den Nullstellen λ = λ_{k}. Daher gilt mit einer Konstanten C ≠ 0 die Faktorisierung

w(λ) = C ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{λ}{λ_{k}} ) .

Somit berechnen sich die Faktoren γ_{k} zu

γ_{k} = u′_{1}(a_{2}, λ_{k})
= ∫_{a_{1}}^{a_{2}} u_{1}^{2}(t, λ_{k}) dt (\frac{∂}{∂λ}u_{1}(a_{2}, λ_{k}))^{−1}

= −\frac{λ_{k}}{ϱ_{k}^{2}C} ( ∏_{l=1,l≠k}^{∞} \frac{λ_{l} − λ_{k}}{λ_{k}} )^{−1} .

Also sind die γ_{k} unabhängig von q_{j}(x), j = 1, 2. Daraus ergibt sich die Gültigkeit der Gleichung (3.9).

Mit diesen Vorüberlegungen läßt sich die Identität q_{1} ≡ q_{2}, d.h. die Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems, wie folgt beweisen.

Sei der Definitionsbereich der Differentialgleichung in das Intervall [0, l] verschoben, wobei l := a_{2}−a_{1} gesetzt ist. Dies bedeutet keine Einschränkung, da durch Verschiebung des Intervalls [a_{1}, a_{2}] die Eigenwerte und die Normierungskonstanten nicht verändert werden.

Ferner sei f(x) eine beliebige Funktion aus C^{1}[0, l] mit den Randwerten f(0) = f(l) = 0. Desweiteren definiere man eine Funktion

H(x, λ) := \frac{1}{w(λ)}v_{2}(x, λ) ∫_{0}^{x} u_{1}(t, λ)f(t) dt, x ∈ [0, l].

Betrachtet man das Integral von H(x, λ) längs eines geschlossenen Kreises Γ in der λ-Ebene mit Mittelpunkt λ = 0 und Radius r = \frac{1}{2}(λ_{N}^{1/2} + λ_{N+1}^{1/2}), so gilt

∫_{Γ} H(x, λ) dλ = ∫_{Θ} H(x, s^{2})s ds.

Hierbei ist Θ = \{s ∈ C, |s| = \sqrt{r}\} ein Kreis in der s-Ebene. Weiter gelten mit der Bezeichnung s = σ + iτ, λ = s^{2}, für große |λ| die asymptotischen Formeln (Satz 2.4.4)

v_{2}(x, λ) = \frac{sin s(l − x)}{s} + O (\frac{e^{|τ|(l−x)}}{|s|^{2}} ) ,

u_{1}(x, λ) = \frac{sin sx}{s} + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|^{2}} ) und
w(λ) = −u_{1}(l, λ)
= −\frac{sin sl}{s} + O (\frac{e^{|τ|l}}{|s|^{2}} ) .

Für δ = min\{\frac{1}{2}x, |λ_{N}|^{−1/4}\} folgt mittels partieller Integration

∫_{0}^{x} u_{1}(t, λ)f(t) dt = ∫_{0}^{x} \frac{sin st}{s}f(t) dt + O (\frac{1}{|s|^{2}} ) ∫_{0}^{x} |f(t)|e^{|τ|t} dt
= −\frac{cos sx}{s^{2}}f(x) + O (\frac{e^{|τ|(x−δ)}}{|s|^{2}} ) ∫_{0}^{x−δ}(|f(t)| + |f′(t)|) dt

+O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|^{2}} ) ∫_{x−δ}^{x}(|f(t)| + |f′(t)|) dt

= −\frac{cos sx}{s^{2}}f(x) + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|^{2}} ) (xe^{−δ|τ|} + δ).

Daraus ergibt sich

H(x, s^{2}) = \frac{1}{sin sl + O (\frac{e^{|τ|l}}{|s|} )} (sin s(l − x) + O (\frac{e^{|τ|(l−x)}}{|s|} ))

· (\frac{cos sx}{s^{2}}f(x) + O (\frac{e^{|τ|x}}{|s|^{2}} ) (xe^{−δ|τ|} + δ)) .

Für N → ∞ konvergiert also

∫_{Γ} H(x, λ) dλ − f(x) ∫_{Θ} \frac{sin s(l − x) cos sx}{s sin sl} ds ⟶ 0

gleichmäßig in x ∈ [0, l]. Anhand der trigonometrischen Additionstheoreme ist

sin s(l − x) cos sx = (sin sl cos sx − sin sx cos sl) cos sx
= \frac{1}{2}(2 sin sl cos^{2} sx − 2 cos sl sin sx cos sx)
= \frac{1}{2}((1 + cos^{2} sx − sin^{2} sx) sin sl − cos sl sin 2sx)
= \frac{1}{2}(sin sl + sin sl cos 2sx − cos sl sin 2sx)
= \frac{1}{2}(sin sl + sin s(l − 2x)).

Damit folgt für N → ∞

∫_{Γ} H(x, λ) dλ − πif(x) ⟶ 0

gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall des offenen Intervalls (0, l) und absolut im abgeschlossenen Intervall [0, l]. Der Residuensatz liefert daher zusammen mit (3.9) die Reihenentwicklung

f(x) = 2 ∑_{k=1}^{∞} (\frac{v_{2}(x, λ_{k})}{w′(λ_{k})} ∫_{0}^{x} u_{1}(t, λ_{k})f(t) dt)

= 2 ∑_{k=1}^{∞} (\frac{u_{2}(x, λ_{k})}{γ_{k}w′(λ_{k})} ∫_{0}^{x} u_{1}(t, λ_{k})f(t) dt) .  (3.10)

Wendet man die gleichen Argumente auf die Funktion

H̃(x, λ) := \frac{1}{w(λ)}u_{2}(x, λ) ∫_{x}^{l} u_{1}(t, λ)f(t) dt

an, so ergibt sich die Entwicklung

f(x) = 2 ∑_{k=1}^{∞} (\frac{u_{2}(x, λ_{k})}{γ_{k}w′(λ_{k})} ∫_{x}^{l} u_{1}(t, λ_{k})f(t) dt) .  (3.11)

Die Gleichungen (3.10) und (3.11) addieren sich zu

f(x) = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{u_{2}(x, λ_{k})}{γ_{k}w′(λ_{k})} ∫_{0}^{l} u_{1}(t, λ_{k})f(t) dt) .  (3.12)

Die obige Herleitung bleibt sicherlich richtig, falls an jeder Stelle anstatt u_{1}, v_{1} die Funktionen u_{2} und v_{2} einsetzt werden, da nur von der asymptotischen Entwicklung dieser Funktionen Gebrauch gemacht wurde. Man gelangt somit für f(x) zu der Darstellung

f(x) = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{u_{2}(x, λ_{k})}{γ_{k}w′(λ_{k})} ∫_{0}^{l} u_{2}(t, λ_{k})f(t) dt) .  (3.13)

(Es sei an dieser Stelle bemerkt, daß hiermit Satz 2.3.1 für C^{1}-Funktionen erneut bewiesen ist.)

Durch Subtraktion von (3.12) und (3.13) erhält man

0 = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{u_{2}(x, λ_{k})}{γ_{k}w′(λ_{k})} ∫_{0}^{l}[u_{1}(t, λ_{k}) − u_{2}(t, λ_{k})]f(t) dt) ,

wobei die Reihe in jedem abgeschlossenen Teilintervall der offenen Menge (0, l) gleichmäßig und auf [0, l] absolut konvergiert. Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit u_{2}(x, λ_{1}) multipliziert und anschließend bzgl. x integriert, gelangt man unter Berücksichtigung der Orthogonalität der Eigenfunktionen u_{2}(x, λ_{k}) zu

∫_{0}^{l}[u_{1}(t, λ_{1}) − u_{2}(t, λ_{1})]f(t) dt = 0.

Da dieses für alle f(x) ∈ C^{1}[0, l] mit f(0) = f(l) = 0 gilt, also auch insbesondere für f(x) = sin(nπx/l), n = 1, 2, …, sieht man, daß

u_{1}(x, λ_{1}) = u_{2}(x, λ_{1}) fast überall in [0, l]

gilt. Anhand der Differentialgleichung folgt

u_{1}(x, λ_{1})[q_{1}(x) − q_{2}(x)] = 0,

also q_{1}(x) = q_{2}(x) fast überall in [0, l].

Den zweiten Fall, bei dem die Randbedingungen der Differentialgleichung y′(a_{1}) = y′(a_{2}) = 0 lauten, handelt man in analoger Weise ab [18].

Bei gegebener Existenz einer Lösung des inversen Problems ist damit deren Eindeutigkeit bewiesen. □

3.1.3 Dritter Beweis (nach Rundell und Sacks)

Der dritte Ansatz, mit dem der Satz 3.1.1 bewiesen werden kann, beruht auf einer nichtlinearen Integralgleichung. Er wird von W. Rundell und P. E. Sacks [27] vorgeschlagen. Anhand dieser Integralgleichung definiert man einen Operator, der kontrahierend ist und als Fixpunkt die gesuchte Funktion q(x) besitzt.

Zunächst soll die Integralgleichung hergleitet werden. Ihre Gültigkeit folgt aus der Tatsache, daß der Kern eines bestimmten Transmutationsoperators eine hyperbolische Differentialgleichung erfüllt. Die Existenz dieses Transmutationsoperators folgt aus Satz 3.1.2 und Satz 3.1.3, die zum Beweis des nächsten Satz benötigt werden.

Satz 3.1.6 Sei q(x) ∈ C[a_{1}, a_{2}]. Sei φ(x, λ) die Lösung der Anfangswertaufgabe

−φ′′ + q(x)φ = λφ, φ(a_{1}, λ) = 0, φ′(a_{1}, λ) = 1.

Dann existiert genau eine Funktion

K(x, y) ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω), Ω := \{(x, y) ∈ IR^{2}; a_{1} < y < x < a_{2}\},

so daß

φ(x, λ) = \frac{sin \sqrt{λ}(x − a_{1})}{\sqrt{λ}} + ∫_{a_{1}}^{x} K(x, t)\frac{sin \sqrt{λ}(t − a_{1})}{\sqrt{λ}} dt, a_{1} ≤ x ≤ a_{2}.  (3.14)

Beweis: Seien L := −\frac{d^{2}}{dx^{2}} + q(x) und L_{0} := −\frac{d^{2}}{dx^{2}} + q_{0}(x) zwei Differentialoperatoren. Dann gibt es nach Satz 3.1.2 und Satz 3.1.3 genau einen Operator T : C^{2} ⟶ C^{2}, der die Lösungen der Anfangswertaufgaben

Lφ = λφ  φ(a_{1}, λ) = 0, φ′(a_{1}, λ) = 1  (3.15)
L_{0}φ_{0} = λφ_{0}  φ_{0}(a_{1}, λ) = 0, φ′(a_{1}, λ) = 1  (3.16)

ineinander überführt:

φ(x, λ) = (T φ_{0})(x, λ), a_{1} ≤ x ≤ a_{2}.

