Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 7 , Abgabe: 07.12.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 21: (4 Punkte) Sei Ω ein Gebiet in IR^{n} und u ∈ C(Ω). u habe in Ω die Mittelwerteigenschaft, d.h. für jedes x ∈ Ω ist u(x) der Mittelwert von u über die Oberfläche jeder ganz in Ω liegenden Kugel mit Mittelpunkt x. Zeigen Sie: Dann ist u in Ω harmonisch. \underline{Hinweis:} Die Lösung eines lokalen Dirichlet-Problems zur Laplacegleichung ist harmonisch. Aus der Mittelwerteigenschaft folgt das Maximumprinzip.

Aufgabe 22: (8 Punkte) Zeigen Sie, daß das Poissonsche Integral für den Kreis vom Radius r um den Nullpunkt die Form

u(x) = \frac{r^{2} − |x|^{2}}{2πr} ∫_{|y|=r} \frac{g(y)}{|x − y|^{2}} dy .

hat.

Aufgabe 23: (4 Punkte)

(a) Sei Ω die Kugel vom Radius r um x_{0} in IR^{n}, n ≥ 3, und sei u ∈ C(\overline{Ω}) harmonisch in Ω. Zeigen Sie: Ist u ≥ 0, so gilt ∀ x ∈ Ω

(\frac{r}{r + |x − x_{0}|})^{n−2} \frac{r − |x − x_{0}|}{r + |x − x_{0}|} u(x_{0}) ≤ u(x) ≤ (\frac{r}{r − |x − x_{0}|})^{n−2} \frac{r + |x − x_{0}|}{r − |x − x_{0}|}u(x_{0}) .

(b) Zeigen Sie: Eine in IR^{n}, n ≥ 3, harmonische Funktion, die nur ein Vorzeichen hat, ist konstant.

Aufgabe 24: (4 Punkte)

(a) Sei Ω ⊂ IR^{n} ein Normalgebiet, u ∈ C^{2}(\overline{Ω}) harmonisch und x ∈ Ω. Sei r so klein, daß auch die Kugel B_{r}(x) um x mit Radius r noch in Ω liegt. Dann gilt

u(x) = \frac{n}{r^{n}ω_{n}} ∫_{B_{r}(x)} u(y)dy = \frac{n}{ω_{n}} ∫_{B_{1}(0)} u(x + ry)dy .

(b) Beweisen Sie mit Hilfe von a) den Satz von Liouville: Jede beschränkte auf ganz IR^{n} harmonische Funktion ist konstant. \underline{Hinweis zu b):} Schätzen Sie |u(x) − u(0)| für x ∈ IR^{n} mit Hilfe von a) nach oben ab.