Prof. Dr. H. Maurer SS 95

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 1, Abgabe: Fr., 28.04.95, 11.00 Uhr

Aufgabe 1: (8 Punkte) Überlegen Sie, daß die folgenden Ausdrücke Normen für V sind und entscheiden Sie dann, welche dieser Normen streng sind.

(a) V = C^{1}[a, b] ; ∥f∥ = ∫_{0}^{1} f′(x)^{2}dx + \begin{matrix}max \\ a ≤ x ≤ b \end{matrix} |f(x)|

(b) V = C^{2}[a, b] ; ∥f∥ = ∫_{a}^{b} f′′(x)^{2}dx + |f(a)| + |f(b)|

(c) V = C^{n}[a, b] ; ∥f∥ = ( ∑_{k=0}^{n} ∫_{a}^{b} f^{(k)}(x)^{2}dx)^{1/2}

(d) V = {(x_{k})_{k∈IN} | x_{1} = 0 , ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1} − x_{k}| < ∞} ;

∥x∥ = ∑_{k=0}^{∞} |x_{k+1} − x_{k}|

Aufgabe 2: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß der Raum C[a, b] bezüglich der Normen ∥ · ∥_{2} oder ∥ · ∥_{1} nicht vollständig ist. Untersuchen Sie dazu die Konvergenz der Folge (f_{n})_{n∈IN_{+}} mit

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}−1 & für & − & 1 ≤ x ≤ −\frac{1}{n} \\ nx & für & − & \frac{1}{n} ≤ x ≤ \frac{1}{n} \\ 1 & für & & \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1 \end{matrix}

Aufgabe 3: (Programmieraufgabe)

(a) Schreiben Sie ein Programm zur Berechnung des Interpolationspolynoms P_{n}(x) vom Grade n zu den Interpolationsbedingungen P_{n}(x_{j}) = y_{j}, j = 0, …, n. Benutzen Sie die Newton’sche Interpolationsformel und berechnen Sie den Wert P_{n}(x) für x ∈ IR mit dem Hornerschema.

Betrachten Sie dann die Funktion von RUNGE

f(x) = \frac{1}{1 + 25x^{2}} , −1 ≤ x ≤ 1 .

Bestimmen Sie für n = 5, 10, 20 das Polynom P_{n}(x) zu den Werten y_{j} = f(x_{j}) in den äquidistanten Knoten

x_{j} = −1 + \frac{2j}{n} , j = 0, …, n,

und berechnen Sie jeweils

∥P_{n} − f∥_{∞} ≈ \begin{matrix}max \\ j = 0, …, 40 \end{matrix} \{|P_{n}(z_{j}) − f(z_{j})| | z_{j} = −1 + \frac{j}{20}\}

(b) Schreiben Sie ein Programm zur kubischen Spline-Interpolation mit Hermite-Endbedingungen (Fall (17.5)(b) auf Seite 17.9):

\begin{aligned}s_{n}(x_{j}) & = & y_{j} & , & j = 0, …, n , \\ s′_{n}(x_{0}) & = & y′_{0} & , & s′_{n}(x_{n}) = y_{n} . \end{aligned}

Berechnen Sie für die RUNGE - Funktion f(x) = 1/(1 + 25x^{2}) mit x_{j} = −1 + \frac{2j}{n}, j = 0, …, n, y_{j} = f(x_{j}), y′_{0} = f′(−1), y′_{n} = f′(1), den Fehler

∥s_{n} − f∥_{∞} ≈ \begin{matrix}max \\ j = 0, …, 40 \end{matrix} \{|s_{n}(z_{j}) − f(z_{j})| | z_{j} = −1 + \frac{j}{20}\}

für n = 5, 10, 20.

Abgabe der Programmieraufgabe: 5.5.95

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 2, Abgabe: 05.05.95, 11.00 Uhr

Aufgabe 4: (4 Punkte) Betrachten Sie in (C[0, 1], ∥ · ∥_{∞}) die Teilmenge

T = {u ∈ C[0, 1] | u(0) = 0} .