Für q_{0} ≡ 0 lautet die Lösung von (3.16) φ_{0}(x, λ) = \frac{sin \sqrt{λ}(x−a_{1})}{\sqrt{λ}}. Nach Satz 3.1.2 besitzt der Operator T die Form

(T φ_{0})(x, λ) = φ_{0}(x, λ) + ∫_{a_{1}}^{a_{2}} K(x, t)φ_{0}(t, λ) dt
⟹  φ(x, λ) = \frac{sin \sqrt{λ}(x − a_{1})}{\sqrt{λ}} + ∫_{a_{1}}^{a_{2}} K(x, t)\frac{sin \sqrt{λ}(t − a_{1})}{\sqrt{λ}} dt
□

Entscheidend bei dieser Darstellung der Lösung φ(x, λ) ist die Bemerkung, daß der Kern K(x, t) nicht von λ abhängt. K(x, y) ist die Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung aus dem Beweis zu Satz 3.1.2, die den Randbedingungen

K(x, ±x) = ±\frac{1}{2} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt für a_{1} ≤ x ≤ a_{2}

genügt. Die Herleitung der nichtlinearen Integralgleichung ist im wesentlichen eine Anwendung der Kirchhoffschen Formel [23]

u(x, y) = \frac{f(x + y) + f(x − y)}{2} + \frac{1}{2} ∫_{x−y}^{x+y} g(t) dt + \frac{1}{2} ∫_{0}^{y} ∫_{x−(y−t)}^{x+(y−t)} h(s, t) ds dt

zur Lösung des hyperbolischen Anfangswertproblems

u_{yy} = u_{xx} + h(x, y) in IR × (0, ∞)
u(x, 0) = f(x) , u_{y}(x, 0) = g(x) für x ∈ IR.

Bei der Anwendung der Kirchhoffschen Formel ist noch zu beachten, daß die Anfangswerte von K(x, y) nicht entlang der x−Achse, sondern entlang einer Parallelen zur y−Achse durch die Folgen der Dirichlet- bzw. Dirichlet-Neumann-Eigenwerte gegeben sind. Der folgende Satz ist der Einfachheit halber für das Intervall [0, π] formuliert. Durch lineare Transformation der unabhängigen Variablen ergeben sich die Aussagen des Satzes auch für beliebige Intervalle [a_{1}, a_{2}].

Satz 3.1.7 Sei q(x) ∈ C[0, π]. (λ_{n})_{n∈IN} sei eine Folge der Dirichlet- und (μ_{n})_{n∈IN} eine Folge der Dirichlet-Neumann-Eigenwerte bezüglich q(x). Ferner sei K(x, y) die Lösung der partiellen Differentialgleichung

K_{yy} − K_{xx} + q(x)K = 0, 0 ≤ |y| ≤ x ≤ π,

die den Randbedingungen

K(x, ±x) = ±\frac{1}{2} ∫_{0}^{x} q(t) dt, 0 ≤ x ≤ π,

genügt.

Dann sind die Funktionen

f(y) := K(π, y), g(y) := K_{x}(π, y), 0 ≤ |y| ≤ π,

eindeutig durch die Folgen (λ_{n})_{n∈IN} und (μ_{n})_{n∈IN} bestimmt.

Desweiteren erfüllt q(x) die (nichtlineare) Integralgleichung

\frac{1}{2}q(x) = f′(2x − π) + g(2x − π) − ∫_{x}^{π} q(s)K(s, 2x − s) ds, 0 ≤ x ≤ π.

Beweis: Da die Funktionen f(y) und g(y) ungerade Funktionen im Intervall [−π, π] sind, reicht es, sie auf dem Intervall [0, π] zu betrachten. Setzt man λ = λ_{j} und x = π in die Gleichung (3.14) ein, so ergibt sich

∫_{0}^{π} f(t) sin \sqrt{λ_{j}}t dt = − sin π\sqrt{λ_{j}}.  (3.17)

Differenziert man die Gleichung (3.14) nach x und setzt λ = μ_{j} und x = π ein, so erhält man

∫_{0}^{π} g(t) sin \sqrt{μ_{j}}t dt = −\sqrt{μ_{j}} cos π\sqrt{μ_{j}} − \frac{sin π\sqrt{μ_{j}}}{2} ∫_{0}^{π} q(t) dt.  (3.18)

Da wegen des asymptotischen Verhaltens der Eigenwerte (Satz 2.4.3)

lim_{n→∞}(λ_{n} − n^{2}) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} q(t) dt

der Wert des Integrals bekannt ist, ergibt sich die Eindeutigkeit der Funktionen f(y) und g(y) aus Satz 2.5.4:

Seien f̃(y) und g̃(y) zwei Funktionen, die ebenfalls die Gleichungen (3.17) bzw. (3.18) erfüllen. Subtraktion der entsprechenden Gleichungen ergibt

∫_{0}^{π}[f(t) − f̃(t)] sin \sqrt{λ_{j}}t dt = 0,
∫_{0}^{π}[g(t) − g̃(t)] sin \sqrt{μ_{j}}t dt = 0.

Nach Satz 2.5.4 folgt somit f − f̃ ≡ 0 und g − g̃ ≡ 0.

Die Integralgleichung für q(x) erhält man mit Hilfe der inhomogenen Wellengleichung

K_{yy} − K_{xx} + q(x)K = 0, 0 ≤ |y| ≤ x ≤ π,

die der Integralkern K(x, y) der Transmutation erfüllt. Faßt man diese Gleichung zusammen mit den Anfangswerten f(y), g(y) als hyperbolisches Anfangswertproblem auf, so liefert die Kirchhoffsche Formel

K(x, x) = \frac{1}{2}[K(π, 2x − π) + K(π, π)] + \frac{1}{2} ∫_{π}^{2x−π} K_{x}(π, s) ds

− \frac{1}{2} ∫_{x}^{π} ∫_{t}^{2x−t} q(t)K(t, s) ds dt.

Differenziert man diese Formel nach x und beachtet, daß die Gleichung

K(x, x) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{x} q(t) dt

besteht, so erhält man die Integralgleichung

\frac{1}{2}q(x) = K_{y}(π, 2x − π) + K_{x}(π, 2x − π) − ∫_{x}^{π} q(t)K(t, 2x − t) dt
= f′(2x − π) + g(2x − π) − ∫_{x}^{π} q(t)K(t, 2x − t) dt.
□

Die Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems ist dann in folgendem Fixpunktsatz enthalten [27].

Satz 3.1.8 Für jedes q(x) ∈ L^{∞}(0, π) sei u = u(x, y; q) die Lösung der Anfangswertaufgabe

u_{yy} − u_{xx} + q(x)u = 0, 0 ≤ |y| ≤ x ≤ π,
u(π, y) = K(π, y), u_{x}(π, y) = K_{x}(π, y), |y| ≤ π.

Dann besitzt die Abbildung

T : q ↦ T (q) := 2\frac{d}{dx}u(x, x; q)

höchstens einen Fixpunkt in L^{∞}(0, π).

Beweis: (Skizze) Seien q(x) und p(x) zwei Funktionen in L^{∞}. Sei M so gewählt, daß max{||q||_{∞}, ||p||_{∞}} < M gilt. Mit P_{M} bezeichne man die Projektion

P_{M}f(x) = \{ \begin{matrix}f(x), & falls |h(x)| ≤ M \\ ±M, & falls ± h(x) ≥ M \end{matrix}

auf die abgeschlossene Menge

B_{M} = {f(x) ∈ L^{2}(0, π); |f(x)| ≤ M fast überall} ⊂ L^{2}(0, π).

Um den Banachschen Fixpunktsatz [12] anzuwenden, der die Aussage des Satzes beweist, ist zu zeigen, daß q ↦ P_{M}T (q) für genügend großes γ auf B_{M} eine kontrahierende Abbildung bezüglich der Norm

||q||_{γ}^{2} := ∫_{0}^{π} q^{2}(t)e^{2γ(t−1)} dt

ist. Zunächst gilt

||P_{M}T (q) − P_{M}T (p)||_{γ} ≤ ||T (q) − T (p)||_{γ}.

Anhand der nichtlinearen Integralgleichung aus Satz 3.1.7 berechnet man

T (q)(x) − T (p)(x) = 2 ∫_{x}^{π}[p(t) − q(t)]u(t, 2x − t; q) dt
+2 ∫_{x}^{π} p(t)[u(t, 2x − t; p) − u(t, 2x − t; q)] dt.

Das zweite Integral läßt sich mit Hilfe der Riemannschen Funktion [23] des Differentialoperators Lu = u_{xx} − u_{yy} + q(x)u auch schreiben als

∫_{x}^{π} Q(x, t)[p(t) − q(t)] dt,

wobei der Kern Q(x, t) beschränkt ist. Somit erhält man mit einer Konstanten C > 0 die Abschätzung

|T (q)(x) − T (p)(x)| ≤ Cf(x), f(x) := ∫_{x}^{π} |q(t) − p(t)| dt.

Setzt man dies in die Definition der gewichteten Norm || · ||_{γ} ein, so ergibt sich die Ungleichungskette

||T (q) − T (p)||_{γ}^{2} ≤ ∫_{0}^{π} C^{2}f^{2}(t)e^{2γ(t−1)} dt
≤ C^{2} ∫_{0}^{π} ∫_{t}^{π} |q(s) − p(s)|^{2} ds e^{2γ(t−1)} dt
= \frac{C^{2}}{2γ} ∫_{0}^{π} |q(t) − p(t)|^{2}e^{2γ(t−1)} dt − \underbrace{\frac{C^{2}e^{−2γ}}{2γ} ∫_{0}^{π} |q(t) − p(t)| dt}_{>0}

≤ \frac{C^{2}}{2γ} ||q − p||_{γ}^{2}.

Hierbei wurde die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auf f^{2}(t) angewendet und anschließend eine partielle Integration durchgeführt. Somit ist die Abbildung P_{M} kontrahierend auf B_{M}, falls γ genügend groß gewählt wird. Damit folgt die Behauptung aus dem Banachschen Fixpunktsatz. □

Damit ist Satz 3.1.1 erneut bewiesen Mit Hilfe der nichtlinearen Integralgleichung aus Satz 3.1.7 leitet sich ein numerisches Verfahren her, das im nächsten Abschnitt näher beschrieben wird.

3.2 Numerische Verfahren

In diesem Abschnitt werden drei Algorithmen beschrieben, die zu einer endlichen Anzahl vorgegebener Dirichlet-Eigenwerte und zugehörigen Normierungskonstanten punktweise die Koeffizientenfunktion der gesuchten Sturm-Liouvilleschen bestimmen.

Das erste Verfahren basiert auf der Gel’fand-Levitan-Gleichung (3.5). Das zweite Verfahren stützt sich auf die nichtlinearen Integralgleichung des dritten Eindeutigkeitsbeweises. Das dritte Verfahren schließlich bestimmt die gesuchte Funktion mit Hilfe eines Lanczos-Algorithmus für Tridiagonalsysteme.

3.2.1 Diskretisierung der Gel’fand-Levitan-Gleichung

Es wird das in [9] beschriebene Verfahren dargestellt, das auf den hier vorliegenden Fall der Dirichlet-Eigenwerte und Normierungskonstanten angepaßt wurde. Zu zwei vorgegebenen Folgen (λ_{n})_{n∈IN} und (ϱ_{n})_{n∈IN} von Eigenwerten und Normierungskonstanten soll die Koeffizientenfunktion q(x) der Eigenwertaufgabe

−u′′ + q(x)u = λu,  0 ≤ x ≤ l,  (3.19)
u(0) = u(l) = 0  (3.20)

rekonstruiert werden. Die ersten N Werte diese Folgen stellen die Eingabedaten für das beschriebene Verfahren dar. Sie werden im folgenden kurz ,,Daten” genannt. Nun lassen sich allgemein hinreichende Bedingungen für die Existenz einer Lösung des inversen Problems angeben [7], [20]. Darauf wird hier nicht näher eingegangen. In Satz 3.1.4 wurde zumindest bewiesen, daß aus dem asymptotischen Verhalten der Daten

λ_{n} = \frac{π^{2}}{l^{2}} n^{2} + α_{n},  (3.21)
ϱ_{n}^{2} = \frac{l^{3}}{2π^{2}n^{2}} (1 + \frac{β_{n}}{n} )  (3.22)

mit (α_{n})_{n∈IN}, (β_{n})_{n∈IN} ∈ l^{2}(IR) die Konvergenz der Reihe

F (x, y) = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{sin \sqrt{λ_{k}}x sin \sqrt{λ_{k}}y}{|λ_{k}|ϱ_{k}^{2}} − \frac{2}{l} sin \frac{kπ}{l} x sin \frac{kπ}{l} y) , x, y ∈ [0, l],  (3.23)

bzgl. der Norm von L^{2}(0, l) × L^{2}(0, l) folgt. Für λ_{k} < 0 ist dabei in (3.23) sin \sqrt{λ_{k}}x durch sinh \sqrt{|λ_{k}|}x zu ersetzen. Wie aus (3.21) ersichtlich, sollte die zu bestimmende Funktion q(x) im Mittel gleich Null sein:

\frac{1}{l} ∫_{0}^{l} q(t) dt = 0.

