Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Übungsblatt 1 , Abgabe: 26.10.2000 , 15.00 Uhr, Übungskasten 75, 76

Aufgabe 1: (4 Punkte)

a) Eine Funktion u ∈ C^{∞}(ℝ ^{n} \ {0}) heißt homogen vom Grade α, wenn

u(tx) = t^{α}u(x) , ∀ x ∈ ℝ ^{n}, x ≠ 0, t ∈ ℝ ^{+}

gilt.

Zeigen Sie: u ∈ C^{∞}(ℝ ^{n} \ {0}) ist genau dann homogen vom Grade α, wenn

∑_{i=1}^{n} x_{i} \frac{∂u}{∂x_{i}} = αu .

b) Lösen Sie die Aufgabe

x_{1} \frac{∂u}{∂x_{1}} + x_{2} \frac{∂u}{∂x_{2}} = 0 in ℝ ^{2} \ \{0\} ,

u = f(x) auf dem Kreis um 0 vom Radius 1. Setzen Sie hinreichende Regularität von u und f voraus.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei u ∈ C^{1}(ℝ ^{2}).

(a) Zeigen Sie: u ist genau dann eine radiale Funktion (d.h. u(x) hängt nur von x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

ab), wenn

x_{2}u_{x_{1}} − x_{1}u_{x_{2}} = 0 .

(b) Leiten Sie eine entsprechende Differentialgleichung her für Funktionen u, welche entlang der Ellipsen (x_{1} − m_{1})^{2}/a^{2} + (x_{2} − m_{2})^{2}/b^{2} = 1, (m_{1}, m_{2}) ∈ ℝ ^{2} fest, a = kb, k ∈ ℝ \ {0} fest, b ∈ ℝ \ {0}, konstant sind.

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{1}(ℝ ^{1}) beliebig. Zeigen Sie: Erfüllt u ∈ C^{1}(ℝ ^{2}) die Beziehung

x_{2} = \frac{1}{3}u^{3} + f(u − x_{1}) ,

so ist u Lösung der Differentialgleichung

\frac{∂u}{∂x_{1}} + u^{2} \frac{∂u}{∂x_{2}} = 1 .

Aufgabe 4: (4 Punkte) Lösen Sie die Aufgabe

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = c^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}},
u(x, 0) = f(x),  \frac{∂u}{∂t}(x, 0) = g(x)

mit einer Konstanten c > 0 und Funktionen f ∈ C^{2}(ℝ ), g ∈ C(ℝ ).