Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 2 , Abgabe: 02.11.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 5: (4 Punkte) Sei T ∈ S′ der Cauchysche Hauptwert, also

T (φ) = ∫C \frac{φ(x)}{x}dx .

Zeigen Sie:

\begin{aligned}(a) & T (φ) & = & ∫ \frac{φ(x)−φ(−x)}{2x}dx \\ (b) & T′(φ) & = & − \begin{matrix}lim \\ ε → 0 \end{matrix} \{ ∫_{|x|≥ε} \frac{φ(x)}{x^{2}}dx + \frac{φ(ε)+φ(−ε)}{ε}\} \end{aligned}

Aufgabe 6: (4 Punkte) Für eine Funktion φ in IR^{n} und r > 0 sei φ_{r}(x) = φ(rx). Für T ∈ S′(IR^{n}) sei

T_{r}(φ) = r^{−n}T (φ_{1/r}) .

Zeigen Sie:

(a) T_{r} ∈ S′ (b) δ_{r} = r^{−n}δ (c) (T_{r})^{∧} = r^{−n}(T̂)_{1/r}

(d) T_{f_{r}} = (T_{f})_{r} falls f schwach wachsend ist.

Aufgabe 7: (4 Punkte) Sei T ∈ S′(IR^{n}) homogen vom Grade k, d.h. T_{r} = r^{−k}T (vgl. vorstehende Aufgabe).

(a) Zeigen Sie: T̂ ist homogen vom Grade k − n.

(b) Verifizieren Sie (a) für T = \frac{1}{x}, T = δ.

Aufgabe 8: (Programmieraufgabe) Die Fourier-Transformation einer Funktion f ∈ S(IR) ist definiert durch

f̂(ξ) = (2π)^{−1/2} ∫_{IR} e^{−ixξ}f(x)dx .

(a) Schreiben Sie ein Programm zur näherungsweisen Berechnung von f̂(ξ), indem Sie f auf das Intervall [−M, M] einschränken und die Trapezregel anwenden.

(b) Benutzen Sie eine numerische Bibliothek (NAG, IMSL, Numerical Recipes ...), um f̂(ξ_{k}), ξ_{k} = πk/M, effizient zu berechnen, k = −N … N − 1.

Testen Sie Ihr Programm am Beispiel f(x) = e^{−x^{2}/2}, M = 8, N = Anzahl der Diskretisierungspunkte = 1024.