Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 4 , Abgabe: 21.05.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 13: (4 Punkte) Zeigen Sie: Unter allen Polynomen vom Grade n mit Höchstkoeffizient 1 hat 2^{−n+1}T_{n}(x) das kleinste Betragsmaximum in [−1, +1].

Aufgabe 14: (4 Punkte) Berechnen Sie die Tschebyscheff-Approximation von f(x) = sin x in [0, π/2] durch lineare Funktionen.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Seien x_{j} = cos θ_{j}, θ_{j} = \frac{j+1/2}{n+1}π j = 0, …, n die Tschebyscheff’schen Stützstellen. Zeigen Sie: Das Polynom vom Grade n, das an den Stützstellen x_{i} die Werte y_{i} annimmt, ist

P (x) = \frac{T_{n+1}(x)}{n + 1} ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j} \frac{y_{j} sin θ_{j}}{x − x_{j}} .

Aufgabe 16: (4 Punkte) Sei z_{j} = e^{2πij/n}, j = 0, …, n−1 die Einheitswurzel in der komplexen Ebene. Sei f(z) = \frac{1}{2}.

(a) Berechnen Sie das Polynom P_{n} vom Grade < n mit P_{n}(z_{j}) = f(z_{j}), j = 0, …, n−1.

(b) Zeigen Sie: Es gilt

lim_{n→∞} max_{|z|=1} |P_{n}(z) − f(z)| = 2 .