Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 5 , Abgabe: 18.05.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 17: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die zusammengesetzte Trapezregel bei Aufteilung in n Teilintervalle die trigonometrischen Polynome vom Grade < n auf dem Intervall [0, 2π] exakt integriert.

Aufgabe 18: (4 Punkte) Die (zusammengesetzte) Mittelpunktsregel lautet:

M_{h} = h ∑_{k=0}^{n−1} f(x_{k} + \frac{h}{2}) , x_{k} = a + kh , h = \frac{b − a}{n}

Zeigen Sie: Ist f ∈ C^{2}[a, b], so gilt

|M_{h} − I| ≤ \frac{b − a}{24} h^{2} \begin{matrix}Max \\ [a, b] \end{matrix} |f′′(x)| .

Aufgabe 19: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{2p+2}[a, b]. Sei M_{h} die Mittelpunktsregel aus Aufgabe 18. Man kann zeigen: Es gibt Konstanten c_{1}, …, c_{p} unabhängig von h, so daß

M_{h} = ∫_{a}^{b} fdx + c_{1}h^{2} + … + c_{p}h^{2p} + O(h^{2p+2}) .

Leiten Sie daraus ein Verfahren zur Romberg-Integration her, das auf Dreiteilung des Intervalls beruht.

Aufgabe 20: (4 Punkte) Bestimmen Sie die vier Parameter (a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}) so, daß die Formel

∫_{0}^{h} y(x)dx = h(a_{0}y(0) + a_{1}y(h)) + h^{2}(b_{0}y′(0) + b_{1}y′(h))

für y ∈ {1, x, x^{2}, x^{3}} exakt ist. Läßt sich die Genauigkeit durch Änderung der Auswertstellen 0 und h erhöhen?