Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 2 , Abgabe: 27.04.99 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 5: (Programmieraufgabe)

(a) Erstellen Sie ein Programm für den QR-Algorithmus.

(b) Wenden Sie Ihr Programm an auf das Beispiel 1 der IMSL-Routine eig_{−}gen.

(c) Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem von eig_{−}gen.

Aufgabe 6: (4 Punkte) Sei H = (h_{ij}) eine Hessenbergmatrix und H = QR, R = (r_{ij}), ihre QR-Zerlegung. Zeigen Sie: |r_{ii}| ≥ |h_{i+1,i}|, i = 1, …, n − 1.

Aufgabe 7: (4 Punkte) Seien λ_{1}, …, λ_{n} die Eigenwerte der reellsymmetrischen Matrix A, und sei A = QR die QR-Zerlegung von A, R = (r_{ij}). Dann gilt

|r_{nn}| ≥ min_{j=1,...,n} |λ_{j}| .

Aufgabe 8: (4 Punkte) Sei A = A_{1} eine invertierbare (n, n)-Matrix mit n betragsmäßig verschiedenen Eigenwerten und A = QDQ^{−1}. Die Diagonalelemente von D seien ihrem Absolutbetrag nach geordnet. Nehmen Sie an, daß das LR-Verfahren für A durchführbar ist, also A_{k} = L_{k}R_{k} und A_{k+1} = R_{k}L_{k}. Außerdem seien Q = L_{X}R_{X} und Q^{−1} = L_{Y} R_{Y} LR-Zerlegungen. Zeigen Sie, daß A_{k} dann gegen eine obere rechte Dreiecksmatrix konvergiert:

1. Sei T_{k} := L_{1} · . . . · L_{k} und U_{k} := R_{k} · . . . · R_{1}. Zeigen Sie: T_{k}A_{k+1} = AT_{k} und T_{k}U_{k} = A^{k} = QD^{k}Q^{−1}.

2. Zeigen Sie: Für eine geeignete Matrix E_{k} gilt

A^{k} = L_{X}(I + R_{X}E_{k}R_{X}^{−1})R_{X}D^{k}R_{Y}

und E_{k} → 0.

3. Zeigen Sie durch LR-Zerlegung des Klammerausdrucks, daß T_{k} konvergiert und damit L_{k}. Benutzen Sie die Eindeutigkeit der LR-Zerlegung.

4. Zeigen Sie, daß R_{k} = U_{k}U_{k−1}^{−1} konvergiert und damit A_{k} gegen eine obere rechte Dreiecksmatrix.