Zeigen Sie, daß die Folge (u_{n})_{n∈IN}, u_{n}(x) = x^{n}, eine Minimalfolge für das Element v mit v(x) ≡ 1 ist, welche \underline{nicht} gegen ein Element aus T konvergiert.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

(a) In dem normierten Vektorraum (V, ∥ · ∥) sei B = {u ∈ V | ∥u∥ ≤ 1} die abgeschlossene Einheitskugel. Man zeige, daß \underline{ein} Proximum ũ ∈ B an ein Element v ∈ V gegeben ist durch

ũ = \{ \begin{matrix}v & , & falls & v ∈ B \\ v/∥v∥ & , & falls & v ∉ B . \end{matrix} \}

(b) Sei V = IR^{2} versehen mit der Norm ∥x∥_{1} := |x_{1}| + |x_{2}|. Skizzieren Sie B = \{x ∈ IR^{2} | ∥x∥_{1} ≤ 1\} und bestimmen Sie \underline{alle} Proxima x̃ ∈ B an v = (2, 0) und v = (1, 1).

Aufgabe 6: (4 Punkte) In (C[−1, 1], ∥ · ∥_{2}) sei die Folge

f_{n}(x) = (\frac{n}{1 + n^{4}x^{2}} )^{1/2}

gegeben. Zeigen Sie, daß die Folge im Mittel gegen f(x) ≡ 0 konvergiert; jedoch konvergiert sie nicht punktweise.

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 3, Abgabe: 12.05.95, 11.00 Uhr

Aufgabe 7: (4 Punkte) Sei f ∈ C[−1, 1], f(x) = e^{x}. Man bestimme die Proxima an f aus Π_{k}, 0 ≤ k ≤ 2, bezüglich der Norm ∥ · ∥_{2}

(a) über die Normalgleichungen;

(b) durch Entwickeln von f nach LEGENDRE-Polynomen.

Aufgabe 8: (4 Punkte) Die periodische Funktion f ∈ C(IR) sei definiert durch periodische Fortsetzung von f(x) = x^{2} für x ∈ [−π, π].

(a) Berechnen Sie die FOURIER-Entwicklung von f und skizzieren Sie den Verlauf der Proxima (19.7) aus span (u_{0}, u_{1}, u_{2}) und span (u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}).

(b) Berechnen Sie das Proximum an f aus span (1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x)) bezüglich der durch das innere Produkt

(f, g) := ∑_{k=1}^{6} f(x_{k})g(x_{k}) , x_{k} = (k − 1)\frac{2π}{6}

induzierten Norm auf IR^{6}. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis in (a).

Aufgabe 9: (4 Punkte) Bestimmen Sie für die Matrizen

(a) A = uv^{T}, u, v ∈ IR^{n},

(b) Q = I − 2ww^{T}, w^{T} w = 1, w ∈ IR^{n},

(c)

P = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

die Eigenwerte λ_{i} und die Vielfachheiten σ(λ_{i}) und ρ(λ_{i}) des charakteristischen Polynoms φ(λ).

Aufgabe 10: (4 Punkte) Sei A eine reelle symmetrische (n, n)-Matrix mit den Eigenwerten λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{n} und den Eigenvektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ IR^{n}, x_{i}^{T} x_{k} = δ_{ik}. Man zeige:

λ_{j} = \begin{matrix}max \\ y ∈ IR^{n} \end{matrix} \{y^{T} Ay | y^{T} y = 1 , x_{i}^{T} y = 0 für i = 1, …, j − 1\}

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 4, Abgabe: 19.05.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 10: (4 Punkte) Bei der Berechnung der Grundfrequenzen und Schwingungsformen eines linearen Schwingungssystems der Form (Bild 1), stellt sich die Aufgabe der Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

A = ( \begin{matrix}c_{1} + c_{2} & −c_{2} & 0 \\ −c_{2} & c_{2} + c_{3} & −c_{3} \\ 0 & −c_{3} & c_{3} \end{matrix} ) .

(a) Berechnen Sie für x^{(0)} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) mit Hilfe der Potenzmethode 4 Iterationen zur

Bestimmung des größten Eigenwertes von A.

(b) Bestimmen Sie für c_{1} = 8, c_{2} = 3, c_{3} = 11 den größten Eigenwert und zugehörigen Eigenvektor der Matrix A. Benutzen Sie a) zur Berechnung einer Näherung und vergleichen Sie die Resultate. Erklären Sie insbesondere die schlechte Konvergenz des Eigenvektors.

Bild 1

Aufgabe 11: (4 Punkte) Berechnen Sie für die Hessenberg-Matrix

B = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

einen Schritt der Methode von HYMAN (Seite 22.7) ausgehend vom Startwert λ = 3.