Auf diese Voraussetzung wird im nächsten Kapitel noch genauer eingegangen. Für die gesuchte Funktion q(x) gilt nach Abschnitt 3.1.1

q(x) = 2\frac{d}{dx}H(x, x), x ∈ [0, l],

wobei H(x, y) die Lösung der durch y ≤ x parametrisierten Familie der Integralgleichungen

F (x, y) + ∫_{0}^{x} H(x, t)F (t, y) dt + H(x, y) = 0, 0 ≤ y ≤ x ≤ l  (3.24)

ist. Wie in Satz 3.1.5 gezeigt, existiert unter den genannten Voraussetzungen für jedes 0 ≤ y ≤ x eine solche Lösung H(x, y). Somit setzt sich das Verfahren aus den Schritten

1. Bestimmung der Funktion F (x, y) anhand der gegebenen Daten.

2. Berechnung der Funktion H(x, y) aus (3.24).

3. Berechnung von 2\frac{d}{dx}H(x, x) zur Bestimmung von q(x).

zusammen.

Die gesuchte Funktion q(x) sei durch die diskreten Werte

q_{j} := q(x_{j}), x_{j} = jh, h := \frac{l}{M} , j = 0, 1, …, M,

zu approximieren.

Es liegt nahe, die Schritte 1. – 3. wie folgt zu diskretisieren:

1. Da nur endlich viele Eigenwerte und zugehörige Normierungskonstanten vorgelegt werden können, kann die Reihe F (x, y) nie exakt bestimmt werden. Hier hilft man sich, indem man für die fehlenden Werte die Werte des Nullpotentials einsetzt. Dadurch wird aus der Reihe eine endliche Summe. Seien also die ersten N Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{N} und entsprechend die ersten N Normierungskonstanten ϱ_{1}, …, ϱ_{N} bekannt und das Gitter (x_{j}, y_{k}) = (jh, kh) für h = l/M und 0 ≤ j, k ≤ M gegeben. Man erhält

F̃(x_{j}, y_{k}) = ∑_{i=1}^{N} (\frac{sin \sqrt{λ_{i}}jh sin \sqrt{λ_{i}}kh}{|λ_{i}|ϱ_{i}^{2}} − \frac{2}{l} sin \frac{ijπ}{l} h sin \frac{ikπ}{l} h) ,

j, k = 0, 1, …, M. Es ist zu beachten, daß mit F̃(x_{j}, y_{k}) eine Funktion q̃(x_{j}) angenähert wird, die die Eigenwerte

λ_{1}, …, λ_{N}, \frac{π^{2}}{l^{2}} (N + 1)^{2}, \frac{π^{2}}{l^{2}} (N + 2)^{2}, …

besitzt.

2. Eine Möglichkeit, die Integralgleichung (3.24) zu diskretisieren, besteht darin, die zusammengesetzte Trapezregel für f(x) ∈ C^{2}[0, l]

∫_{0}^{x_{j}} f(t) dt = h ∑_{i=0}^{j−1} (\frac{f(x_{i}) + f(x_{i+1})}{2}) − \frac{h^{2}x_{j}}{12} f′′(ξ), ξ ∈ (0, x_{j}),

anzuwenden [30]. Damit stellen die Unbekannten

H = ( \begin{matrix}H_{00} \\ ⋮ & ... \\ H_{M0} & ⋯ & H_{MM} \end{matrix} )

der linearen Gleichungssysteme

F̃(x_{j}, y_{k}) + h ∑_{i=0}^{j} s_{ji}H_{ji}F̃(x_{i}, y_{k}) + H_{jk} = 0, j = 0, 1, …, M,  (3.25)

mit

s_{ji} := \{ \begin{matrix}1/2 & für i = 0 oder i = j \\ 1 & sonst \end{matrix}

Approximationen an die Werte H̃(x_{j}, y_{k}) dar. Sei S_{j} := diag(s_{j0}, …, s_{jj}) eine Diagonalmatrix. Ferne seien

F_{j} := (F̃(x_{m}, y_{k}))_{0≤m,k≤j} und H_{j} := (H_{mk})_{0≤m,k≤j}

die Hauptuntermatrizen der Länge j + 1 von

F̃ = (F̃(x_{m}, y_{k}))_{0≤m,k≤M} und H = (H_{mk})_{0≤m,k≤M}.

Bezeichnet man mit h_{j}^{t} bzw. f_{j}^{t} die letzten Zeilen von H_{j} bzw. F_{j}, so läßt sich (3.25) umschreiben zu

(I + hF_{j}S_{j})h_{j} = −f_{j}, j = 0, 1, …, M.

Multipliziert man (I + hF_{j}S_{j}) mit S_{j}^{−1} von rechts, so bekommt man

A_{j}z_{j} = −f_{j}.  (3.26)

Hierbei wurde z_{j} = S_{j}h_{j} gesetzt und A_{j} ist die Hauptuntermatrix der Länge j +1 von A + e_{j}e_{j}^{t}. Dabei ist

A = ( \begin{matrix}2 \\ & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \end{matrix} ) + hF̃

eine symmetrische Matrix und e_{j} der j-te Einheitsvektor. Zur Lösung der Gleichungssysteme (3.26) wird angenommen, daß die Matrix A positiv definit sei [9]. A läßt sich dann mittels einer Cholesky-Zerlegung A = LDL^{t} mit einer unteren Dreiecksmatrix L und einer Diagonalmatrix D = diag(d_{0}, …, d_{M}) ausdrücken. Dabei sind die Diagonalelemente von L alle gleich eins. Sei L_{j} die Hauptuntermatrix der Länge j + 1 von L und D_{j} die von D + e_{j}e_{j}^{t}, dann folgt

A_{j} = L_{j}D_{j}L_{j}^{t}.

Zur Bestimmung der Werte H_{jj} genügt es, die Gleichung L_{j}z̃_{j} = −f_{j} aufzulösen. Damit erhält man dann

H_{jj} = \frac{2}{1 + d_{j}} (z̃_{j})_{j} für j = 0, 1, …, M.

Falls A nicht positiv definit ist, so können anhand einer Dreieckszerlegung die Darstellungen P_{j}A_{j} = L_{j}R_{j} mit Permutationsmatrizen P_{j} und rechten oberen Dreiecksmatrizen R_{j} gefunden werden, sofern die A_{j} nichtsingulär bleiben. L_{j} sind wiederum untere Dreieckmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen, stimmen aber sonst nicht mit denen der Cholesky-Zerlegung überein. Zur Bestimmung von H_{jj} werden wie oben die Gleichungen L_{j}z̃_{j} = −P_{j}f_{j} gelöst und

H_{jj} = \frac{1}{r_{jj}} (z̃_{j})_{j} für j = 0, 1, …, M

berechnet, sofern alle r_{jj} ≠ 0 sind. Ansonsten bricht der Algorithmus ab.

3. Die wesentlichen Operationen des Algorithmus, die ausgeführt werden, sind eine Cholesky-Zerlegung, die numerisch stabil ist [30], und eine numerische Differentiation. Da diese im Allgemeinen schlecht konditioniert ist [24], dominiert sie die Qualität des vorgeschlagenen Algorithmus. Wegen der L^{2}-konvergenten Funktion ist zu erwarten, daß die zu differenzierende Funktion g(x) := H(x, x) mit oszillierenden Werten vorliegt. Je stärker diese Oszillation ist, um so schlechter werden die Ergebnisse der numerischen Differentiation und damit die Ergebnisse des Algorithmus sein. Es liegt also nahe, vor der Differentiation die Werte g_{j} = g(x_{j}), j = 0, 1, …, M, zu glätten.

Nach einer etwaigen Glättung wird im Algorithmus die Differentiation stets durch Bildung zentraler Differenzen vorgenommen:

q̃(x_{j}) = \frac{g_{j+1} − g_{j−1}}{h} , j = 1, 2, …, M − 1.

Die Werte q_{0} und q_{M} werden durch die unsymmetrischen Differenzen

q̃(x_{0}) = \frac{2}{h}(g_{1} − g_{0}) bzw. q̃(x_{M}) = \frac{2}{h}(g_{M−1} − g_{M})

angenähert.

Eine Glättung der Werte g_{j} vor der Differentiation erreicht man z.B. durch eine Mittelung gemäß der Formel

g_{j}^{neu} = \frac{g_{j+1}^{alt} + g_{j−1}^{alt}}{2} , j = 1, 2, …, M − 1.

Die Randwerte g_{0} und g_{M} werden dabei unverändert übernommen. Dies kommt einer linearen Extrapolation der Funktion g(x) über die Randpunkte 0 und l gleich. Durch sukzessive Anwendung dieser Formel können die Ausgangswerte g_{j} bei entsprechendem Genauigkeitsverlust noch weiter geglättet werden. Im nächsten Kapitel werden dazu numerische Beispiele gegeben.

3.2.2 Sukzessive Approximation

Aus dem dritten Beweis zur Eindeutigkeit einer Lösung des inversen Problems ergibt sich ein alternatives iteratives Verfahren, um die Funktion q(x) für x ∈ [a_{1}, a_{2}] aus den Spektraldaten (λ_{n})_{n∈IN} und (μ_{n})_{n∈IN} zu rekonstruieren. Es setzt sich aus folgenden Schritten zusammen:

1. Bestimme aus (λ_{n})_{n∈IN} und (μ_{n})_{n∈IN} die Funktionen

f(y) = K(a_{2}, y), g(y) = K_{x}(a_{2}, y).

2. Wähle ein q_{0}(x) als Startwert aus, z.B. q_{0} ≡ 0.

3. Setze

q_{n+1}(x) := 2\frac{d}{dx}u(x, x; q_{n}),

wobei u = u(x, y; q_{n}) die Lösung der Anfangswertaufgabe

u_{yy} − u_{xx} + q_{n}(x)u = 0, a_{1} ≤ |y − a_{1}| ≤ x ≤ a_{2},
u(a_{2}, y) = f(y), u_{x}(a_{2}, y) = g(y), |y − a_{1}| ≤ a_{2}

ist.

Zur Bestimmung der Funktionen f(y) und g(y) müssen Gleichungen der Gestalt

∫_{a_{1}}^{a_{2}} f(t) sin \sqrt{λ_{k}}(t − a_{1}) dt = β_{k}, k = 1, 2, …, N,

gelöst werden. Dabei sind die β_{k} aus den Spektraldaten bekannte Zahlen. Hierzu wähle man ,,passende” Basisfunktionen b_{1}, b_{2}, …, b_{N} auf dem Intervall [a_{1}, a_{2}] und gelangt zu dem Ansatz

f(t) = ∑_{k=1}^{N} f_{k}b_{k}(t).

