Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 3 , Abgabe: 09.11.2000, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 8: (4 Punkte) Wir betrachten die Eikonalgleichung |p| = 1 in IR^{n}. Sei Γ : x = ξ(1), ξ ∈ C^{2}, eine Mannigfaltigkeit der Dimension n − 1 und sei Rg (\frac{∂ξ}{∂s_{1}} , …, \frac{∂ξ}{∂s_{n−1}} ) maximal.

(a) Zeigen Sie: In einer Umgebung von Γ gibt es zwei verschiedene Lösungen, welche entlang Γ den Wert 1 annehmen.

(b) Für jede dieser Lösungen u ist |u(x) − 1| der Abstand von x zu Γ.

(c) Berechnen Sie die beiden Lösungen, wenn Γ ein Teil der Sphäre |x| = 1 ist.

Aufgabe 9: (4 Punkte) Wir betrachten die Differentialgleichung F (x, u, p) = 0 mit F ∈ C^{1}. Für alle a ∈ IR^{2} sei u(x) = ϕ(x, a) eine Lösung. Zeigen Sie:

(a) Gibt es a ∈ C^{2}(IR^{2}, IR^{2}) mit ∇_{a}ϕ(x, a(x)) = 0 in IR^{2}, so ist auch u(x) = ϕ(x, a(x)) Lösung. Sie heißt singuläre Lösung.

(b) Ist die Jacobi-Matrix der Abbildung x → ∇_{a}ϕ(x, a) nicht singulär, so gilt für die singuläre Lösung ∇_{p}F (x, a, p) = 0.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Wir betrachten die Clairotsche Differentialgleichung

u = p · x + f(p) , f ∈ C^{2}(IR^{n})

(a) Berechnen Sie die Charakteristiken.

(b) Zeigen Sie, daß für alle a ∈ IR^{n}

u = a · x + f(a)

Lösung ist.

(c) Berechnen Sie die singuläre Lösung (vgl. Aufgabe 9) für n = 2 und f(p) = −p_{1}p_{2}.

(d) Bauen Sie die singuläre Lösung explizit durch Charakteristiken auf.