Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 12 , Abgabe: 31.01.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 41: (4 Punkte) Sei T_{ℓ} das Tschebyscheff-Polynom 1. Art vom Grad ℓ, also

T_{ℓ}(x) = cos(ℓ arccos x) , |x| ≤ 1 .

Zeigen Sie: Für |x| ≥ 1 gilt

|T_{ℓ}(x)| ≥ \frac{1}{2} (x + \sqrt{x^{2} − 1})^{ℓ} .

Aufgabe 42: (4 Punkte) Sei M die Mellin-Transformation

(Mf)(s) = ∫_{0}^{∞}f(x)x^{s−1}dx .

Zeigen Sie

(Mf′)(s) = (1 − s)(Mf)(s − 1)
(Mx^{p}f)(s) = (Mf)(s + p)
(M(f ∗ g))(s) = MfMg ,

wobei

(f ∗ g)(x) = ∫_{0}^{∞}f(r)g (\frac{x}{r}) \frac{dr}{r} .

Aufgabe 43: (4 Punkte) Sei für f ∈ C_{0}^{∞}(IR^{2}) und μ ∈ IR

g(θ, s) = (T_{μ}f)(θ, s) = ∫_{IR^{1}} e^{μt}f(sθ + tθ^{⊥})dt

die exponentielle Radon-Transformation. Zeigen Sie:

(a) (T_{μ}f)^{∧}(θ, σ) = (2π)^{1/2}f̂(σθ + iμθ^{⊥}).

(b) Sei g(θ, σ) = (T_{μ}f)^{∧}(θ, iσ). Dann gilt

g(θ(φ − α), σ) = g(θ(φ + α), −σ) ,
α = arcsin \frac{σ}{\sqrt{σ^{2} + μ^{2}}} , θ(φ) = ( \begin{matrix}cos φ \\ sin φ \end{matrix} ) .

(c)

μ = \frac{∫ \frac{∂}{∂φ}g(θ, s)ds}{∫ sg(θ, s)ds} .