Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 7 , Abgabe: 08.06.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei Δy_{k} = y_{k+1} − y_{k}. Zeigen Sie:

Δ^{q}y_{k} = ∑_{ν=0}^{q} ( \begin{matrix}q \\ ν \end{matrix} ) (−1)^{1−ν}y_{k+ν} , y_{k+q} = ∑_{ν=0}^{q} ( \begin{matrix}q \\ ν \end{matrix} ) Δ^{ν}y_{k} .

Aufgabe 26: (4 Punkte) Die erzeugende Funktion einer Folge γ_{0}, γ_{1}, … ist definiert durch

G(t) = ∑_{ν=0}^{∞} γ_{ν}t^{ν} .

(a) Zeigen Sie: Sind γ_{0}, γ_{1}, … die Koeffizienten der Adams-Bashforth-Verfahren, so gilt für |t| < 1

G(t) = \frac{t}{(t − 1)ℓn(1 − t)} .

(b) Benutzen Sie die erzeugende Funktion der Koeffizienten γ_{ν} des Adams-Bashforth-Verfahrens zur expliziten Berechnung von γ_{ν} für ν ≤ 4.

Aufgabe 27: (4 Punkte) Sei x_{k} = hk, k ∈ Z, und h > 0. Zeigen Sie:

(a) [y_{k−q}, …, y_{k}] = \frac{1}{q!h^{q}} ∇^{q}y_{k}

(b) Das Newtonsche Interpolationspolynom vom Grade q für die Stützstellen x_{k−q}, …, x_{k} und die Stützwerte y_{k−q}, …, y_{k} ist

p(x) = ∑_{ν=0}^{q} ( \begin{matrix}s \\ ν \end{matrix} ) ∇^{ν}y_{k} , s = \frac{x − x_{k}}{h} .

Aufgabe 28: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm AB(f, x_{0}, y_{0}, \overline{x}, h, m) zur Lösung der Anfangswertaufgabe y′ = f(x, y), y(x_{0}) = y_{0} mit dem Adams - Bashforth - Verfahren für m ≤ 4. Verwenden Sie das Runge - Kutta - Programm aus Aufgabe 24 für die Berechnung von y_{1}, …, y_{m−1}..