Aufgabe 12: (Programmieraufgabe) Sei

A = ( \begin{matrix}0 & −8 & 16 & −104 \\ 0 & 2 & −12 & 42 \\ 0 & 9 & −16 & 105 \\ 1 & −2 & 13 & −42 \end{matrix} ) , x^{(0)} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

(a) Berechnen Sie die ersten 4 Näherungen für den größten Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor nach der Potenzmethode.

(b) Benutzen Sie die inverse Potenzmethode zur Berechnung des zweitgrößten Eigenwertes mit zugehörigem Eigenvektor.

Verwenden Sie μ = 10 und x^{(0)} = (1, 1, 1, 1)^{T}.

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 5, Abgabe: 26.05.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 13: (6 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}δ_{1} & γ_{2} & & & O \\ γ_{2} & δ_{2} & γ_{3} \\ & ... & ... & ... \\ & & ... & ... & γ_{n} \\ O & & & γ_{n} & δ_{n} \end{matrix} )

(a) Zeigen Sie: λ ist Eigenwert von A genau dann, wenn −λ Eigenwert von B ist:

B := ( \begin{matrix}−δ_{1} & γ_{2} & & & O \\ γ_{2} & −δ_{2} & γ_{3} \\ & ... & ... & ... \\ & & ... & ... & γ_{n} \\ O & & & γ_{n} & −δ_{n} \end{matrix} )

\underline{Hinweis:} Betrachten Sie die Rekursion 22.4).

(b) Für die Matrix A gelte

\begin{matrix}δ_{i} = −δ_{n+1−i} & (i = 1, …, n) , \\ γ_{i} = γ_{n+2−i} & (i = 2, …, n) . \end{matrix}

Zeigen Sie: Mit λ ist auch −λ Eigenwert von A.

(c) Für die Matrix A gelte

\begin{matrix}δ_{i} + δ_{n+1−i} = 2c & , & c ∈ IR & (i = 1, …, n) , \\ γ_{i} = γ_{n+2−i} & , & & (i = 2, …, n) . \end{matrix}

Was kann man über die Lage der Eigenwerte von A aussagen?

Aufgabe 14: (4 Punkte) Rechnen Sie einen Schritt des QR-Verfahrens für die Matrix

A = ( \begin{matrix}2 ε \\ ε 1 \end{matrix} )

(a) ohne Shift.

(b) mit Shift s = s_{1} = 1. Terme “höherer Ordnung” dürfen vernachlässigt werden, z.B. \sqrt{1 + x} ≐ 1 + \frac{x}{2} für |x| klein.

(c) Vergleichen Sie in einer Tabelle die exakten Eigenwerte mit den approximierten Eigenwerten aus (a) und (b) für ε = \frac{1}{10}.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Sei A eine symmetrische (n, n)-Matrix mit den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n}.

(a) Zeigen Sie: Für jeden Vektor x ∈ IR^{n} und jede Zahl λ ∈ IR gilt die Abschätzung

\begin{matrix}min \\ 1 ≤ i ≤ n \end{matrix} |λ_{i} − λ| ≤ \frac{∥Ax − λx∥_{2}}{∥x∥_{2}} .

(b) Wenden Sie die Abschätzung in (a) an auf die symmetrische Matrix

A = ( \begin{matrix}6 4 3 \\ 5 5 3 \\ 5 3 5 \end{matrix} )

und x = (0.9, 1.0, 1.1)^{T}, λ = 12.

Aufgabe 16: (Programmieraufgabe) Man berechne sämtliche Eigenwerte λ_{i} und Eigenvektoren x_{i} der Matrix

A = ( \begin{matrix}16 & 1 & & & O \\ 1 & 12 & 1 \\ & 1 & 8 & 1 \\ & & 1 & 4 & 1 \\ O & & & 1 & 0 \end{matrix} )

mit Hilfe der in §22.2 dargelegten Methode und dem Verfahren von MAEHLY (§12). \underline{Hinweis:} Nach Aufgabe 13 liegen die Eigenwerte symmetrisch zu λ_{3} = 8. Abgabe der Programmieraufgabe: Fr., 2.6.95

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 6, Abgabe: 02.06.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 17: (4 Punkte) Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

A = ( \begin{matrix}5 & 1 & 0 & −1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & −7 & 2 & 2 \\ −1 & 0 & 2 & −5 & 1 \\ 1 & −1 & 2 & 1 & −7 \end{matrix} )

Es sei bekannt, daß b einem maximalen relativen Fehler von 1% in der ∥ · ∥_{2}–Norm unterliegt. Geben Sie mit Hilfe des Satzes von GERSCHGORIN eine möglichst gute Abschätzung für den Fehler in x.

