Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 8 , Abgabe: 20.12.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 29: (4 Punkte) Sei für f ∈ S(IR^{3}) und x, y ∈ IR^{3}

(Df)(x, y) = ∫_{IR^{1}} f(x + ty)dt .

Sei g = Df. Zeigen Sie:

(a) g erfüllt die Differentialgleichung von John:

\frac{∂^{2}g}{∂x_{i}∂y_{j}} − \frac{∂^{2}g}{∂x_{j}∂y_{i}} = 0 , i, j = 1, 2, 3 .

(b) Sei ĝ die Fourier-Transformation von g bezüglich der zweiten Variablen. Dann ist ĝ(·, η) konstant auf allen Ebenen, die zu η senkrecht sind.

Aufgabe 30: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{n}). Zeigen Sie: Für m = 0, 1, 2, … ist

p_{m}(θ) = ∫_{IR^{1}} s^{m}(Rf)(θ, s)ds

ein Polynom in θ, welches homogen vom Grade m ist.

Aufgabe 31: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{n}). Zeigen Sie: Für m = 0, 1, 2, … ist

q_{m}(y) = ∫_{θ^{⊥}} (x · y)^{m}(P f)(θ, x)dx

auf θ^{⊥} ein Polynom, welches homogen vom Grade m und unabhängig von θ ist.

Aufgabe 32: (Programmieraufgabe) Nach Aufgabe 30 für n = 2 ist für |k| > m ≥ 0

∫_{0}^{2π}e^{ikφ}p_{m}(θ)dφ = 0 , θ = ( \begin{matrix}cos φ \\ sin φ \end{matrix} ) .

Prüfen Sie dies für Ihr Programm aus Aufgabe 29 an Hand der charakteristischen Funktion eines Kreises um den Punkt (0.5, 0.5) mit Radius 0.2 für f nummerisch nach.

\underline{Hinweis:} Berechnen Sie das Integral durch die Trapezregel mit Schrittweite h ≤ 2π/(|k| + m) (vgl. Korollar zur Poissonschen Formel).