Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 3 , Abgabe: 04.05.99 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 9: (4 Punkte) Die beiden Matrizen

A = ( \begin{matrix}11 & −8 & 0 \\ 9 & −6 & 0 \\ 13.5 & −11 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}29 & −16 & −8 \\ 28.25 & −14 & −9 \\ 30.25 & −19 & −6 \end{matrix} )

haben beide den betragsgrößten Eigenwert λ_{1} = 3.

a) Berechnen Sie nach der Potenzmethode für beide Matrizen Approximationen x_{A}, λ_{A} bzw. x_{B}, λ_{B} für λ_{1} und einen dazugehörigen Eigenvektor x_{1}, so daß für die Defekte

\begin{aligned}d_{A} & = & Ax_{A} − λ_{A}x_{A} & , & d_{B} & = & Bx_{B} − λ_{B}x_{B} & gilt : \\ ε_{A} & = & \frac{∥d_{A}∥}{∥x_{A}∥_{2}} ≤ 0.1 & , & ε_{B} & = & \frac{∥d_{B}∥_{2}}{∥x_{B}∥_{2}} ≤ 0.1 & . \end{aligned}

b) Vergleichen Sie die Verhältnisse

|λ_{1} − λ_{A}|/ε_{A} , |λ_{1} − λ_{B}|/ε_{B}

und erklären Sie das Resultat mit Hilfe von Satz 5.4.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Sei P (λ) = λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + … + a_{0} ein Polynom vom Grade n und sei P (λ_{0}) = 0. Zeigen Sie:

|λ_{0}| ≤ max_{i=0,...,n−1} |a_{i}| + 1 .

Aufgabe 11: (4 Punkte) Was kann man durch Anwendung des Satzes von Gerschgorin über die Lage der Eigenwerte der folgenden Matrix sagen?

( \begin{matrix}3 & 1 & 0 & −1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & −1 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & −2 \\ 2 & 1 & 0 & −4 & 0 \\ 3 & 0 & −1 & 0 & −5 \end{matrix} )

\underline{Hinweis:} Wenden Sie den Satz von Gerschgorin auch auf die transponierte Matrix an.

Aufgabe 12: (4 Punkte) Sei A eine (n, n)-Matrix mit n dem Betrage nach verschiedenen Eigenwerten. A sei invariant unter einem QR-Schritt, d.h.: Ist A = QR, so auch A = RQ. Zeigen Sie: Dann ist A eine rechte Dreiecksmatrix. \underline{Hinweis:} Zeigen Sie, daß A, R, Q alle die gleichen Eigenvektoren haben, und benutzen Sie, daß die Eigenwerte von Q den Betrag 1 haben.