Prof. Dr. F. Natterer SS 1999

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 1 , Abgabe: 20.04.99 , 11.00 Uhr, Übungskasten 58

Aufgabe 1: (4 Punkte) Man führe die Potenzmethode durch für die Matrizen

A = ( \begin{matrix}1.5 & −1.5 & −1 \\ −0.5 & 2.5 & 1 \\ 0.5 & 1.5 & 3 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}2 & −1.5 & −0.5 \\ −1 & 2.5 & 0.5 \\ 2 & 1.5 & 4.5 \end{matrix} ) C = ( \begin{matrix}−1 & −1 & −3 \\ 2 & 2 & 3 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix} )

Seien |λ_{1}| ≥ |λ_{2}| ≥ |λ_{3}| die zugehörigen Eigenwerte. Entscheiden Sie aufgrund des Verhaltens der x^{k}, welcher der folgenden Fälle vorliegt. Benutzen Sie als Startvektoren x^{0} die Vektoren (1, 1, 1) und (1, 0, 0).

a) |λ_{1}| = |λ_{2}| , aber λ_{1} ≠ λ_{2}.

b) |λ_{1}| > |λ_{2}| ≥ |λ_{3}|, λ_{1} von algebraischer Vielfachheit 1.

c) Zum betragsgrößten Eigenwert gehört ein Jordan-Kästchen der Länge größer als Eins.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei A die (n, n)−Matrix mit

a_{ii} = 2 , i = 1, …, n , a_{i+1,i} = a_{i,i+1} = −1 , i = 1, …, n − 1 .

Alle anderen Elemente von A seien 0. Zeigen Sie, daß A die Eigenwerte

λ_{ℓ} = 4 sin^{2} (\frac{ℓπ}{2n + 2}) , ℓ = 1, …, n

hat. \underline{Hinweis:} Machen Sie für einen Eigenvektor x den Ansatz x_{i} = sin (c i), i = 1, …, n und bestimmen Sie c. Benutzen Sie das Additionstheorem für den Sinus.

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei A die (n, n)−Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & . & . & . & & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & . & . & . & 0 \\ . & & & . \\ . & & & & & . \\ . & & & & & & & . \\ 0 & 0 & . & & . & & . & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & & . & & . & & . & −a_{n−1} \end{matrix} )

(a) Berechnen Sie det (λI − A).

(b) Zeigen Sie, daß jeder EW von A die geometrische Vielfachheit 1 hat.

(c) Geben Sie die Jordan‘sche Normalform von A an.

Aufgabe 4: (4 Punkte)

(a) Wieviele paarweise nicht ähnliche (6, 6)−Matrizen gibt es, deren charakteristisches Polynom (λ − 3)^{4} (λ − 1)^{2} ist?

(b) Sei w ∈ C^{n} mit ∥w∥_{2} = 1.

Man bestimme die Jordan‘sche Normalform von A = I − 2ww^{∗}.