Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 12 , Abgabe: 08.02.2001, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 41: (4 Punkte) Sei f ∈ C(IR^{1}) 2π-periodisch. Zeigen Sie, daß die Anfangswertaufgabe

\begin{aligned}\frac{∂u}{∂t} & = & \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} & in & IR^{1} × (0, ∞) \\ u & = & f & in & IR^{1} × \{0\} \end{aligned}

eine Lösung der Form

u(x, t) = ∫_{0}^{2π} G(x − y, t)f(y)dy

mit einer in x 2π-periodischen Funktion G besitzt und geben Sie diese Funktion an.

Aufgabe 42: (4 Punkte) Zeigen Sie: Sei u ∈ C^{2}(G × (0, T)) ∩ C(\overline{G} × [0, T]) Lösung der Differentialgleichung

u_{t} = Δu + b · ∇u − cu

mit stetigen b, c und c ≥ 0. Dann nimmt u sein Maximum und sein Minimum auf dem parabolischen Rand von G × (0, T) an.

Aufgabe 43: (4 Punkte) Sei für z ∈ C

u_{z}(x, t) = e^{xz+tz^{2}} .

Zeigen Sie:

(a) u_{z} ist Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung.

(b) u_{z} besitzt die Entwicklung

\begin{aligned}u_{z}(x, t) & = & ∑_{n=0}^{∞} v_{n}(x, t)\frac{z^{n}}{n!} , \\ v_{n}(x, t) & = & n! ∑_{k=0}^{[n/2]} \frac{t^{k}}{k!} \frac{x^{n−2k}}{(n−2k)!} . \end{aligned}

(c) v_{n} ist Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung.

Aufgabe 44: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß folgende Funktionen Lösungen der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung sind.

(a) Die Theta-Reihe

θ(x, t) = ∑_{n=−∞}^{+∞} γ_{1}(x + 2nπ, t)

mit der Fundamentallösung γ_{1} (Konvergenz?)

(b) u(x, t) = erfc (x/\sqrt{4t}) mit der complementary error function

erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{x}^{∞}e^{−y^{2}}dy .