Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 4 , Abgabe: 11.05.1999 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 13: (4 Punkte) Sei Q = (b − a)f((b + a)/2) eine Näherungsformel für das Integral I = ∫_{a}^{b} f(x)dx. Zeigen Sie:

1. Für f ∈ C^{1}([a, b]) gilt

|I − Q| ≤ \frac{(b − a)^{2}}{4} Max_{[a,b]}|f′(x)|

2. Für f ∈ C^{2}([a, b]) gilt

|I − Q| ≤ \frac{(b − a)^{3}}{24} Max_{[a,b]}|f′′(x)|

Aufgabe 14: (4 Punkte) Die offenen Newton–Cotes–Formeln erhält man durch Integration an den Stützstellen x_{k} = a + (k + 1)h, k = 0, …, n mit h = (b − a)/(n + 2). Berechnen Sie die Gewichte für n = 0, 1, 2.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm zur Romberg–Integration und testen Sie es für

∫_{0}^{1} e^{x}dx

und

∫_{0}^{1} \sqrt{x}dx.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Die Tschebyscheff–Polynome U_{n} zweiter Art sind definiert durch:

U_{0} = 1, U_{1} = 2x, U_{k+1} = 2U_{k} − U_{k−1}.

Zeigen Sie:

1. Es ist in [−1, 1] U_{k}(x) = \frac{sin((k+1) arccos x)}{sin(arccos x)}.

2. Die U_{k} sind in [−1, 1] bezüglich der Gewichtsfunktion w(x) = \sqrt{1 − x^{2}} orthogonal.

3. ∫_{−1}^{1} wU_{k}^{2}dx = \frac{π}{2}.