Man erhält so für die zu bestimmenden Koeffizienten ξ := (f_{1}, f_{2}, …, f_{N})^{t} ein lineares Gleichungssystem

Aξ = β

mit β = (β_{1}, β_{2}, …, β_{N})^{t} und einer N × N Matrix A mit den Einträgen

a_{jk} = ∫_{a_{1}}^{a_{2}} b_{k}(t) sin \sqrt{λ_{j}}(t − a_{1}) dt.

Die Basisfunktionen {b_{k}; k ∈ IN} sollten so gewählt sein, daß die Matrix A invertierbar ist. Dies ist z.B. für b_{k}(t) := sin \sqrt{λ_{k}}(t − a_{1}) der Fall, was unmittelbar aus der linearen Unabhängigkeit der so gebildeten Sinusfunktionen folgt. Eine andere Wahl wäre b_{k}(t) := sin \frac{kπ}{a_{2}−a_{1}} (t − a_{1}). Bei dieser Wahl ist A invertierbar, falls λ_{N} < (\frac{π}{a_{2}−a_{1}} )^{2}(N + 1)^{2}. In beiden Fällen ist die Matrix A stark diagonal-dominant mit einer Konditionszahl sehr nahe bei 1. Die Beispielrechnungen im nächsten Kapitel sind mit den erstgenannten Basisfunktionen durchgeführt worden.

Seien nun φ_{k}(x) = φ(x, λ_{k}), k = 1, 2, …, Lösungen des Anfangswertproblems

−φ′′ + q(x)φ = λφ, a_{1} ≤ x ≤ a_{2},
φ(a_{1}, λ) = 0,  φ′(a_{1}, λ) = 1,

so daß φ_{k}(a_{2}) = 0 gilt. Da als Daten Dirichlet-Eigenwerte zusammen mit einer Folge von Normierungskonstanten (ϱ_{j})_{j∈N} bekannt sein sollen, für die Funktion g(y) = K_{x}(a_{2}, y) jedoch die Gleichung

∫_{a_{1}}^{a_{2}} K_{x}(a_{2}, t) sin \sqrt{λ_{k}}(t − a_{1}) dt = \sqrt{λ_{k}}(φ′_{k}(a_{2}) − cos a_{2}\sqrt{λ_{k}})

−\frac{1}{2} sin a_{2}\sqrt{λ_{k}} ∫_{a_{1}}^{a_{2}} q(t) dt

gelöst werden muß, besteht das Problem, aus den Normierungskonstanten ϱ_{k} die Werte φ′_{k}(a_{2}) zu bestimmen. Dies kann wie folgt geschehen.

Der Einfachheit halber sei a_{1} = 0 und a_{2} = l. Dann gilt bekanntlich (s. [26])

φ(l, λ) = l ∏_{j=1}^{∞} \frac{l^{2}(λ_{j} − λ)}{j^{2}π^{2}}.

Differentiation nach λ liefert

\frac{∂φ}{∂λ}(l, λ_{k}) = \frac{−l^{3}}{k^{2}π^{2}} ∏_{j=1,j≠k}^{∞} \frac{l^{2}(λ_{j} − λ_{k})}{j^{2}π^{2}}

= \frac{−l}{k^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k}} ∏_{j=1,j≠k}^{∞} \frac{λ_{j} − λ_{k}}{j^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k}} ∏_{j=1}^{∞} (1 − \frac{l^{2}λ_{k}}{j^{2}π^{2}} )

= \frac{− sin l\sqrt{λ_{k}}}{\sqrt{λ_{k}}(k^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k})} ∏_{j=1,j≠k}^{∞} \frac{λ_{j} − λ_{k}}{j^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k}} .

Die Normierungskonstanten sind durch ϱ_{k} = (u′_{k}(0))^{−1} gegeben, wobei u_{k}(x) die k-te normierte Eigenfunktion ist. Daraus folgt ϱ_{k}u_{k}(x) = φ(x, λ_{k}) und mit der Gleichung

∫_{0}^{l} φ^{2}(t, λ) dt = φ′(l, λ)\frac{∂φ}{∂λ}(l, λ)

schließlich

ϱ_{k}^{2} = ∫_{0}^{l} φ^{2}(t, λ_{k}) dt = φ′(l, λ_{k})\frac{∂φ}{∂λ}(l, λ_{k}).

Damit erhält man den gewünschten Ausdruck für φ′_{k}(l):

φ′_{k}(l) = −\frac{ϱ_{k}^{2}\sqrt{λ_{k}}(k^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k})}{sin l\sqrt{λ_{k}}} ∏_{j=1,j≠k}^{∞} (\frac{j^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k}}{λ_{j} − λ_{k}} ) .

Zur numerischen Auswertung dieses Ausdruckes ist zu bemerken, daß das unendliche Produkt aufgrund der endlich vielen Daten, die vorgelegt werden können, als endliches Produkt zu berechnen ist. Der vordere Faktor sollte darüberhinaus umgeschrieben werden zu

−\frac{ϱ_{k}^{2}\sqrt{λ_{k}}(k^{2} \frac{π^{2}}{l^{2}} − λ_{k})}{sin l\sqrt{λ_{k}}} = (−1)^{k} \frac{ϱ_{k}^{2}}{l^{2}} \sqrt{λ_{k}}(kπ + l\sqrt{λ_{k}})\frac{c_{k}}{sin c_{k}} ,

wobei c_{k} = l\sqrt{λ_{k}} − kπ gesetzt ist. Falls c_{k} sehr nahe bei Null liegt, z.B. kleiner als die Maschinengenauigkeit ist, ist es für den letzten Faktor der rechten Seite günstiger, den Wert (sin c_{k})/c_{k} durch die Taylorreihe zu berechnen und dann den Kehrwert zu bilden.

Die partielle Differentialgleichung, die im Iterationsschritt gelöst werden muß, wird mit dem Differenzenschema

\frac{1}{h^{2}} [ũ(x_{i+1}, y_{j}) − 2ũ(x_{i}, y_{j}) + ũ(x_{i−1}, y_{j})] =

\frac{1}{h^{2}} [ũ(x_{i}, y_{j+1}) − 2ũ(x_{i}, y_{j}) + ũ(x_{i}, y_{j−1})] + q̃_{n}(x_{i})ũ(x_{i}, y_{j})

angenähert, wobei x_{i} = ih und y_{j} = jh, h = \frac{l}{M} , i, j = 0, 1, …, M, gesetzt ist. Diskretisierungen mit unterschiedlichen Schrittweiten in x- und y-Richtung lieferten ungenauere Lösungen für die Differentialgleichung.

3.2.3 Lanczos-Algorithmus

Ein weiteres Verfahren, welches von F. Natterer [22] vorgeschlagen wird, beruht auf der Lanczos-Methode. Zunächst approximiert man die Differentialgleichung der Sturm-Liouville-Aufgabe mit Dirichletschen Randbedingungen durch

\frac{−y_{j+1} + 2y_{j} − y_{j−1}}{h^{2}} + q_{j}y_{j} = λy_{j}, j = 1, …, M − 1,  (3.27)
y_{0} = y_{M} = 0, h = \frac{b − a}{M},

wobei an den Stellen x_{j} = a+jh diskretisiert wird. Dabei sind y_{j} = y(x_{j}) und q_{j} = q(x_{j}) die Funktionswerte an den Stützstellen. Der Wert y′(a) wird durch y_{1}/h approximiert. Mit den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{M−1} und den Normierungskonstanten ϱ_{k} = (y′_{k}(a))^{−1}, k = 1, …, M − 1, der normierten Eigenfunktionen y_{k}(x) ist dann ein inverses Problem für eine Tridiagonalmatrix zu lösen, um die Werte q_{j} zu bestimmen. Dies kann mit einem Lanczos-Algorithmus geschehen.

Allerdings stimmt das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des Systems (3.27) nicht mit der Asymptotik der Eigenwerte des Sturm-Liouville-Problems überein, so daß dieser einfache Ansatz zu falschen Ergebnissen führt. Daher wird folgende Korrektur vorgeschlagen:

Sei y^{k}(x) die k-te normierte Eigenfunktion der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe bei Dirichlet-Randbedingungen. Mit l := b − a gilt dann für k → ∞

y^{k}(x) ∼ \sqrt{\frac{2}{l}} sin \frac{kπ}{l} x.

Setzt man die Approximation für −y′′ gleich

\frac{−y_{j+1} + 2y_{j} − y_{j−1}}{(h sinc \frac{hkπ}{2l})^{2}} , sinc x := \frac{sin x}{x},

so wird mit dieser Formel der Wert der negativen zweiten Ableitung der Funktionen 1, x, sin \frac{kπ}{l} x und cos \frac{kπ}{l} x an den Stellen x = x_{j} exakt angegeben.

Entsprechend ist für y(x) = sin \frac{kπ}{l} x durch

\frac{y_{1}}{h sinc (\frac{hkπ}{l})}

der Wert y′(a) exakt gegeben.

Man gelangt so für die k-te Eigenfunktion y^{k}(x) zu den Differenzengleichungen

−y_{j+1}^{k} + 2y_{j}^{k} − y_{j−1}^{k} + q_{j}c_{k}y_{j}^{k} = λ_{k}c_{k}y_{j}^{k}, j = 1, …, M − 1,  (3.28)
y_{0}^{k} = y_{M}^{k} = 0,

wobei y_{j}^{k} = y^{k}(x_{j}) und c_{k} = (h sinc \frac{hkπ}{2l})^{2} gesetzt wurde.

Die gesuchten Werte q_{j} lassen sich nun aus den Trigiagonalsystemen (3.28) wie folgt bestimmen. Setzt man für j = 1, …, M − 1

u_{j} := (y_{j}^{1}, …, y_{j}^{M−1})^{t}

und u_{0} = u_{M} := (0, …, 0)^{t}, so ergibt sich mit den Diagonalmatrizen

C = ( \begin{matrix}c_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & c_{M−1} \end{matrix} ) und Λ = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{M−1} \end{matrix} )

aus (3.28) die Gleichung

− u_{j+1} + 2u_{j} − u_{j−1} + q_{j}Cu_{j} = ΛCu_{j}, j = 1, …, M − 1.  (3.29)

Nun sind die Vektoren u_{j} annähernd normiert und paarweise othogonal bzgl. des kanonischen Innenproduktes (·, ·) des IR^{M−1}, da dies für die Vektoren (y_{1}^{k}, …, y_{M−1}^{k})^{t} zutrifft. Bildet man auf der linken und rechten Seite von (3.29) das kanonische Innenprodukt mit u_{j}, erhält man somit

2 + q_{j}(Cu_{j}, u_{j}) = (ΛCu_{j}, u_{j}), j = 1, …, M − 1.  (3.30)

Es ergibt sich folgender Iterationschritt: Der Wert q_{j} sei für ein j ∈ {1, 2, …, M − 2} schon bestimmt. Dann berechnet sich u_{j+1} nach (3.29) zu

u_{j+1} = (2I + q_{j}C − ΛC)u_{j} − u_{j−1},

wobei I für die (M − 1) × (M − 1) Einheitsmatrix steht. Mit u_{j+1} erhält man den Wert q_{j+1} aus (3.30).

Da u_{1} aufgrund

y_{1}^{k} = \frac{h}{ϱ_{k}} sinc \frac{hkπ}{l}

bekannt ist, ergibt sich der Wert q_{1} aus der Gleichung (3.30) für j = 1. Damit sind die Werte q_{2}, …, q_{M−1} nach M − 2 Iterationsschritten bestimmt.

