Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 6 , Abgabe: 30.11.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 18: (4 Punkte) Wir betrachten die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung

a\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + b\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + c\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = f  (1)

und das lineare System 1. Ordnung

a\frac{∂p}{∂x} + b\frac{∂p}{∂y} + c\frac{∂q}{∂y} = f ,

(2)

\frac{∂p}{∂y} − \frac{∂q}{∂x} = 0 .

Dabei seien a, b, c ≠ 0, f stetige Funktionen von x, y in einem Gebiet Ω ⊆ IR^{2}. Zeigen Sie:

(a) Besitzt (1) eine Lösung u ∈ C^{2}(Ω), so ist

p = \frac{∂u}{∂x} , q = \frac{∂u}{∂y}  (3)

eine Lösung von (2).

(b) Sind p, q ∈ C^{1}(Ω) Lösung von (2) und ist Ω einfach zusammenhängend, so gibt es eine Lösung u ∈ C^{2}(Ω) von (1) mit (3).

(c) (1) ist genau dann elliptisch (parabolisch, hyperbolisch), wenn (2) elliptisch (parabolisch, hyperbolisch) ist.

Aufgabe 19: (4 Punkte) In welchen Punkten des IR^{2} sind die Differentialgleichungen

a.) u_{xx} + yu_{yy} + 3u_{y} = 0,
b.) u_{yy} − yu_{xx} = 0, (T ricomi − Gleichung)
c.) u_{xx} − α^{2}u_{yy} + βu_{x} = 0, α, β ∈ IR, (T elegraphengleichung)

hyperbolisch, elliptisch oder parabolisch? Benutzen Sie Maple, um eine explizite allgemeine Lösung anzugeben und erklären Sie die auftretenden Funktionen.

Aufgabe 20: (4 Punkte) Sei u ∈ C^{2}(Ω), Ω ⊂ IR^{n} ein Gebiet, und sei

v(x, r) = \frac{1}{ω_{n}} ∫_{S^{n−1}} u(x + ry) dσ(y).

Zeigen Sie: v genügt der Gleichung

v_{rr} + \frac{n − 1}{r}v_{r} − Δv = 0

und den Anfangsbedingungen

v(x, 0) = u(x), v_{r}(x, 0) = 0.

ω_{n} bezeichnet dabei wieder die Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel.