Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 9 , Abgabe: 22.06.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 33: (4 Punkte) Lösen Sie die Aufgabe

y′ + y = 1 + x , y(0) = 0

mit dem Eulerverfahren und zeigen Sie, daß es die exakte Lösung liefert.

Aufgabe 34: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß das Einschrittverfahren

y_{k+1} = y_{k} + h \{f + \frac{h}{2} (f_{x} + ff_{y})\} (x_{k}, y_{k})

die Konsistenzordnung 2 hat (falls y ∈ C^{3}).

Aufgabe 35: (4 Punkte) Zeigen Sie: Es gibt keine Integrationsformel mit n Knoten, die alle trigonometrischen Polynome vom Grade ≤ n in [0, 2π] exakt integriert.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Zeigen Sie: Unter den 2-Schrittverfahren

y_{k+2} + αy_{k+1} + y_{k} = h(β_{2}f_{k+2} + β_{1}f_{k+1} + β_{0}f_{k})

gibt es keines, das stabil und konsistent ist.

Aufgabe 37: (4 Punkte) Sei A eine positiv definite Matrix. Geben Sie einen Algorithmus an, der ohne Matrixinversion den kleinsten Eigenwert von A mit Hilfe der Potenzmethode berechnet.

Aufgabe 38: (4 Punkte) Führen Sie das QR-Verfahren durch für die Matrix

( \begin{matrix}4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} ) .

\underline{Hinweis:} Benutzen Sie Givens-Rotationen und einen QR-Shift von 3.