Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 10 , Abgabe: 17.01.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 35: (8 Punkte) Sei B_{1} die charakteristische Funktion von [0, 1] und

B_{k} = B_{1} ∗ ⋯ ∗ B_{1} (k Faktoren) .

(a) Berechnen Sie B_{k} für k = 1, 2, 3 explizit und fertigen Sie Skizzen an.

(b) Zeigen Sie B_{k} ∈ C^{k−1}, und B_{k}(x) ≥ 0, und B_{k}(x) = 0 für x ∉ [0, k].

(c) Zeigen Sie:

B̂_{k}(ξ) = (2π)^{−1/2}(sinc(σ/2))^{k}

(d) Sei

(I_{h}g)(s) = ∑_{ℓ} g(hℓ)B (\frac{s − hℓ}{h}) .

Zeigen Sie: Ist g Ω-bandbeschränkt und h ≤ \frac{π}{Ω}, so ist für |σ| ≤ Ω

(I_{h}g)^{∧}(σ) = ĝ(σ) (sinc (\frac{σh}{2}))^{k} .

Aufgabe 36: (8 Punkte) Sei g = Rf mit der zweidimensionalen Radon-Transformation R und f ∈ S(IR^{2}) verschwinde außerhalb |x| ≤ ρ. Sei v ∈ L_{1}(IR^{1}).

(a) Zeigen Sie:

\frac{π}{p} ∑_{j=1}^{p}(v ∗ g)(θ_{j}, x · θ_{j}) = (V_{p} ∗ f)(x) ,

V_{p}(x) = \frac{π}{p} ∑_{j=1}^{p} v(x · θ_{j})

(b) Berechnen Sie nummerisch V_{p}(x) für v = v_{Ω} aus §1 mit dem Ram-Lak-Filter. Wählen Sie Ω = 64, p = 16, θ_{j} = (cos φ_{j}, sin φ_{j})^{T}, φ_{j} = πj/p, j = 0, …, p − 1 und stellen Sie V_{p}(x) für |x_{i}| ≤ 1, i = 1, 2, graphisch dar.