Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 3 , Abgabe: 15.11.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 9: (4 Punkte) Ein sich mit der Geschwindigkeit v ∈ IR^{n} bewegendes Bild f ∈ S werde mit Belichtungszeit Δt photographiert. Auf dem Film entsteht dann das Bild

g(x) = ∫_{0}^{Δt} f(x + tv)dt .

Sei T die Distribution

T f = ∫_{0}^{Δt} f(−tv)dt .

Zeigen Sie:

(a)  g = f ∗ T
(b)  ĝ(ξ) = 2 e^{ia} sinc(a) f̂(ξ) Δt mit a = Δtv · ξ/2 .

Kann man f aus g berechnen?

Aufgabe 10: (4 Punkte) Ein mit Winkelgeschwindigkeit ω rotierendes Bild f ∈ S werde mit Belichtungszeit T photographiert. Auf dem Film entsteht dann das verschmierte Bild

g(x) = ∫_{0}^{T} f(U(t)x)dt , U(t) = ( \begin{matrix}cos ω t & − sin ω t \\ sin ω t & cos ω t \end{matrix} ) .

Setzen sie

x = r ( \begin{matrix}cos φ \\ sin φ \end{matrix} ) , f(x) = ∑_{k} f_{k}(r)e^{ikφ} , g(x) = ∑_{k} g_{k}(r)e^{ikφ}

und berechnen Sie die g_{k} aus den f_{k}. Kann man die f_{k} aus den g_{k} berechnen?

Aufgabe 11: (4 Punkte) Berechnen Sie die Fourier-Reihen von

(a) f(x) = \{ \begin{matrix}x & , & |x| ≤ π/2 \\ 0 & , & \frac{π}{2} < |x| ≤ π \end{matrix} (b) f(x) = | sin x| .

Aufgabe 12: (Programmieraufgabe)

(a) Schreiben Sie ein Programm, das die Cosinus-Reihe \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} cos(kx) zu der Funk-

tion

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & , & |x| < \frac{π}{2} \\ 0 & , & sonst \end{matrix} , x = −π … π ,

auswertet.

(b) Berechnen Sie numerisch das Maximum der Reihe im Intervall [\frac{π}{2} − 0.1, \frac{π}{2} + 0.1] für n = 100, 1000, 10.000 und erklären Sie das Ergebnis.

(c) Wiederholen Sie den Versuch mit der Reihe

\frac{a_{0}}{1} + ∑_{k=1}^{n} (\frac{sin(kπ/2n)}{kπ/2n}) · (a_{k} cos kx) .