Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 7 , Abgabe: 13.12.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{n}) und h(x) = |S^{n−2}|/|x|. Zeigen Sie:

R^{∗}Rf = h ∗ f

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{n}) und h(x) = 2|x|^{1−n}. Zeigen Sie:

P^{∗}P f = h ∗ f

Aufgabe 27: (4 Punkte) Sei g ∈ S(S^{n−1} × IR^{1}) gerade, d.h. g(−θ, −s) = g(θ, s). Zeigen Sie:

(R^{∗}g)^{∧}(ξ) = 2(2π)^{(n−1)/2}|ξ|^{1−n}ĝ (\frac{ξ}{|ξ|}, |ξ|)

Die Fourier - Transformation auf der linken Seite ist zu verstehen im Sinne von S′(IR^{n}), die auf der rechten Seite in S(IR^{1}).

Aufgabe 28: (Programmieraufgabe) Die Funktion f : IR^{2} → IR ist definiert durch

f = ∑_{k=1}^{K} f_{k}χ_{k} .

χ_{k} ist die charakteristische Funktion der Ellipse mit Mittelpunkt (x_{k}, y_{k}), Hauptachsen (a_{k}, b_{k}) und dem Winkel φ_{k} der Hauptachse a_{k} mit der x-Achse. Die Werte

x_{k} y_{k} a_{k} b_{k} φ_{k} f_{k} , k = 1, …, K

stehen zeilenweise in einer Datei.

(a) Schreiben Sie ein Programm, das ein Bild von f als Matrix [−n, n, −n, n] berechnet.

(b) Schreiben Sie mit Hilfe der Aufgaben 23 und 24 ein Programm zur Berechnung der Radon-Transformation von f. Speichern Sie das Ergebnis als [1, p, −q, q]-Matrix ab.

(c) Testen Sie Ihre Programme am Shepp-Logan-Phantom. Die zugehörige Datei finden Sie unter

/share/numeric/Vorlesungen/BV/shepp-logan.txt .