Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 9 , Abgabe: 21.12.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 29: (4 Punkte) Seien r, φ, ψ Kugelkoordinaten in IR^{3}, also x = r cos φ sin ψ, y = r sin φ sin ψ, z = r cos ψ mit r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ ψ < π. Zeigen Sie:

Δu = \frac{1}{r^{2} sin ψ} (\frac{∂}{∂r^{2}} (r^{2} sin ψ \frac{∂u}{∂r}) + \frac{∂}{∂ψ} (sin ψ \frac{∂u}{∂ψ} ) + \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{sin ψ} \frac{∂u}{∂φ})) .

Aufgabe 30: (4 Punkte) Sei Ω = {x ∈ IR^{n} : |x| < 1}, n = 1, 2.

(a) Zeigen Sie: Für n = 1 ist H^{1}(Ω) ⊆ C(Ω).

(b) Zeigen Sie an Hand des Beispiels u(x) = ℓnℓn\frac{1}{|x|}, daß dies für n = 2 nicht richtig ist.

Aufgabe 31: (4 Punkte) Sei V ein Hilbertraum, a eine stetige und V -elliptische Bilinearform und F ein stetiges lineares Funktional auf V. Sei u ∈ V die Lösung der Variationsgleichung

a(u, v) = F (v) , ∀ v ∈ V .

Zeigen Sie: Ist a symmetrisch (d.h. a(u, v) = a(v, u), ∀ u, v ∈ V), so nimmt das Funktional

v → \frac{1}{2} a(v, v) − F (v)

auf V sein Minimum für v = u an.

Aufgabe 32: (4 Punkte) Sei u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}) in einem Normalgebiet Ω ⊆ IR^{n} harmonisch, und sei y ∈ Ω. Zeigen Sie: u(x) läßt sich in einer Umgebung von y in eine Potenzreihe

u(x) = ∑_{k_{1},...,k_{n}=0}^{∞} a_{k_{1},...,k_{n}}(x_{1} − y_{1})^{k_{1}} … (x_{n} − y_{n})^{k_{n}}

entwickeln, und diese Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig.