Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 8 , Abgabe: 25.06.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 29: (4 Punkte) Sei Δy_{k} = y_{k+1} − y_{k}. Zeigen Sie:

Δ^{q}y_{k} = ∑_{ν=0}^{q} ( \begin{matrix}q \\ ν \end{matrix} ) (−1)^{1−ν}y_{k+ν} , y_{k+q} = ∑_{ν=0}^{q} ( \begin{matrix}q \\ ν \end{matrix} ) Δ^{ν}y_{k} .

Aufgabe 30: (4 Punkte) Man bestimme α, β in dem Mehrschrittverfahren

y_{k+3} − y_{k} + α(y_{k+2}) = hβ(f_{k+2} + f_{k+1})

so, daß die Konsistenzordnung 4 erreicht wird. Ist das ensprechende Verfahren stabil?

Aufgabe 31: (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Das durch Differentiation gewonnene m-Schrittverfahren lautet für

ℓ = m:

∑_{ν=1}^{m} \frac{1}{ν}∇^{ν}y_{k+m} = hf_{k+m} .

(b) Geben Sie für dieses Verfahren das Polynom ρ an und zeigen Sie Stabilität für m ≤ 4.

\underline{Hinweis:} Benutzen Sie den Satz von Eneström-Kakeya: Sei f(λ) = a_{0} + a_{1}λ + … + a_{n}λ^{n} mit reellen a_{i}, und sei a_{n} ≥ a_{n−1} ≥ … a_{0} > 0. Dann hat f keine Nullstelle λ mit |λ| > 1 (vgl. Marden, Geometry of Polynomials, S. 136).

Aufgabe 32: (4 Punkte) Die erzeugende Funktion einer Folge γ_{0}, γ_{1}, … ist definiert durch

G(t) = ∑_{ν=0}^{∞} γ_{ν}t^{ν} .

(a) Zeigen Sie: Sind γ_{0}, γ_{1}, … die Koeffizienten der Adams-Bashforth-Verfahren, so gilt für |t| < 1

G(t) = \frac{t}{(t − 1)ℓn(1 − t)} .

(b) Benutzen Sie die erzeugende Funktion der Koeffizienten γ_{ν} des Adams-Bashforth-Verfahrens zur expliziten Berechnung von γ_{ν} für ν ≤ 4.