Aufgabe 18: (6 Punkte) Gegeben sei die (n, n)-Matrix

C(λ) = ( \begin{matrix}λ & 1 & & & O \\ & λ & 1 \\ & & ... & ... \\ & & & ... & 1 \\ O & & & & λ \end{matrix} )

und die (n, n)-Matrix F. Zeigen Sie: Für die Eigenwerte λ_{i}(ε) der gestörten Matrix C(λ) + εF gilt für genügend kleines ε die Abschätzung

|λ_{i}(ε) − λ| ≤ |ε^{1/n}|(1 + ∥F ∥_{∞}) .

Zeigen Sie durch spezielle Wahl der Matrix F, daß der Fall λ_{i}(ε)−λ = O(ε^{1/n}) tatsächlich auftritt. \underline{Hinweis:} Ähnlichkeitstransformation mit D = diag (1, δ, δ^{2}, …, δ^{(n−1)}), δ = ε^{1/n}. Benutzen Sie den Satz von GERSCHGORIN.

Aufgabe 19: (4 Punkte) Berechnen Sie das Integral

∫_{0}^{π/2} sin xdx

(a) nach der zusammengesetzten Trapezregel mit h = π/8, (b) nach der zusammengesetzten Simpsonregel mit h = π/8. Geben Sie jeweils eine Fehlerabschätzung an.

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 7, Abgabe: 23.06.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 20: (4 Punkte) Es ist

∫_{0}^{1} \frac{4}{1 + x^{2}} dx = π = 3.14159 ….

Bestimmen Sie π näherungsweise, indem Sie für das angegebene Integral 3 Romberg-Schritte ausführen (Schrittweiten h_{i} = \frac{1}{2^{i}}, i = 0, 1, 2, 3).

Aufgabe 21: (4 Punkte) Es soll die Zahl e mittels eines Extrapolationsverfahrens näherungsweise berechnet werden.

(a) Man zeige:

T (h) := (1 + h)^{1/h} , h ≠ 0 , |h| < 1 ,

besitzt eine für alle |h| < 1 konvergente Entwicklung

T (h) = e + ∑_{i=1}^{∞} α_{i}h^{i} .

\underline{Hinweis:} T (h) = e^{φ(h)}, φ(h) geeignete Funktion.

(b) Welche Vorteile bietet die Entwicklung von

T̃(h) := \frac{1}{2}(T (h) + T (−h)) ?

Aufgabe 22: (4 Punkte) Die Ableitung f′(x) einer Funktion f(x) soll durch die Differenzenquotienten

(a) T (h) = \frac{1}{h}(f(x + h) − f(x))

(b) T (h) = \frac{1}{2h}(f(x + h) − f(x − h))

berechnet werden. Bestimmen Sie f′(1) nach (a) und (b) für f(x) = e^{x} mittels Extrapolation zu den Schrittweiten h_{0} = 0.2, h_{1} = 0.1, h_{2} = 0.05.

Aufgabe 23: (4 Punkte) (Trennung der Variablen) Die AWA

y′ = f(x)g(y) , y(x_{0}) = y_{0}

mit stetigen Funktionen f, g kann gelöst werden durch Integration der formalen Beziehung dy/g(y) = f(x)dx:

∫_{y_{0}} \frac{dy}{g(y)} = ∫_{x_{0}} f(x)dx (g(y_{0}) ≠ 0) .

Berechnen Sie hiermit die Lösung der folgenden AWA unter Angabe des maximalen Existenzintervalls.

