Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 7 , Abgabe: 18.06.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 25: (4 Punkte) Lösen Sie die Aufgaben:

(a) y′ = \sqrt{1 − y^{2}} , y(0) = 0

(b) y′ = xy + 1 , y(0) = 1

Aufgabe 26: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Konsistenzordnung des Verfahrens

y_{k+1} = y_{k} + hf (x_{k} + \frac{h}{2} , y_{k} + \frac{h}{2}f(x_{k}, y_{k})) .

Aufgabe 27: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{2}(IR^{2}). Zeigen Sie:

(a) Ein Runge - Kutta - Verfahren ist konsistent von der Ordnung 1, wenn

∑_{j=1}^{m} γ_{j} = 1

ist.

(b) Gilt zusätzlich

∑_{j=1}^{m} α_{j}γ_{j} = \frac{1}{2} (α_{1} = 0) ,

so ist es sogar konsistent von der Ordnung 2.

Aufgabe 28: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm RK(f, x_{0}, y_{0}, \overline{x}, h), welches die Anfangswertaufgabe

y′ = f(x, y) , y(x_{0}) = y_{0}

im Intervall [x_{0}, \overline{x}] mit der Schrittweite h mit Hilfe des Standard - Runge - Kutta - Verfahrens löst. Erproben Sie das Programm für die Anfangswertaufgabe y′ = 1+y^{2}, y(0) = 0 mit h = 0.1.