Numerische Ergebnisse

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wird allgemein untersucht, welche Auswirkungen der Einsatz endlich vieler Spektraldaten auf das Ergebnis einer punktweisen Rekonstruktion der gesuchten Koeffizientenfunktion q(x) hat.

Der zweite Abschnitt zeigt, daß die Konvergenzordnung der Gel’fand-Levitan-Methode bzgl. der Schrittweite h der rekonstruierten Funktion O(h^{2}) beträgt.

Der dritte Abschnitt beschreibt die Funktionen, die für die numerischen Beispielrechnungen verwendet worden sind. Die Eigenwerte und Normierungskonstanten für Dirichletsche Randbedingungen werden auszugsweise angegeben.

Im vierten Abschnitt wird auf die Bedingung, daß die zu bestimmende Funktion im Mittel Null sein soll, näher eingegangen.

Im fünften Abschnitt schließlich werden die Ergebnisse der einzelnen Verfahren dargestellt und verglichen. Dabei wird festgestellt, daß beim Lanczos-Verfahren ein bisher ungeklärter Skalierungsfehler auftritt.

4.1 Fehler bei endlich vielen Spektraldaten

Die Eindeutigkeitsaussage des vorherigen Kapitels setzt Kenntnisse über abzählbar unendlich viele Eigenwerte und Normierungskonstanten voraus. In praktischen Anwendungen stehen diese jedoch nie zur Verfügung. Es stellt sich somit die Frage, inwieweit man aus endlich vielen Spektraldaten eine Koeffizientenfunktion konstruieren kann, so daß die zugehörige Sturm-Liouville Aufgabe diese endlich vielen Eigenwerte und Normierungskonstanten besitzt. Dieses reduzierte inverse Problem ist aus Dimensionsgründen nicht mehr eindeutig zu lösen: der von allen Vektoren (λ_{1}, …, λ_{N}) ∈ IR^{N} und (ϱ_{1}, …, ϱ_{N}) ∈ IR^{N} aufgespannte Vektorraum ist endlich-dimensional, wohingegen die Funktionenräume der gesuchten Koeffizientenfunktion unendlich-dimensional sind.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Sei mit C_{M}[a, b] := {f(x) ∈ C[a, b]; sup |f(x)| ≤ M} der Vektorraum der stetigen Funktionen, die auf dem Intervall [a, b] durch eine Zahl M > 0 beschränkt bleiben, definiert. Wird für q(x) ∈ C_{M}[0, 1] mit λ_{n}(q) der n-te Eigenwert des Randwertproblems

−y′′ + q(x)y = λy,  0 ≤ x ≤ 1,
y(0) = y(1) = 0 (bzw. y′(0) = y′(1) = 0)

bezeichnet, so läßt sich folgender Satz beweisen, s. Barnes [2]:

Satz 4.1.1 Für jedes n ∈ IN gibt es eine Konstante K_{n}(M), so daß für alle q_{1}(x), q_{2}(x) ∈ C_{M}[0, 1] die Ungleichung

|λ_{n}(q_{1}) − λ_{n}(q_{2})| ≤ K_{n}(M)||q_{1} − q_{2}||_{2L^{1}}

gilt. Dabei ist die Norm || · ||_{2L^{1}} durch

||q||_{2L^{1}} := |∫_{0}^{1} q(t) dt| + |∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} q(s) ds dt| + ∫_{0}^{1} |∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} q(r) dr ds| dt

definiert.

Beweis: Sei V_{n}(q) :=< u_{1}, …, u_{n} > der von den ersten n normierten Eigenfunktionen des Randwertproblems aufgespannte Vektorraum. Sei u_{k}(x) ∈ V_{n}(q) die k-te Eigenfunktion. Dann gilt für ξ ∈ [0, 1]:

|u′_{k}(x)| = |u_{k}(ξ) + ∫_{ξ}^{x} u′′_{k}(t) dt| ≤ |u′_{k}(ξ)| + ∫_{0}^{1} |(λ_{k}(q) − q(t))u_{k}(t)| dt.  (4.1)

Da u_{k}(x) in dem offenen Intervall (0, 1) genau k − 1 Nullstellen besitzt [4], gibt es nach dem Mittelwertsatz (für k < 3 anhand der Randbedingungen) stets eine Stelle ξ ∈ [0, 1], so daß u′_{k}(ξ) = 0. Nach Voraussetzung gilt max |q(x)| ≤ M. Deshalb gibt es für alle q(x) ∈ C_{M}[0, 1] eine Zahl c_{k} < ∞, so daß |λ_{k}(q)| ≤ c_{k}. Somit erhält man aus (4.1) aufgrund der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

max_{0≤x≤1} |u′_{k}(x)|^{2} ≤ (c_{k} + M)^{2} ∫_{0}^{1} u_{k}^{2}(t) dt = (c_{k} + M)^{2},

also

max_{0≤x≤1} |u′_{k}(x)| ≤ c_{k} + M.  (4.2)

Ferner folgt aus der Stetigkeit von u_{k}(x), daß es eine Zahl d_{k} gibt, so daß sup |u_{k}(x)| ≤ d_{k} bleibt. Damit liefert die zugrundeliegende Differentialgleichung

max_{0≤x≤1} |u′′_{k}(x)| ≤ d_{k}(c_{k} + M)  (4.3)

für alle q(x) ∈ C_{M}[0, 1]. Mit H_{n}(M) sei das Maximum aller dieser Schranken (4.2) und (4.3) für k = 1, 2, …, n bezeichnet und δq(x) := q_{2}(x) − q_{1}(x). Durch zweimaliges partielles Integrieren erhält man

∫_{0}^{1} δq(t)u^{2}(t) dt = u^{2}(1) ∫_{0}^{1} δq(t) dt
−[u^{2}(1)]′ ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} δq(s) ds dt  (4.4)
+ ∫_{0}^{1}[u^{2}(t)]′′ ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} δq(r) dr ds dt.

Da nun [u^{2}]′ = 2uu′ und [u^{2}]′′ = 2[u′]^{2} + 2uu′′, ist K_{n}(M) := 4H_{n}^{2}(M) eine gemeinsame obere Schranke der Funktionen u^{2}, (u^{2})′, (u^{2})′′ auf [0, 1] für u(x) ∈ V_{n}(q) mit ||u||_{L^{2}} = 1 und q(x) ∈ C_{M}[0, 1] beliebig. Nach dem Courantschen Minimum-Maximumprinzip [11] gilt

λ_{n}(q) = max_{\begin{matrix}u∈V_{n}(q) \\ ||u||_{L^{2}}=1 \end{matrix}} (D_{q}u, u)_{L^{2}}

≤ max_{\begin{matrix}u∈W_{n} \\ ||u||_{L^{2}}=1 \end{matrix}} (D_{q}u, u)_{L^{2}},

wobei

(D_{q}u, u)_{L^{2}} := ∫_{0}^{1}[u′(t)]^{2} + q(t)u^{2}(t) dt

bedeutet und W_{n} ⊂ C^{2}[0, 1] ein Unterraum der Dimension n ist. Aus (4.4) ergibt sich mit der Zahl K_{n}(M)

(D_{q_{2}}u, u)_{L^{2}} = (D_{q_{1}}u, u)_{L^{2}} + ∫_{0}^{1} δq(t)u^{2}(t) dt
≤ (D_{q_{1}}u, u)_{L^{2}} + K_{n}(M)||δq||_{2L^{1}}.

Ermittelt man für beide Seiten das Maximum über alle u ∈ V_{n}(q_{1}) mit ||u||_{L^{2}} = 1, so liefert das Courantsche Minimum-Maximumprinzip die Ungleichung

λ_{n}(q_{2}) ≤ λ_{n}(q_{1}) + K_{n}(M)||δq||_{2L^{1}}.

Die Behauptung des Satzes erhält man nun durch Vertauschen von q_{1} und q_{2}. □

Man sieht aufgrund des Satzes: kleine Änderungen einer Potentialfunktion q(x) in der 2L^{1}-Norm bewirken nur geringe Änderungen der einzelnen Eigenwerte. Aus endlich vielen Spektraldaten kann nur eine L^{1}-Approximation an ∫_{0}^{x} ∫_{0}^{t} q(s) ds dt gewonnen werden. Somit hängt jede numerische Methode, die eine punktweise Rekonstruktion der Potentialfunktion aus endlich vielen Spektraldaten liefert, implizit von der Qualität der zweiten Ableitung dieser L^{1}-Approximation ab.

4.2 Konvergenzordnung der Gel’fand-Levitan-Methode

Die Untersuchung der Konvergenzordnung ist [9] entnommen. Dort wird angenommen, daß die Funktion F (x, y) der Integralgleichung

F (x, y) + ∫_{0}^{x} H(x, t)F (t, y) dt + H(x, y) = 0  (4.5)

exakt bekannt ist. Falls nur endlich viele Eigenwerte als Daten für F (x, y) verwendet werden und die restlichen Eigenwerte gleich den Werten für das Nullpotential q = 0 gesetzt werden, kann man das so rekonstruierte Potential als eine Störung des Nullpotentials auffassen. Es bleiben zwei Ursachen für Fehler bei der Rekonstruktion:

1. Annäherung des Integrals der Gleichung (4.5) durch eine endliche Summe,

2. numerische Differentiation.

Anhand der Euler-McLaurinschen Summenformel [30] gilt für f(x) ∈ C^{2m+2}[0, 1]

∫_{0}^{1} f(t) dt = \frac{1}{2} (f(0) + f(1)) − ∑_{n=1}^{m} \frac{B_{2n}}{(2n)!} \frac{d^{2n−1}}{dt^{2n−1}} f(t)|_{t=0}^{t=1}

− \frac{B_{2m+2}}{(2m + 2)!} \frac{d^{2m+2}}{dt^{2m+2}} f(t)|_{t=τ} , 0 < τ < 1.

Die B_{2n} sind die Bernoulli-Zahlen [30]: B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = −\frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}, …. Dabei ergibt sich durch Aufsummierung der Teilintegrale über die äquidistanten Stützpunkte t_{l} = a+ lh, l = 0, …, j, h = \frac{b−a}{j} und durch Variablentransformation für die zusammengesetzte Trapezregel

T (h)f = h (\frac{f(a)}{2} + f(a + h) + … + f(b − h) + \frac{f(b)}{2})

die Formel

T (h)f = ∫_{a}^{b} f(t) dt + ∑_{n=1}^{m} h^{2n} \frac{B_{2n}}{(2n)!} \frac{d^{2n−1}}{dt^{2n−1}} f(t)|_{t=a}^{b}

+ (b − a)h^{2m+2} \frac{B_{2m+2}}{(2m + 2)!} \frac{d^{2m+2}}{dt^{2m+2}} f(t)|_{t=τ} ,  (4.6)
a < τ < b, f(x) ∈ C^{2m+2}[a, b].

Die durch die Trapezregel diskretisierte Gleichung (4.5) berechnet sich somit zu

F (x_{j}, y_{k}) + T (h)(H(x_{j}, ·)F (·, y_{k})) + H(x_{j}, y_{k})
= \frac{h^{2}}{12} \frac{d}{dt}H(x_{j}, t)F (t, y_{k})|_{t=0}^{x_{j}} − \frac{x_{j}h^{4}}{720} \frac{d^{4}}{dt^{4}} (HF)(t)|_{t=τ} , 0 < τ < x_{j}. (4.7)

F und H sind hierbei als viermal stetig differenzierbar vorausgesetzt. Also erfüllt H die diskretisierte Gleichung (4.5) bis auf Terme der Ordnung O(h^{2}).

