Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 11 , Abgabe: 24.01.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 37: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Moore-Penrose-Inverse A^{+} für folgende Matrizen A:

(a) A = (1, …, 1)

(b) A orthonormal

(c) A diagonal mit Diagonalelementen, die nicht notwendig ≠ 0 sind.

Aufgabe 38: (4 Punkte) Sei I ⊂ IR ein Intervall. Bestimmen Sie die Moore-Penrose-Inverse folgender Operatoren:

(a) A : L_{2}(I) → IR^{1} , Af = ∫_{I} f(x)dx

(b) A : L_{2}(I) → IR^{n} , (Af)_{i} := ∫_{I} f(x)v_{i}(x)dx , i = 1, …, n ,

wobei v_{1}, …, v_{n} ein Orthonormalsystem in L_{2}(I) ist.

(c) A : L_{2}(I) → L_{2}(I) , (Af)(x) = g(x)f(x)

mit g ∈ C(I).

Aufgabe 39: (4 Punkte) Seien (f_{k}), (g_{k}) Orthonormalsysteme in den Hilberträumen H, K, und sei σ_{k} > 0, k = 1, 2, … Sei

Af = ∑_{k=1}^{∞} σ_{k}(f, f_{k})_{H}g_{k}

absolut konvergent für alle f. Zeigen Sie: A ist stetig als Operator von H nach K, und

A^{∗}g = ∑_{k=1}^{∞} σ_{k}(g, g_{k})_{K}f_{k} ,
A^{+}g = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{σ_{k}} (g, g_{k})_{K}f_{k} .

Aufgabe 40: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm für das Kaczmarz-Verfahren für eine beliebige (m, n)-Matrix A. Testen Sie Ihr Programm an Hand des linearen Systems

∑_{j=1}^{m} \frac{1}{i + j} f_{j} = g_{i} , g_{i} = ∑_{j=1}^{m} \frac{1}{i + j} , i = 1, …, n

mit (a) m = 10, n = 20 und (b) m = 20, n = 10.