Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 4 , Abgabe: 22.11.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 13: (4 Punkte) Sei f lokal integrierbar in IR^{1} und periodisch mit der Periode 2A. Zeigen Sie:

f̂ = (2π)^{1/2} ∑_{k} f̂_{k}δ_{πk/A} ,

f̂_{k} = \frac{1}{2A} ∫_{−A}^{+A}f(x)e^{−iπxk/A}dx .

Aufgabe 14: (4 Punkte) Sei f stetig differenzierbar in IR^{1} und periodisch mit der Periode 2A. Zeigen Sie:

∫_{−A}^{A} f(x)dx = h ∑_{k=0}^{p−1} f(hk) − 2A ∑_{ℓ≠0} f̂_{ℓp} , h = 2A/p

mit den f_{k} aus Aufgabe 13.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Berechnen Sie den cos^{2}-Filter

ϕ(x) = (2π)^{−1/2} ∫_{−Ω}^{Ω} cos^{2} (\frac{πξ}{2Ω}) e^{ixξ}dξ

und zeichen Sie ihn zusammen mit dem idealen Tiefpass der Bandbreite Ω. Kennzeichnen Sie die x-Achse mit den Abtastpunkten πℓ/Ω, ℓ ∈ Z der Nyquist-Abtastung.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{1}) bandbeschränkt außerhalb eines Intervalls, d.h.

f̂(ξ) = 0 , falls |ξ| ≤ f_{L} oder |ξ| ≥ f_{U} .

Sei B = f_{U} − f_{L} und f_{L} = 2NB.

(a) Zeigen Sie: f ist durch die Werte f(k · h), h ≤ \frac{π}{B}, k ∈ Z, eindeutig bestimmt.

(b) Berechnen Sie f aus den f(k · h).