Prof. Dr. F. Natterer SS 1996

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK II

Übungsblatt 3 , Abgabe: 14.05.96 , 11.00 Uhr, Kasten F 26

Aufgabe 9: (4 Punkte) Die beiden Matrizen

A = ( \begin{matrix}11 & −8 & 0 \\ 9 & −6 & 0 \\ 13.5 & −11 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}29 & −16 & −8 \\ 28.25 & −14 & −9 \\ 30.25 & −19 & −6 \end{matrix} )

haben beide den betragsgrößten Eigenwert λ_{1} = 3.

a) Berechnen Sie nach der Potenzmethode für beide Matrizen Approximationen x_{A}, λ_{A} bzw. x_{B}, λ_{B} für λ_{1} und einen dazugehörigen Eigenvektor x_{1}, so daß für die Defekte

\begin{aligned}d_{A} & = & Ax_{A} − λ_{A}x_{A} & , & d_{B} & = & Bx_{B} − λ_{B}x_{B} & gilt : \\ ε_{A} & = & \frac{∥d_{A}∥}{∥x_{A}∥_{2}} ≤ 0.1 & , & ε_{B} & = & \frac{∥d_{B}∥_{2}}{∥x_{B}∥_{2}} ≤ 0.1 & . \end{aligned}

b) Vergleichen Sie die Verhältnisse

|λ_{1} − λ_{A}|/ε_{A} , |λ_{1} − λ_{B}|/ε_{B}

und erklären Sie das Resultat mit Hilfe von Satz 5.4.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Sei P (λ) = λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + … + a_{0} ein Polynom vom Grade n und sei P (λ_{0}) = 0. Zeigen Sie:

|λ_{0}| ≤ max_{i=0,...,n−1} |a_{i}| + 1 .

Aufgabe 11: (4 Punkte) Was kann man durch Anwendung des Satzes von Gerschgorin über die Lage der Eigenwerte der folgenden Matrix sagen?

( \begin{matrix}3 & 1 & 0 & −1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & −1 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & −2 \\ 2 & 1 & 0 & −4 & 0 \\ 3 & 0 & −1 & 0 & −5 \end{matrix} )

\underline{Hinweis:} Wenden Sie den Satz von Gerschgorin auch auf die transponierte Matrix an.

Aufgabe 12: (4 Punkte) Sei A eine hermitesche Matrix. A heißt positiv definit, wenn x^{∗}Ax > 0 ist für x ≠ 0. Man zeige: a) A ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.

b) Die (n, n)-Matrix A sei positiv definit und für m ≤ n sei {i_{1}, …, i_{n}} eine melementige Teilmenge von {1, …, n}. Dann ist auch die (m, m)-Matrix mit den Elementen

(a_{i_{ν}i_{μ}})_{ν,μ=1,...,m}

positiv definit.

c) Eine positiv definite Matrix besitzt eine LR-Zerlegung.