Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 5 , Abgabe: 23.11.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 15: (6 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Das System

\frac{∂u_{1}}{∂y} − \frac{∂u_{1}}{∂x} − \frac{∂u_{2}}{∂x} = 0
a(x, y)\frac{∂u_{1}}{∂x} − \frac{∂u_{2}}{∂y} + \frac{∂u_{2}}{∂x} = f(x, y)

ist in (x, y) hyperbolisch, parabolisch, elliptisch, je nachdem a(x, y) > 0, = 0, bzw. < 0 ist.

(b) Stellen Sie im hyperbolischen Fall die Normalform her.

(c) Lösen Sie die Anfangswertaufgabe

∧ y
a = 1
>
u = 0  x

und bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit Maple für a = 1.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Das System

(1) \frac{∂u}{∂y} + A\frac{∂u}{∂x} = Bu + c

sei in Ω hyperbolisch. Sei

ϕ : (x, y) ⟶ (ξ(x, y), η(x, y))

eine stetig differenzierbare und umkehrbar eindeutige Abbildung von Ω auf Ω′. Sei u eine Lösung in Ω und sei v = u ∘ ϕ^{−1}. Zeigen Sie: v ist Lösung eines hyperbolischen Systems 1. Ordnung, dessen Charakteristiken von der Form ϕC sind mit Charakteristiken C von (1).

Aufgabe 17: (4 Punkte) Wir betrachten das lineare System in u(x, t), v(x, t)

\frac{∂u}{∂t} − x^{2} \frac{∂u}{∂x} + v + tx = 0 ,
\frac{∂v}{∂t} + \frac{∂v}{∂x} + (1 − tx)u + t = 0 .

(a) Zeigen Sie, daß das System in IR^{2} hyperbolisch ist und berechnen Sie die Charakteristiken.

(b) Zeigen Sie, daß die Lösung der Anfangswertaufgabe

u(x, 0) = x , v(x, 0) = 0 , x ∈ IR^{1}

in (IR^{−} ∪ \{0\}) × (IR^{+} ∪ \{0\}) ∪ \{(x, t), 0 ≤ t < \frac{1}{x} \} existiert.