(a) y′ = ky^{2} , y(0) = y_{0} (k > 0)

(b) y′ = \frac{2x}{y+yx^{2}} , y(2) = 3

Aufgabe 24: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm

romberg (f, a, b, relerr)

zur Romberg-Integration einer Funktion f in [a, b]. Das Programm soll abbrechen, wenn in der letzten Zeile zweimal hintereinander gilt |T_{i,k} − T_{i,k−1}| / T_{ik} ≤ relerr. Es sollen k = 4 Spalten und mindestens i = 4 und höchstens i = 10 Zeilen des Romberg-Schemas berechnet werden. Ihr Programm soll mit der minimalen Zahl von Funktionsauswertungen auskommen. Testen Sie Ihr Programm an den Beispielen (relerr ≤ 10^{−5}):

(a)  ∫_{0}^{π/2} 5(e^{π} − 2)^{−1}e^{2x} cos xdx = 1 (π ≈ 3.1415926)

(b)  ∫_{1}^{2} \frac{dx}{(x + 0.05)^{4}} = 0.249254224

(c)  ∫_{0}^{1} \frac{dx}{(x + 0.05)^{4}} = 2666.379

(d)  ∫_{0}^{1} x^{3/2}dx = 0.4

( Versuchen Sie hier, die schlechten Ergebnisse zu erklären.)

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 8, Abgabe: 30.06.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 25: (4 Punkte) Die Lösung der AWA

y′ = x + y , y(0) = 1

ist y(x) = 2e^{x}−(1+x). Berechnen sie Näherungswerte für y(1) mit dem EULER-Verfahren zu den Schrittweiten h_{i} = 2^{−i} (i = 0, 1, 2, 3). Extrapolieren Sie diese Näherungswerte mit dem Extrapolationsverfahren aus §27 mit γ = 1.

Aufgabe 26: (6 Punkte) Ein Runge-Kutta-Verfahren m-ter Stufe für die AWA

y′ = f(x, y) , y(x_{0}) = y_{0}

lautet

η_{0} = y_{0}
η_{i+1} = η_{i} + hΦ(x_{i}, η_{i}, h) ,  i = 0, 1, 2, …

mit

Φ(x, y, h) = ∑_{i=1}^{m} γ_{i}k_{i}
k_{1} = f(x, y)
k_{i} = f (x + α_{i}h, ∑_{ℓ=1}^{i−1} β_{iℓ}k_{ℓ}) ,  i = 2, …, m
α_{i} = ∑_{ℓ=1}^{i−1} β_{iℓ} .

(a) Welche Verfahren ergeben sich für m = 1, γ_{1} = 1 bzw. für m = 2, β_{21} = 1, γ_{1} = γ_{2} = 1/2?

(b) Zeigen Sie: Das Runge-Kutta-Verfahren hat die Ordnung p = 1, falls ∑_{i=1}^{m} γ_{i} = 1.

(c) Welche Bedingungen für α_{i}, β_{iℓ}, γ_{i} müssen zusätzlich gelten, damit das Runge-Kutta-Verfahren die Ordnung p = 2 hat?

Aufgabe 27: (Programmieraufgabe) Die Lösung y(x) = (y_{1}(x), …, y_{n}(x))^{T} der AWA

(∗) y′(x) = f(x, y) , y(x_{0}) = y_{0} ∈ IR^{n}

soll im Intervall x_{0}, x_{e} in den Punkten

\begin{aligned}x_{i} & := & x_{0} + i · h , i = 1, …, m , \\ h & := & (x_{e} − x_{0})/m \end{aligned}

berechnet werden. Das zugehörige Hauptprogramm soll die beiden folgenden Unterprogramme benutzen:

(1) f(n, x, y, dy):

x: unabhängige Variable, y: n-Vektor der abhängigen Variablen, dy: Feld der Länge n;

dy enthält bei Verlassen der Routine die Werte f(x, y) der rechten Seite der Dgl. (∗)

(2) integ (n, x, h, y): x: unabhängige Variable, h: Schrittweite, y: n-Vektor der abhängigen Variablen;

y enthält beim Aufruf der Routine den Wert der Lösung im Punkte x und beim Verlassen den Wert der Lösung im Punkte x + h.

Im Unterprogramm integ soll das Unterprogramm f aufgerufen werden. integ: bedeutet \underline{wahlweise} das

(a) EULER-Verfahren (30.2),

(b) das modifizierte EULER-Verfahren (30.8),

(c) das RUNGE-KUTTA-Verfahren (30.9). Man teste das Programm an der AWA y′ = 1, y(0) = 0, n = 1, auf seine Richtigkeit. Dann integriere man die folgenden AWA’n: \underline{AWA 1:}

\begin{aligned}y′ & = & x + y & , & y(0) & = & 1 & , \\ x_{0} & = & 0. & , & x_{e} & = & 1. & , m = 1, 2, 4, 8 \end{aligned}

exakte Lösung: y(x) = 2e^{x} − (1 + x) .

