Prof. Dr. F. Natterer WS 99/00

Übungen zu Bildgebende Verfahren

Übungsblatt 1 , Abgabe: 25.10.99, 15.00 Uhr, Übungskasten F 13

Aufgabe 1: (4 Punkte) Sei A eine reelle invertierbare (n, n)-Matrix und b ∈ IR^{n}. Sei g(x) = f(Ax + b) mit f ∈ S(IR^{n}). Zeigen Sie:

(a) g ∈ S(IR^{n})

(b) ĝ(ξ) = \frac{1}{det(A)} e^{ib·A^{−T} ξ}f̂(A^{−T} ξ) .

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei f ∈ S(IR^{n}) und v(ξ) = f̂/(1 + |ξ|^{2}). Zeigen Sie:

(a) v ∈ S(IR^{n})

(b) −Δṽ + ṽ = f in IR^{n} .

Aufgabe 3: (4 Punkte) Zeigen Sie:

∫_{0}^{∞} \frac{sin(xξ)}{x}dx = \frac{1}{2} · π sgn (ξ) , ξ ≠ 0

Aufgabe 4: (Programmieraufgabe)

(a) Schreiben Sie eine Bibliothek, die folgende Funktionen enthält:

1. Lesen einer Matrix aus einer Datei. Die Datei enthält die Matrix in folgender Form:

Anzahl der Spalten Anzahl der Zeilen 1

Matrixelemente zeilenweise als Fließkommazahlen

Beispiel:

3 2 1
0.4 1.2 3.0
4.1 2.7 1.9

2. Schreiben einer Matrix in eine Datei, Format wie unter 1.

3. Besetzen einer n × m - Matrix A durch eine Funktion f in folgender Form:

A_{ik} = f ((i − 1)/(n − 1), (k − 1)/(m − 1)) , i = 1, …, n , k = 1, …, m .

(b) Schreiben Sie ein Programm, das eine Matrix einliest, auf ihr eine zweidimensionale Faltung ausführt und sie wieder abspeichert. Die Faltung zweier n × n-Matrizen ist definiert durch:

F_{ik} = ∑_{j=0}^{n−1} ∑_{ℓ=0}^{n−1} A_{i−j,k−ℓ}B_{j,ℓ}

Hierbei sind alle Indizes modulo n zu verstehen. Testen Sie Ihr Programm mit der Matrix

/share/numeric/vorlesungen/BV/image.txt

und der Faltungsmatrix

B_{0,1} = 1 , B_{0,−1} = −1 , B_{ik} = 0 sonst .