Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 8 , Abgabe: 14.12.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei Ω ein einfach zusammenhängendes Gebiet in IR^{2}, das mindestens einen endlichen Punkt nicht enthält, und sei y ∈ Ω. Sei f_{y} die analytische Funktion, welche Ω eineindeutig auf den Einheitskreis abbildet, und zwar so, daß f_{y}(y) = 0, f′_{y}(y) = 1 gilt (Riemannscher Abbildungssatz). Zeigen Sie: Die Greensche Funktion von Ω ist

G(x, y) = −\frac{1}{2π} log |f_{y}(x)| .

(Dabei wird der Punkt x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ IR^{2} mit der komplexen Zahl x = x_{1} + ix_{2} ∈ C

identifiziert.)

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei f eine Funktion in IR^{n}, n ≥ 2, die entlang x_{n} = 0 stetig und beschränkt ist. Für x_{n} > 0 sei

u(x) = \frac{2x_{n}}{ω_{n}} ∫_{y_{n}=0} \frac{f(y)}{|x − y|^{n}} dy_{1} … dy_{n−1} .

Zeigen Sie: u löst die Dirichletaufgabe

\begin{aligned}−Δu & = & 0 & , & x_{n} > 0 , \\ u & = & f & , & x_{n} = 0 . \end{aligned}

Aufgabe 27: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{1}(IR^{3}), und f verschwinde außerhalb einer beschränkten Menge. Sei u ∈ C^{2}(IR^{3}) eine Lösung von

\begin{aligned}Δu + k^{2}(1 + f)u & = & 0 in IR^{3} \\ u(x) & = & e^{ikx·θ} + v(x) , \end{aligned}

wo θ ∈ S^{2}, k > 0 und v die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung erfüllt. Zeigen Sie: Für |x| → ∞ gilt

u(x) = e^{ikx·θ} + \frac{e^{ik|x|}}{4π|x|} A(\frac{x}{|x|}) + O(\frac{1}{|x|^{2}} ) ,

wobei für |ω| = 1

A(ω) = k^{2} ∫ u(y)f(y)e^{−iky·ω}dy .

Aufgabe 28: (4 Punkte) Sei Ω ein Normalgebiet in IR^{n} mit Durchmesser R, und sei u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}) Lösung von

−Δu = f in Ω , u = g auf ∂Ω .

Dann gilt in \overline{Ω}

|u| ≤ max_{∂Ω} |g| + \frac{1}{4}R^{2} max_{\overline{Ω}} |f| .