\underline{AWA 2:} Räuber-Beute-Modell: (SCHWARZ, Seite 386)

\begin{aligned}ẋ & = & 10x(1 − y) & , & x(0) & = & 3 \\ ẏ & = & y(x − 1) & , & y(0) & = & 1 \\ t_{0} & = & 0. & , & t_{e} & = & 5. , m = 20, 50, 100 \end{aligned}

Man ermittle eine Schätzung für die Periode T_{0} > 0.

\underline{AWA 3:} Modell für Nervenimpulse: (vgl. Skizze auf Seite 4) Es bedeuten: x(t): Membranpotential y(t): Aktivierbarkeit der Nervenzelle Die zugehörige AWA lautet:

\begin{aligned}ẋ & = & 3(y + x − x^{3}/3 − 1.3) & , & x(0) & = & −1.03 \\ ẏ & = & −(x − 0.7 + 0.8y)/3 & , & y(0) & = & 2.16 \\ t_{0} & = & 0. , t_{e} = 30. & , & m & = & 60 \end{aligned}

Literatur: R. Seydel, R. Bulirsch,

Vom Regenbogen zum Farbfernsehen (1986), Springer Verlag.

Freiwillige Aufgabe: Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen, die man durch Verwendung kommerzieller Pakete erhält (z.B. IMSL, NAG, MAPLE, Mathematica). Nutzen Sie auch jeweils die grafischen Möglichkeiten.

Abgabe der Programmieraufgabe: Fr., 07.07.95

Klausurtermin: Dienstag, 11.07.95, 15^{oo} − 18^{oo} Uhr, M 1

Erlaubte Hilfsmittel: - Vorlesungsskripten Numerik I + II (in fest gebundener Form) - Taschenrechner

Übungen zur Vorlesung “Numerische Mathematik II”

Übungsblatt 9, Abgabe: 07.07.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 28: (4 Punkte) Man gebe mittels Taylor-Entwicklung ein Einschritt-Verfahren p-ter Ordnung an für die AWA y′ = x + y, y(0) = 1. Wie groß muß man p ∈ IN_{+} wählen, damit y(0.2) auf 4 Dezimalziffern korrekt berechnet wird bei Anwendung eines Schrittes mit x_{0} = 0, h = 0.2.

Aufgabe 29: (6 Punkte) Es sei η(x, h) die Näherungslösung, die das Euler-Verfahren für die AWA y′ = y, y(0) = 1 liefert.

(a) Zeigen Sie η(x, h) = (1 + h)^{x/h} und prüfen Sie die Konvergenz des Verfahrens.

(\underline{Hinweis:} Halten Sie h zunächst fest und beweisen Sie die obige Gleichung durch Induktion über n, wobei x = n · h. Halten Sie dann zum Beweis der Konvergenz x fest!)

(b) Zeigen Sie, daß η bei festem x eine für |h| < 1 konvergente Potenzreihe

η(x, h) = ∑_{i=0}^{∞} τ_{i}(x)h^{i}

besitzt mit von h unabhängigen Funktionen τ_{i}(x).

(c) Berechnen Sie τ_{0}(x), τ_{1}(x).

Aufgabe 30: (5 Punkte) Die Lösungen z_{j} der Differenzengleichung

z_{j+2} = z_{j+1} + z_{j} (j ≥ 0) , z_{0} = 0 , z_{1} = 1

sind die FIBONACCI-Zahlen.

(a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung z_{j+2} = z_{j+1}+z_{j} durch den Ansatz z_{j} = c_{1}λ_{1}^{j} + c_{2}λ_{2}^{j}, c_{1}, c_{2}, λ_{1}, λ_{2} ∈ IR. Bestimmen Sie dann die spezielle Lösung mit z_{0} = 0, z_{1} = 1.

(b) Die Kapazität eines Informationskanals ist gegeben durch

C = \begin{matrix}lim \\ j → ∞ \end{matrix} \frac{1}{j} log z_{j} .

Berechnen Sie C.

Klausurtermin: Dienstag, 11.07.95, 15^{oo} − 18^{oo} Uhr, M 1

Erlaubte Hilfsmittel: - Vorlesungsskripten Numerik I + II (in fest gebundener Form) - Taschenrechner