Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 8 , Abgabe: 15.06.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 29: (4 Punkte) Lösen Sie y′ = 1 + y^{2}, y(0) = 0 mittels des Verfahrens

y_{k+2} − (1 + a)y_{k+1} + ay_{k} = \frac{h}{2}((3 − a)f_{k+1} − (1 + a)f_{k})

für a = 0, 1, −5. Verwenden Sie h = 0.01, \overline{y}_{1} = tan h und berechnen Sie die Lösung in [0, 2].

Aufgabe 30: (4 Punkte) Man bestimme α, β in dem Mehrschrittverfahren

y_{k+3} − y_{k} + α(y_{k+2} − y_{k+1}) = hβ(f_{k+2} + f_{k+1})

so, daß die Konsistenzordnung 4 erreicht wird. Ist das ensprechende Verfahren stabil? \underline{Hinweis:} Wenn Sie mit Maple umgehen können, benutzen Sie einfach “taylor”.

Aufgabe 31: (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Das durch Differentiation gewonnene m-Schrittverfahren lautet für

ℓ = m:

∑_{ν=1}^{m} \frac{1}{ν}∇^{ν}y_{k+m} = hf_{k+m} .

(b) Geben Sie für dieses Verfahren das Polynom ρ an und zeigen Sie Stabilität für m ≤ 4.

\underline{Hinweis:} Benutzen Sie den Satz von Eneström-Kakeya: Sei f(λ) = a_{0} + a_{1}λ + … + a_{n}λ^{n} mit reellen a_{i}, und sei a_{n} ≥ a_{n−1} ≥ … a_{0} > 0. Dann hat f keine Nullstelle λ mit |λ| > 1 (vgl. Marden, Geometry of Polynomials, S. 136).

Aufgabe 32: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die durch Differentiation abgeleiteten m-Schrittverfahren (mindestens) die Konsistenzordnung m haben.