Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 2 , Abgabe: 02.11.2000, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 5: Wir betrachten die Differentialgleichung

\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂u}{∂y} = u^{2}

(a) Zeigen Sie, daß die Anfangswertaufgabe

u = x entlang Γ : x + y = 0

eine in einer Umgebung von Γ eindeutig bestimmte Lösung hat, welche bei Annäherung an die Hyperbel x^{2} − y^{2} = 4 betragsmäßig unendlich wird.

(b) Die Anfangswertaufgabe

u = f(x) entlang Γ : x − y = 0

besitze eine in einer Umgebung eines Punktes von Γ stetig differenzierbare Lösung.

Zeigen Sie, daß dann in dieser Umgebung f(x) = −1/(x + c) mit einer Konstanten c oder f ≡ 0 ist.

Aufgabe 6:

(a) Seien a, b ∈ C^{1}(IR^{2}). Wir betrachten die lineare homogene Differentialgleichung

a\frac{∂u}{∂x} + b\frac{∂u}{∂y} = 0 .

Zeigen Sie: Ist u ∈ C^{1}(IR^{2}) entlang jeder Lösung von

\frac{dx}{dt} = a(x, y) , \frac{dy}{dt} = b(x, y)

konstant, so ist u eine Lösung der Differentialgleichung auf IR^{2}.

(b) Bestimmen Sie nach der Methode aus (a) eine Lösung von

u_{x} + 3x^{2}u_{y} = 0 .

Aufgabe 7: Sei u = f(x, y, c) eine Flächenschar im IR^{3} mit Parameter c. Sei g eine Funktion mit

\frac{∂}{∂c}f(x, y, g(x, y)) = 0 .

Dann heißt u = f(x, y, g(x, y)) Einhüllende der Flächenschar.

(a) Zeigen Sie: Ist jede Fläche der Schar Lösung der partiellen Differentialgleichung

F (x, y, u, \frac{∂u}{∂x}, \frac{∂u}{∂y}) = 0 ,

so auch die Einhüllende.

(b) Zeigen Sie, daß die Flächen

u = \sqrt{1 − (x − c)^{2} − y^{2}} , (x − c)^{2} + y^{2} < 1

für jedes c Lösungen der Differentialgleichung

u^{2} (1 + (\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂u}{∂y})^{2}) = 1

sind und bestimmen Sie eine weitere Lösung durch Bildung der Einhüllenden.