Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 6 , Abgabe: 11.06.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 21: (4 Punkte) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

f(x) = \frac{sin x}{1 − x^{2}} − \frac{cos x}{1 + x^{2}}

für x = 1.55 durch Auswerten der Differenzenquotienten

\frac{f(x + h) − f(x)}{h} , \frac{f(x + h) − f(x − h)}{2h}

für h = 1/4, 1/8, 1/16, … und geben Sie den Fehler an. Erklären Sie Ihr Resultat.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die zusammengesetzte Trapezregel bei Aufteilung in n Teilintervalle die trigonometrischen Polynome vom Grade < n auf dem Intervall [0, 2π] exakt integriert.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Die (zusammengesetzte) Mittelpunktsregel lautet:

M_{h} = h ∑_{k=0}^{n−1} f(x_{k} + \frac{h}{2}) , x_{k} = a + kh , h = \frac{b − a}{n}

Zeigen Sie: Ist f ∈ C^{2}[a, b], so gilt

|M_{h} − I| ≤ \frac{b − a}{24} h^{2} \begin{matrix}Max \\ [a, b] \end{matrix} |f′′(x)| .

Aufgabe 24: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{2p+2}[a, b]. Sei M_{h} die Mittelpunktsregel aus Aufgabe 23. Man kann zeigen: Es gibt Konstanten c_{1}, …, c_{p} unabhängig von h, so daß

M_{h} = ∫_{a}^{b} fdx + c_{1}h^{2} + … + c_{p}h^{2p} + O(h^{2p+2}) .

Leiten Sie daraus ein Verfahren zur Romberg-Integration her, das auf Dreiteilung des Intervalls beruht.