Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 6 , Abgabe: 01.06.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 21: (4 Punkte) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

f(x) = \frac{sin x}{1 − x^{2}} − \frac{cos x}{1 + x^{2}}

für x = 1.55 durch Auswerten der Differenzenquotienten

\frac{f(x + h) − f(x)}{h} , \frac{f(x + h) − f(x − h)}{2h}

in einfacher und doppelter Genauigkeit für h = 1/4, 1/8, 1/16, … und geben Sie den Fehler an. Erklären Sie Ihr Resultat.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Lösen Sie die Aufgaben:

(a) y′ = \sqrt{1 − y^{2}} , y(0) = 0

(b) y′ = xy + 1 , y(0) = 1

(c) y′′ + y′ = 6y , y(0) = 0, y′(0) = 1.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{2}(IR^{2}).

(a) Bestimmen Sie die Konsistenzordnung des Verfahrens

y_{k+1} = y_{k} + hf (x_{k} + \frac{h}{2} , y_{k} + \frac{h}{2}f(x_{k}, y_{k})) .

(b) Ein Runge - Kutta - Verfahren ist konsistent von der Ordnung 1, wenn

∑_{j=1}^{m} γ_{j} = 1

ist.

(c) Gilt zusätzlich

∑_{j=1}^{m} α_{j}γ_{j} = \frac{1}{2} (α_{1} = 0) ,

so ist es sogar konsistent von der Ordnung 2.

Aufgabe 24: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm RK(f, x_{0}, y_{0}, \overline{x}, h), welches die Anfangswertaufgabe

y′ = f(x, y) , y(x_{0}) = y_{0}

im Intervall [x_{0}, \overline{x}] mit der Schrittweite h mit Hilfe des Standard - Runge - Kutta - Verfahrens löst. Erproben Sie das Programm für die Anfangswertaufgabe y′ = 1+y^{2}, y(0) = 0 mit h = 0.1.