Prof. Dr. F. Natterer WS 2000/2001

Übungen zur Vorlesung “PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN”

Übungsblatt 10 , Abgabe: 18.01.2001, 15.00 Uhr, Übungskasten 75 u. 76

Aufgabe 33: (4 Punkte) Sei Ω ein Normalgebiet in IR^{n}, und sei u ∈ C^{2}(\overline{Ω × (0, ∞)}) eine Lösung von

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = Δ_{x}u in Ω × (0, ∞) ,
u = 0  in ∂Ω × (0, ∞) .

Zeigen Sie:

(a) Es ist

∫_{Ω} \{(\frac{∂u}{∂t}(x, t))^{2} + ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂u}{∂x_{i}} (x, t))^{2}\} dx

unabhängig von t.

(b) u ist eindeutig bestimmt durch die Werte von u und \frac{∂u}{∂t} für t = 0.

Aufgabe 34: (4 Punkte) Sei u Lösung der Aufgabe

u_{x} − u_{y} − q(x)u = 0 , (x, y) ∈ IR^{2}
u(x, 0) = ϕ(x) , x ∈ IR^{1} .

mit stetigen Funktionen q, ϕ. Zeigen Sie: Ist ϕ(x) ≠ 0 für alle x ∈ IR^{1}, so ist q durch die Funktionen ϕ und u(0, · ) eindeutig bestimmt.

Aufgabe 35: (4 Punkte) Sei F ∈ C^{2}(IR^{1} × S^{n−1}) und

f(x) = ∫_{S^{n−1}} F (x · θ, θ)dσ(θ) .

Zeigen Sie, daß

u(x, t) = \frac{1}{2} ∫_{S^{n−1}} (F (x · θ + t, θ) + F (x · θ − t, θ))dσ(θ)

Lösung der Wellengleichung mit den Anfangswerten u(x, 0) = f(x), u_{t}(x, 0) = 0 ist.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Lösen Sie die Anfangswertaufgabe

u_{tt} = u_{xx} , u(x, 0) = 0 , u_{t}(x, 0) = g(x)

mit

g(x) = \{ \begin{matrix}1 & , & −ε ≤ x ≤ ε \\ 0 & , & sonst . \end{matrix}

Stellen Sie u(x, x) für t ≥ ε als Funktion von x graphisch dar.

Wir wünschen allen Teilnehmern ein gutes und erfolgreiches Neues Jahr!