Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 9 , Abgabe: 02.07.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 33: (4 Punkte) Sei m gerade. Sei ρ das Polynom vom Grade m, welches zu einem optimalen m-Schrittverfahren gehört. Zeigen Sie, daß ρ nur Wurzeln vom Betrage 1 hat.

\underline{Hinweis:} Zeigen Sie für die Zahl b_{m+1} aus dem Beweis zu Satz IX.6.2 für gerades m

b_{m+1} = c_{2}a_{m} + c_{4}a_{m−2} + … + c_{m}a_{2} .

Schließen Sie daraus, daß für ein optimales Verfahren r(−w) = −r(w) gilt. Schließen Sie weiter, daß ρ nur Wurzeln auf dem Einheitskreis haben kann, da das Verfahren stabil ist.

Aufgabe 34: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß das Verfahren

y_{k+4} − y_{k} = h (4f_{k+2} + \frac{8}{3}∇^{2}f_{k+3} + \frac{14}{45}∇^{4}f_{k+4})

optimal ist.

Aufgabe 35: (4 Punkte) Lösen Sie das Anfangswertproblem für das restringierte 3-Körper-Problem

\begin{aligned}x(0) & = & 1.2 & y(0) & = & 0 \\ ẋ(0) & = & 0 & ẏ(0) & = & −1.0493575098 \end{aligned}

und μ = 1/82.45 mit dem Standard-Runge-Kutta-Verfahren. Bestätigen Sie, daß es eine Lösung der Periode T = 6.1921693314 gibt.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die durch Differentiation abgeleiteten m-Schrittverfahren (mindestens) die Konsistenzordnung m haben.