Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 11 , Abgabe: 25.01.2001, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 37: (4 Punkte) Verifizieren Sie die Kirchhoffsche Formel für n = 1.

u(x, t) = \frac{1}{2} (f(x + t) + f(x − t)) + \frac{1}{2} ∫_{x−t}^{x+t}g(y)dy

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} ∫_{x−(t−τ)}^{x+(t−τ)}h(y, t)dydτ .

Aufgabe 38: (4 Punkte) Leiten Sie die Kirchhoffsche Wellenformel für n = 2 ausführlich her.

u(x, t) = \frac{1}{2π} ∫_{|y|<t} \frac{g(x + y)}{\sqrt{t^{2} − |y|^{2}}} dy + \frac{1}{2π} \frac{∂}{∂t} ∫_{|y|<t} \frac{f(x + y)}{\sqrt{t^{2} − |y|^{2}}} dy

+ \frac{1}{2π} ∫_{|y|<t} ∫_{0}^{t−|y|} \frac{h(x + y, τ)}{\sqrt{(t − τ)^{2} − |y|^{2}}} dτdy

Aufgabe 39: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Riemannsche Funktion für

Lu = \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} − \frac{1}{x + y} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂u}{∂y}) .

\underline{Hinweis:} Machen Sie den Ansatz

R(x, y; ξ, η) = \frac{ξ + η}{x + y} ψ (\frac{(ξ − x)(η − y)}{(x + y)(ξ + η)})

mit einer linearen Funktion ψ.

Aufgabe 40: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Riemannsche Funktion für

Lu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} + cu , c < 0 konstant ,

und lösen Sie die Anfangswertaufgabe

Lu = h in IR^{1} × (0, ∞)
u = f , \frac{∂u}{∂y} = g in IR^{1} × \{0\} .