Sei G(x, y) eine Lösung der einparametrigen Integralfamilie

G(x, y) + ∫_{0}^{x} G(x, t)F (t, y) dt = −\frac{h^{2}}{12} \frac{d}{dt}H(x, t)F (t, y)|_{t=0}^{x} , y ≤ x.

Diese Gleichung hat die gleiche Form wie die Gleichung (4.5). Daher ist unter den gegebenen Voraussetzungen die Lösung eindeutig und zweimal stetig differenzierbar. Es gilt G(0, 0) = 0. Mit der Formel (4.6) erhält man

G(x_{j}, y_{k}) + T (h)(G(x_{j}, ·)F (·, y_{k}))
= −\frac{h^{2}}{12} \frac{d}{dt}H(x_{j}, t)F (t, y_{k})|_{t=0}^{x_{j}} + \frac{x_{j}h^{2}}{12} \frac{d^{2}}{dt^{2}} (GF)(t)|_{t=τ} , 0 < τ < x_{j}.

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit h^{2} multipliziert und dann die Gleichung (4.7) addiert, ergibt sich, daß (H + h^{2}G)(x, y) die diskrete Gel’fand-Levitan-Gleichung bis auf Terme der Ordnung O(h^{4}) erfüllt.

Seien H_{jk} die Lösungen der diskretisierten Gleichungen und r_{j}^{t} die letzte Zeile der Hauptuntermatrix der Länge j + 1 der Matrix (H_{jk} − (H + h^{2}G)(x_{j}, y_{k}))_{jk}. Dann folgt mit den Bezeichnungen des vorherigen Kapitels

(I + hF_{j}S_{j})r_{j}
= \frac{x_{j}h^{4}}{12} (−\frac{1}{60} \frac{d^{4}}{dt^{4}} (HF)(t)|_{t=τ_{1}} + \frac{d^{4}}{dt^{4}} (GF)(t)|_{t=τ_{2}}) , 0 < τ_{1}, τ_{2} < x_{j}.

Falls |F (x, y)| ≤ \frac{1−δ}{b−a} bleibt, so ist

||hF_{j}S_{j}||_{∞} = \frac{b − a}{N} max_{i} ∑_{k=0}^{j} |(F_{j}S_{j})_{ik}| ≤ 1 − δ.

Dann ist (I + hF_{j}S_{j}) invertierbar mit einer oberen Schranke 1/δ. Die Bedingung |F (x, y)| ≤ \frac{1−δ}{b−a} ist zumindest dann erfüllt, wenn sich die Eigenwerte und Normierungskonstanten nicht viel von den Werten des Nullpotentials unterscheiden. Somit ergibt sich der erste Term der asymptotischen Entwicklung für die Diagonalelemente H_{jj} durch die Abschätzung

|H_{jj} − (H + h^{2}G)(x_{j}, x_{j})|
≤ \frac{x_{j}h^{4}}{12δ} (\frac{1}{60} max_{t,y≤x_{j}} |\frac{d^{4}}{dt^{4}} (H(x_{j}, t)F (t, y))| + max_{t,y≤x_{j}} |\frac{d^{4}}{dt^{4}} (G(x_{j}, t)F (t, y))|) .

Das gesuchte Potential wird mittels zentraler Differenzen bestimmt. Mit Hilfe einer Taylorentwicklung erhält man nun die Abschätzung

|q_{j} − q(x_{j}) − h^{2} (\frac{1}{6} \frac{d^{3}}{dx^{3}} H(x, x)|_{x=x_{j}} + \frac{d}{dx}G(x, x)|_{x=x_{j}} )|

≤ h^{3} (\frac{1}{24} max |\frac{d^{4}}{dx^{4}} H(x, x)| + \frac{4}{3} max |\frac{d^{2}}{dx^{2}} G(x, x)|

+\frac{2(b − a)}{3δ} (\frac{1}{60} max_{t,y≤x_{j}} |\frac{d^{4}}{dt^{4}} H(x_{j}, t)F (t, y)| + max_{t,y≤x_{j}} |\frac{d^{4}}{dt^{4}} G(x_{j}, t)F (t, y)|)) .

Damit ergibt sich für die Gel’fand-Levitan-Methode die Konvergenzordnung O(h^{2}).

4.3 Datenerzeugung

Zur Durchführung der beschriebenen numerischen Verfahren benötigt man einen Datensatz an Eigenwerten und einen Datensatz an Normierungskonstanten. Diese wurden

k  ϱ_{k}  λ_{k}  ϱ_{k} − \sqrt{2}/2kπ  λ_{k} − π^{2}k^{2}
1 2.250802015E-01 9.868760059E+00 1.122421474E-06 -8.443420929E-04
2 1.125405220E-01 3.947736218E+01 9.824419327E-07 -1.055426436E-03
3 7.502828945E-02 8.882463032E+01 1.929773459E-06 -1.809289998E-03
4 5.683415179E-02 1.579126810E+02 5.643820255E-04 -9.894635537E-04
5 4.501643391E-02 2.467415172E+02 6.180991048E-07 1.407221428E-03
6 3.751304095E-02 3.553063917E+02 -1.388859032E-07 6.332541171E-04
7 3.215397845E-02 4.836109994E+02 -1.757006765E-07 3.837904235E-04
8 2.813519093E-02 6.316553413E+02 3.060548981E-07 6.596395111E-04
9 2.500860238E-02 7.994381513E+02 -1.841794545E-07 1.948482111E-04
10 2.250775735E-02 9.869605909E+02 -1.505575190E-07 1.507751192E-04
11 2.046162228E-02 1.194222253E+03 -1.121732597E-07 1.206200277E-04
12 1.875651431E-02 1.421223133E+03 -7.560935461E-08 9.894636241E-05
13 1.731370427E-02 1.667963227E+03 -7.104078758E-08 8.277827851E-05
14 1.607702399E-02 1.934442533E+03 -5.308761784E-08 7.036146599E-05
15 1.500523211E-02 2.220661051E+03 -3.982757837E-08 6.059832458E-05

Tabelle 4.1: Eigenwerte und Normierungskonstanten von q_{1}(x)

mit der FORTRAN Routine zur Lösung von Randwertproblemen der NAG-Library (D02KEF) auf 9 Dezimalstellen genau bestimmt. Hierfür benutzt die Routine eine modifizierte Prüfertransformation und wendet dann auf das transformierte Randwertproblem ein Schießverfahren an [31], [21].

Zur Datenerzeugung wurden folgende Beispielfunktionen gewählt:

1. q_{1}(x) = sin(8πx), x ∈ [0, 1],

2. q_{2}(x) = \frac{15}{4(1 + 3x)^{2}} , x ∈ [0, 1], und

3. q_{3}(x) = \{ \begin{matrix}40x, & 0 ≤ x < 0, 1 \\ 5 − 10x, & 0, 1 ≤ x < 0, 5 \\ 0, & 0, 5 ≤ x < 0, 6 \\ 30 − 50x, & 0, 6 ≤ x < 0, 7 \\ −5, & 0, 7 ≤ x < 0, 8 \\ 50x − 45, & 0, 8 ≤ x < 0, 9 \\ 0 & 0, 9 ≤ x ≤ 1 \end{matrix} .

Mit der erste Funktion soll die Frequenzabhängigkeit der Verfahren getestet werden. Die zweite Funktion tritt als Potential einer transformierten Besselschen Differentialgleichung auf und kommt daher in praktischen Anwendungen häufig vor. Anhand der dritten Funktion wird schließlich das Verhalten der Rekonstruktionsverfahren gegenüber nicht differenzierbaren Potentialen dokumentiert.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

k  ϱ_{k}  λ_{k}  ϱ_{k} − \sqrt{2}/2kπ  λ_{k} − π^{2}k^{2}
1 2.324438935E-01 9.633461993E+00 7.364814426E-03 -2.361424080E-01
2 1.140186879E-01 3.938327492E+01 1.479148420E-03 -9.514268199E-02
3 7.553231703E-02 8.877677891E+01 5.059573493E-04 -4.966070177E-02
4 5.649691787E-02 1.578836073E+02 2.271481065E-04 -3.006315738E-02
5 4.513594391E-02 2.467200969E+02 1.201281026E-04 -2.001314932E-02
6 3.758404649E-02 3.552915313E+02 7.086665069E-05 -1.422710458E-02
7 3.219934226E-02 4.836000055E+02 4.518811486E-05 -1.061019397E-02
8 2.816543056E-02 6.316464756E+02 3.054568252E-05 -8.206032883E-03
9 2.503039407E-02 7.994314262E+02 2.160751449E-05 -6.530243257E-03
10 2.252375422E-02 9.869551229E+02 1.584631909E-05 -5.317172018E-03
11 2.047371256E-02 1.194217721E+03 1.197810120E-05 -4.411635782E-03
12 1.876587723E-02 1.421219316E+03 9.287305220E-06 -3.718221218E-03
13 1.732111933E-02 1.667959968E+03 7.344019293E-06 -3.175724341E-03
14 1.608300996E-02 1.934439719E+03 5.932886732E-06 -2.743460374E-03
15 1.501014967E-02 2.220658597E+03 4.877733957E-06 -2.393549205E-03

Tabelle 4.2: Eigenwerte und Normierungskonstanten von q_{2}(x) − \frac{15}{16}

k  ϱ_{k}  λ_{k}  ϱ_{k} − \sqrt{2}/2kπ  λ_{k} − π^{2}k^{2}
1 2.601650969E-01 9.441145910E+00 3.508601786E-02 -4.284584906E-01
2 1.154372708E-01 3.906072868E+01 2.897731261E-03 -4.176889267E-01
3 7.516116319E-02 8.900336604E+01 1.348035090E-04 1.769264264E-01
4 5.644867808E-02 1.582339281E+02 1.789083204E-04 3.202576440E-01
5 4.501670449E-02 2.468302123E+02 8.886800567E-07 9.010228716E-02
6 3.748988873E-02 3.554558209E+02 -2.329110870E-05 1.500625080E-01
7 3.215274515E-02 4.836363093E+02 -1.408998515E-06 2.569366636E-02
8 2.812237575E-02 6.316279507E+02 -1.250912695E-05 -2.673100409E-02
9 2.500404994E-02 7.994370516E+02 -4.736621213E-06 -9.048989259E-04
10 2.250777951E-02 9.869619473E+02 -1.283889426E-07 1.507198059E-03
11 2.046395938E-02 1.194221216E+03 2.224925430E-06 -9.160734223E-04
12 1.875903531E-02 1.421210530E+03 2.445386591E-06 -1.250401074E-02
13 1.731398353E-02 1.667971253E+03 2.082201303E-07 8.108947879E-03
14 1.607896213E-02 1.934469313E+03 1.885055134E-06 2.684991186E-02
15 1.500567761E-02 2.220670792E+03 4.056704347E-07 9.801517584E-03

Tabelle 4.3: Eigenwerte und Normierungskonstanten von q_{3}(x)

4.4 Allgemeine Bemerkungungen zu den Rekonstruktionen

Für q_{2}(x) ist m := ∫_{0}^{1} q_{2}(t) dt = 15/16. Wenn nun N Datenpaare gegeben sind, so berechnet der angegebene Gel’fand-Levitan-Algorithmus eine Funktion q̃_{2}(x), deren Spektrum für n > N gleich dem Spektrum λ_{n} = n^{2}π^{2} und ϱ_{n} = \sqrt{2}/2nπ ist. Wegen der asymptotischen Entwicklung

lim_{n→∞} (λ_{n} − (nπ)^{2}) = ∫_{0}^{1} q(t) dt

bedeutet dies, daß für jede rekonstruierte Funktion q̃_{2}(x) unabhängig von N der Mittelwert ∫_{0}^{1} q̃_{2}(t) dt = 0 sein wird. Mit

||q_{2} − q̃_{2}||_{L^{2}} ≥ |∫_{0}^{1} q_{2}(t) dt| = |m|

erhält man eine untere Schranke für den L^{2}-Fehler in der Rekonstruktion.

Ist der Wert m bekannt, so kann man die gegebenen Eigenwerte um diesen Wert vermindern, und berechnet gemäß der Formel (λ − m)u = −u′′ + (q(x) − m)u ein um m verschobenes Potential q̃(x). Durch eine Addition von m zu q̃(x) läßt sich dann eine Näherung für q(x) angeben. Diese Translation des Spektrums verringert offensichtlich die untere Schranke für den L^{2}-Fehler der Rekonstruktion.

Wenn m nicht bekannt ist, so liegt wegen des asymptotischen Verhaltens der Eigenwerte die Schätzung

\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} q(t) dt ≈ λ_{N} − (\frac{π}{b − a})^{2} N^{2}

nahe, vorausgesetzt, daß λ_{1} < λ_{2} < … < λ_{N} die vorgegebenen Eigenwerte sind. Als Faustregel gilt, daß bessere Resultate bei der Rekonstruktion zu erwarten sind, je genauer die Schätzung für den Mittelwert m ist. Bei den hier gegebenen Beispielen liefert die obige Schätzung keine nennenswerten Unterschiede zu den Resultaten, die man mit den exakten Mittelwerten erhält.

Wegen

H(x, x) = \frac{1}{2} ∫_{a}^{x} q(t) dt, also m = \frac{2}{b − a}H(b, b),

ist zu erwarten, daß bei einer ungenauen Schätzung für m die gesuchte Funktion zur rechten Intervallgrenze hin immer ungenauer zu bestimmen sein wird.

4.5 Beispielrechnungen für die einzelnen Verfahren

In diesem Abschnitt werden die numerischen Ergebnisse der einzelnen Verfahren graphisch wiedergegeben. Die Auflösung der rekonstruierten Funktionen beträgt bei der Gel’fand-Levitan-Methode und bei der sukzessiven Approximation jeweils 1/100.

Bei der sukzessiven Approximation ist darüberhinaus die Anzahl der Iterationsschritte vorzugeben. Hier sind stets 5 Iterationschritte ausgeführt worden. Danach betrug der Unterschied zwischen der neuen und alten Iterationsstufe der gesuchten Funktion gemessen in der Maximumsnorm stets 10^{−8}. Weitere Iteration lieferten dann nach zwei bis drei Iterationsschritten keinen Unterschied mehr.

Bei der Lanczos-Methode hängt die Auflösung direkt von der Anzahl der eingesetzten Eigenwerte und Normierungskonstanten ab. Bei den hier gewählten Beispielen zeigt sich allerdings, daß Rekonstruktionen mit dem Lanczos-Algorithmus anhand 101 Datenpaaren aufgrund numerischer Fehler zu keinen vernünftigen Ergebnisse führt. Daher sind die Beispielrechnungen für diese Methode mit weniger Daten durchgeführt worden.

Die einzelnen Verfahren sind in der Programmiersprache ANSI-C bei doppelter Genauigkeit verfaßt und auf einer SUN SPARCclassic Workstation durchgeführt worden. Die Maschinengenauigkeit bestimmte sich zu eps = 10^{−16}.

4.5.1 Ergebnisse der Gel’fand-Levitan-Methode

Analyse des ersten Beispiels

Für die Funktion q_{1}(x) = sin 8πx erkennt man in Abbildung 4.1 gut den Zusammenhang zwischen der Frequenz und den Spektraldaten des Potentials. In den ersten 3 (ϱ_{k}, λ_{k})-Paaren ist so gut wie keine Information über die zu rekonstruierende Funktion enthalten. Aus Tabelle 4.1 ist ersichtlich, daß q_{1}(x) durch das 4. Spektraldatenpaar fast vollständig charakterisiert ist. Mit 4 Eigenwerten und Normierungskonstanten liegt der globale absolute Fehler unter 0.02, was 2% der betragsmäßig maximalen Auslenkung der gegebenen Funktion q_{1}(x) entspricht, falls man die beiden Werte an den Intervallgrenzen vernachläßigt (Abb. 4.2). Der relativ große Fehler in den beiden Randwerten ist durch die einseitige numerische Differentiation zu erklären. Rekonstruktionen mit noch mehr Spektraldaten verschlechtern aufgrund auftretender numerischer Fehler das Ergebnis wieder. Eine Mittelung vor der Differentiation verstärkt ebenfalls den absoluten Fehler in der rekonstruierten Funktion, wie Abbildung 4.3 zeigt. Diese stellt die Rekonstruktionen aufgrund von 20 Datenpaaren bei keiner, zweifacher und vierfacher Anwendung des Mittelungsoperators dar.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.1: Rekonstruktionen von q_{1}(x) (Gel’fand-Levitan-Methode) Abbildung 4.2: Differenz von q̃_{1}(x) und q_{1}(x) (Gel’fand-Levitan-Methode)

Abbildung 4.3: Differenz von q̃_{1}(x) und q_{1}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten bei Glättung (Gel’fand-Levitan-Methode)

Analyse des zweiten Beispiels

Der Gel’fand-Levitan-Algorithmus angewendet auf das Spektrum der Funktion q_{2}(x) = 15/4(1 + 3x)^{2} liefert die Werte für die Abbildung 4.4. In dieser Abbildung wird anhand der rekonstruierten Randwerte deutlich, daß bei der Gel’fand-Levitan-Methode stets versucht wird, um den Mittelwert der gesuchten Funktion zu rekonstruieren (Abb. 4.4). Dabei ist mit dem exakten Mittelwert m = 15/16 gerechnet worden. Eine Schätzung des Mittelwertes aus den Spektraldaten ergibt bei diesem Beispiel auch mit wenigen Daten keine Verschlechterung der Ergebnisse. In Abbildung 4.4 sind Rekonstruktionen mit 5, 10 und 30 Datenpaaren dargestellt. Abbildung 4.5 zeigt die absoluten Fehler bei Rekonstruktionen anhand von 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten. Diese wurden jeweils ohne bzw. mit zweifacher und vierfacher Anwendung des Mittelungsoperators vor der numerischen Differentiation ermittelt. Die Oszillationen am Rand werden hierbei ohne Verlust der Genauigkeit durch die Glättung abgemildert. Die Abbildung 4.6 stellt den absoluten Fehler von q̃_{2}(x) bei verschiedenen Mittelwerten da, wobei jeweils mit 20 Datenpaaren gerechnet wurde. Bei einem Fehler von 6.7% (m = 14/16) im Mittelwert verdoppelt sich der maximale absolute Fehler zum rechten Rand hin gegenüber den anderen beiden Rekonstruktionen.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.4: Rekonstruktionen von q_{2}(x) (Gel’fand-Levitan-Methode) Abbildung 4.5: Differenz von q̃_{2}(x) und q_{2}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten bei Glättung (Gef’fand-Levitan-Methode)

Abbildung 4.6: Differenz von q̃_{2}(x) und q_{2}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten bei exaktem, geschätztem und fehlerhaftem Mittelwert m (Gel’fand-Levitan-Methode)

Analyse des dritten Beispiels

An der Funktion q_{3}(x) läßt sich das Verhalten des Algorithmus bei nicht differenzierbaren Potentialen verdeutlichen. Die Abbildung 4.7 zeigt Rekonstruktionen mit 5, 10 und 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten. Der absolute Fehler der Rekonstruktionen ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Der globale absolute Fehler mit 10 Datenpaaren liegt etwa bei 0.3. Dies entspricht ungefähr 6% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktion. Die Knickstellen von q_{3}(x) sind dabei deutlich als Peaks auszumachen. Dieses Verhalten wird durch mehrfache Anwendung des Mittelungsoperators vor der Differentiation noch verstärkt (Abb. 4.9). In Abbildung 4.10 sind Rekonstruktionen mit jeweils 20 Datenpaaren bei unterschiedlichen Mittelwerten dargestellt. Dabei kommt deutlich zum Ausdruck, daß die Rekonstruktion am rechten Rand um so ungenauer wird, je größer der Fehler im Mittelwert ist.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.7: Rekonstruktionen von q_{3}(x) (Gel’fand-Levitan-Methode) Abbildung 4.8: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) (Gel’fand-Levitan-Methode)

Abbildung 4.9: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten bei Glättung (Gel’fand-Levitan-Methode)

Abbildung 4.10: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten bei exaktem, geschätztem und fehlerhaftem Mittelwert m (Gel’fand-Levitan-Methode)

4.5.2 Ergebnisse der sukzessiven Approximation

Analyse des ersten Beispiels

Die Rekonstruktion der Funktion q_{1}(x) = sin 8πx mittels sukzessiver Approximation zeigt ein ähnliches Verhalten wie die der Gel’fand-Levitan-Methode. Die ersten drei Spektraldatenpaare liefern keine Information für die Rekonstruktion (Abb. 4.11). Abbildung 4.12 gibt den absoluten Fehler für Rekonstruktionen mit 4, 10 und 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten wieder. Bei einer Rekonstruktion mit den ersten vier Datenpaaren ergibt sich ein globaler absoluter Fehler von 0.01, falls die Randwerte der Rekonstruktion unberücksichtigt bleiben. Dies entspricht 1% des betragsmäßigen Maximums von q_{1}(x).

Abbildung 4.11: Rekonstruktionen von q_{1}(x) (sukzessive Approximation)

Abbildung 4.12: Differenz von q̃_{1}(x) und q_{1}(x) (sukzessive Approximation)

Analyse des zweiten Beispiels

In Abbildung 4.13 sind die Ergebnisse der sukzessiven Approximation für die Funktion q_{2}(x) = 15/4(1 + 3x)^{2} dargestellt. Dazu sind die ersten 5, 10 bzw. 30 Eigenwerte und Normierungskonstanten der Funktion q_{2}(x) als Daten verwendet worden. Wie bei den Ergebnissen der Gel’fand-Levitan-Methode fällt auf, daß die rekonstruierten Kurven an den Intervallgrenzen zum Mittelwert der gesuchten Funktion tendieren. Den absoluten Fehler der jeweiligen Rekonstruktionen zeigt Abbildung 4.14. Er beträgt bei der Rekonstruktion mit 10 Spektraldaten etwa 1.5 oder 40% des betragsmäßigen Maximums von q_{2}(x). Dieser Wert kommt durch die ungenaue Rekonstruktion in den Intervallgrenzen zustande. Verringert man das betrachtete Intervall um 10% auf [0.05, 0.95], so erhält man für den absoluten Fehler 0.37. Dies entspricht 9.87% des Maximums der gesuchten Funktion.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.13: Rekonstruktionen von q_{2}(x) (sukzessive Approximation) Abbildung 4.14: Differenz von q̃_{2}(x) und q_{2}(x) (sukzessive Approximation)

Analyse des dritten Beispiels

Die Ergebnisse der sukzessiven Approximation mit den Spektraldaten der dritten Funktion q_{3}(x) sind in Abbildung 4.15 dargestellt. Die Rechnungen dafür sind mit den ersten 5, 10 bzw. 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten durchgeführt worden. Insgesamt weisen die rekonstruierten Kurven ähnliche Fehler auf wie die der Gel’fand-Levitan-Methode. Dies wird in Abbildung 4.16 deutlich, in der die absoluten Fehler der Rekonstruktionen mit 5, 10 und 30 Spektraldaten dargestellt sind. Der globale absolute Fehler mit 10 Datenpaaren beträgt etwa 0.45. Dies entspricht ungefähr 9% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktion.

Abbildung 4.15: Rekonstruktionen von q_{3}(x) (sukzessive Approximation)

Abbildung 4.16: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) (sukzessive Approximation)

4.5.3 Ergebnisse der Lanczos-Methode

Führt man die beschriebene Methode mit den Eigenwerten und Normierungskonstanten verschiedener Koeffizientenfunktionen der Sturm-Liouville-Aufgabe durch, ist folgendes Phänomen zu beobachten.

Die rekonstruierten Werte sind nach Abzug des Mittelwertes der jeweils gesuchten Funktion um einen bestimmten Faktor zu klein. Dieser Faktor ist unabhängig vom gesuchten Potential, da er stets ungefähr 1.4142 ≈ \sqrt{2} beträgt. Ein Fehler bei der Programmierung des Algorithmus kann insofern ausgeschlossen werden, als daß der verwendete Algorithmus mit den Eigenwerten der zugehörigen Matrixprobleme als Daten exakte Resultate liefert (Abb. 4.23 - Abb. 4.25). Diese Eigenwerte sind als Nullstellen der Determinante der Matrix, die durch das Differenzenschema entsteht, mit einem Newton-Maehly-Verfahren [30] bestimmt worden.

Es konnte bisher keine Erklärung für diesen Skalierungsfehler gefunden werden.

Die Abbildung 4.17 (Abb. 4.19 und Abb. 4.21 entsprechend) zeigt Rekonstruktionen der Beispielfunktion q_{1}(x) (bzw. q_{2}(x), q_{3}(x)) mit 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten mit und ohne Nachkorrektur. Der absolute Fehler der jeweiligen Rekonstruktionen dargestellt in der Abbildung 4.18 (Abb. 4.20, Abb. 4.22) verdeutlicht noch einmal den oben beschriebenen Skalierungsfehler, da sich der jeweils ohne Nachkorrektur erzeugte absolute Fehler annähernd wie die gesuchte Funktion verhält.

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.17: Rekonstruktionen von q_{1}(x) mit 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten (Lanczos-Methode)

Abbildung 4.18: Differenz von q̃_{1}(x) und q_{1}(x) (Lanczos-Methode)

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.19: Rekonstruktionen von q_{2}(x) mit 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten (Lanczos-Methode)

Abbildung 4.20: Differenz von q̃_{2}(x) und q_{2}(x) (Lanczos-Methode)

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.21: Rekonstruktionen von q_{3}(x) mit 30 Eigenwerten und Normierungskonstanten (Lanczos-Methode)

Abbildung 4.22: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) (Lanczos-Methode)

Abbildung 4.23: Rekonstruktionen von q_{1}(x) mit Schrittweite h = 1/31 (30 Matrixeigenwerte und Normierungskonstanten)

Abbildung 4.24: Rekonstruktionen von q_{2}(x) mit Schrittweite h = 1/31 (30 Matrixeigenwerte und Normierungskonstanten)

4 NUMERISCHE ERGEBNISSE

Abbildung 4.25: Rekonstruktionen von q_{3}(x) mit Schrittweite h = 1/31 (30 Matrixeigenwerte und Normierungskonstanten)

4.5.4 Vergleich der numerischen Ergebnisse

Zum Vergleich der numerischen Ergebnisse der drei dargestellten Verfahren ist jedes Verfahren mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten der Funktionen q_{1}(x), q_{2}(x) und q_{3}(x) durchgeführt worden. Dabei ist zu beachten, daß die Auflösung der rekonstruierten Funktion bei der (modifizierten) Lanczos-Methode direkt von der Anzahl der Eigenwerte abhängt.

Die Abbildung 4.26 zeigt den absoluten Fehler der Rekonstruktion mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten für die Funktion q_{1}(x). Der Fehler bei der sukzessiven Approximation ist dabei geringfügig kleiner als der Fehler bei der Gel’fand-Levitan-Methode. Ohne die Nachkorrektur beim Lanczos-Verfahren wäre der Fehler bis zu dreimal größer als mit der Korrektur. Bei Rekonstruktionen mit 50 Datenpaare beträgt der globale absolute Fehler mit diesem Verfahren 0.1. Bei noch mehr Daten vergrößert sich der Fehler aufgrund numerischer Instabilität der Lanczos-Methode allerdings wieder. Weitere Werte der gesuchten Funktion sollten dann durch Interpolation gewonnen werden.

Abbildung 4.26: Differenz von q̃_{1}(x) und q_{1}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten In Abbildung 4.27 ist zu erkennen, daß die Beispielfunktion q_{2}(x) durch alle drei Verfahren bis auf die Werte an den Intervallgrenzen relativ gut rekonstruiert wird. Der globale absolute Fehler bei der Gel’fand-Levitan-Methode beträgt 0.3 (8% des betragsmäßigen Maximums von q_{2}(x)), bei der sukzessiven Approximation 0.26 (6%) und bei der modifizierten Lanczos-Methode 0.17 (4%), falls man die Werte an den Intervallgrenzen außer acht läßt.

Abbildung 4.27: Differenz von q̃_{2}(x) und q_{2}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten Abbildung 4.28 schließlich zeigt den absoluten Fehler der einzelnen Verfahren bzgl. der Beispielfunktion q_{3}(x). Dabei fällt auf, daß der Fehler der Gel’fand-Levitan-Methode etwas kleiner als der Fehler der sukzessiven Approximation ist. Für die Gel’fand-Levitan-Methode liegt der globale absolute Fehler bei 0.21, für die sukzessiven Approximation bei 0.37 und für die Lanczos-Methode bei 0.43. Dies entspricht jeweils 4.2%, 7.4% bzw. 8.6% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktion.

Abbildung 4.28: Differenz von q̃_{3}(x) und q_{3}(x) mit 20 Eigenwerten und Normierungskonstanten

Zusammenfassung

Neben den in dieser Arbeit dargestellten Verfahren zur numerischen Behandlung inverser Sturm-Liouville-Probleme sind weitere Algorithmen veröffentlicht worden. Einige davon seien hier zur Einordnung der in Kapitel 4 erzielten Resultate kurz skizziert.

G. M. L. Gladwell [8] und O. H. Hald [9] geben Algorithmen an, die auf Diskretisierungen der in [7] bewiesenen Gel’fand-Levitan-Integralgleichung basieren. In [9] werden zwei Rekonstruktionen graphisch wiedergegeben. Anhand dieser Abbildungen bestimmt sich der Fehler in den Rekonstruktionen ungefähr zu 10% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktionen.

Das von O. H. Hald in [10] dargestellte Verfahren verwendet den Rayleigh-Quotienten, dessen stationären Punkte genau die Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe sind. Durch Entwicklung der Eigenfunktionen und der gesuchten Funktion in abgeschnittene Fourierreihen ergibt sich ein inverses Matrixeigenwertproblem für die Fourierkoeffizienten der gesuchten Funktion. Zur Lösung dieses reduzierten Problems wird ein iterativer Algorithmus angegeben. Für ein Beispiel aus [9] wird in [10] die gesuchte Funktion anhand der mit dieser Methode rekonstruierten Fourierkoeffizienten graphisch dargestellt. Daraus bestimmt sich der Rekonstruktionsfehler ebenfalls zu 10% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktion.

J. Paine schlägt vor, die gesuchte Koeffiezientfunktion durch Treppenfunktionen anzunähern. Die Eigenwerte bzgl. Treppenfunktionen können einfach bestimmt werden. Als Algorithmus ergibt sich damit ein Newton-Verfahren zur Lösung des inversen Problems. Dieser liefert durch Regularisation sehr genaue Ergebnisse wie in [25] dargestellt. Bei der Verwendung von exakten Eigenwerten wurde bei diesem Verfahren nahezu kein Fehler in der Rekonstruktion gefunden. Bei gestörten Eigenwerten wird der Rekonstruktionsfehler mit 10% angegeben.

Ein weiteres Verfahren ergibt sich durch die Charakterisierung der sogenannten isospektralen Mengen bzgl. Dirichlet-Randbedigungen. Eine isospektrale Menge ist dabei die Menge aller Koeffizientenfunktionen, die die gleichen Dirichlet-Eigenwerte besitzen. J. Pöschel und E. Trubowitz geben in ihrem Buch [26] diese Charakterisierung den daraus resultierende Algorithmus an.

5 ZUSAMMENFASSUNG

P. E. Sacks gibt in [29] ein iteratives Verfahren an. Hierbei werden die Spektraldaten dazu benutzt, den regulären Teil einer Impulsantwortfunktion eines gewissen hyperbolischen Randwertproblems zu bilden. Die sich daraus ergebene nichtlineare Gleichung für die gesuchte Koeffizientenfunktion wird dann mit einen quasi-Newton-Verfahren gelöst. Der Rekonstruktionsfehler läßt sich ungefähr aus zwei angegeben Abbildungen ablesen und beträgt etwa 10% bzw. 20% des betragsmäßigen Maximums der gesuchten Funktionen.

Einen Überblick über analytische Methoden zur Lösung inverser Sturm-Liouville-Probleme gibt J. R. McLaughlin in [16]. Insbesondere werden die Ideen der Artikel von E. L. Isaacson, E. Trubowitz [14], von E. L. Isaacson, H. P. McKean, E. Trubowitz [15] und von B. M. Dahlberg, E. Trubowitz [6] kurz dargestellt.

In dieser Arbeit sind drei Verfahren näher untersucht worden: die klassische Gel’fand-Levitan-Methode [7], die sukzessive Approximation aus [27] und ein Verfahren, das auf der Lanczos-Methode beruht [22]. Die in Kapitel 4 angegebenen Beispielfunktionen sind ähnlich denen der zitierten Artikel. Dort wurden hauptsächlich Mathieu-Potentiale q = c cos 2x und unstetige Sprungfunktionen als Beispiel verwendet, allerdings zu anderen Randbedingungen. Die hier dargestellten Resultate zeigen, daß der Rekonstruktionsfehler für die beiden ersten Verfahren bei Vorgabe von maschinengenauen Daten etwa 8% des maximalen Wertes der gesuchten Funktionen beträgt.

Durch den Vergleich der Ergebnisse der Gel’fand-Levitan-Methode mit denen der sukzessiven Approximation stellt sich heraus, daß die Gel’fand-Levitan-Methode Lösungen der bei q = 0 linearisierten Integralgleichung der sukzessiven Approximation berechnet. Umgekehrt stellt also die sukzessive Approximation eine Erweiterung der Gel’fand-Levitan-Methode dar. Mit der sukzessiven Approximation sind genauere Ergebnisse zu erzielen, falls ein genaueres Verfahren zur Lösung der nichtlinearen hyperbolischen Gleichung eingesetzt wird [27].

Für die Lanczos-Methode deuten die numerischen Ergebnisse auf einen von der gesuchten Funktion unabhängigen Skalierungsfehler hin. Die Erklärung hierfür steht noch aus. Mit einer Nachkorrektur erhält man genauere Ergebnisse. Die numerischen Resultate in Kapitel 4 zeigen jedoch, daß dann der Fehler in der Rekonstruktion von der gesuchten Funktion abhängt. In einzelnen Fällen ist die Rekonstruktion genauer als bei der Gel’fand-Levitan-Methode.

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Hiermit versichere ich, diese Diplomarbeit eigenständig und ohne unzulässige Hilfsmittel angefertigt zu haben.