Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Vorklausur

Aufgabe 1:

1. Zeigen Sie, dass die Gaußsche Integrationsformel G_{n}p = ∫_{a}^{b} w(x)p(x)dx für alle Polynome ∈ P_{2n−1} exakt ist.

2. Warum gibt es keine Formel G_{n}, die in P_{2n} exakt ist?

Aufgabe 2: Führen Sie zwei Jacobi-Iterationen für

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} )

aus, und bestimmen Sie drei paarweise disjunkte Gerschgorin-Kreisscheiben, die je einen Eigenwert von A enthalten.

Aufgabe 3: Bestimmen Sie Stützstellen x_{1}, x_{2} und Gewichte A_{1}, A_{2}, so dass die Gauß-Cryer-Bronstering Quadraturformel

∫_{−1}^{1} x^{2}f(x)dx ≃ A_{1}f(x_{1}) + A_{2}f(x_{2})

für f ∈ P_{3} exakt ist.

Aufgabe 4:

(a) Sei x = (4, 3)^{T} ∈ ℝ^{2}. Bestimmen Sie eine Householder Matrix H, so daß

Hx = ( \begin{matrix}−σ \\ 0 \end{matrix} ) , mit σ ∈ ℝ

(b) Sei

A = A^{(1)} = ( \begin{matrix}−4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} )

Führen Sie einen Schritt des QR-Verfahrens (mit Hilfe der Householder- Matrizen) aus.

Aufgabe 5:

(a) Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangwertproblems

y′(x) = 1 − y^{2}, y(0) = 1

(b) Geben Sie den maximalen Existenzbereich [0, d), d ≤ ∞, der Lösung an.

(c) Skizzieren Sie die Lösung.

Aufgabe 6: Welche Bedingungen müssen a_{3}, a_{0}, b_{2}, b_{1} erfüllen, damit das lineare Mehrschnittverfahren

a_{3}y_{i+3} − a_{0}y_{i} = h(b_{2}f_{i+2} + b_{1}f_{i+1})

die Ordnung 2 besitzt?

Aufgabe 7: Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Geben Sie jeweils eine knappe Begründung.

(a) Die QR-Transformation läßt symmetrische Matrizen symmetrisch.

(b) Sei f ∈ C[−1, 1], If := ∫_{−1}^{1} f(x)dx, I_{n}f := ∑_{i=1}^{n} A_{i}f(x_{i}) = die Newton-Cotes-Formel zu

n äquidistanten Stützstellen in [−1, 1], dann I_{n}f ⟶^{n→∞} If.

(c) Es sei x ∈ ℝ^{n}, U ⊂ ℝ^{n} ein Teilraum, dann gibt es genau eine Bestapproximation u ∈ U zu x.

(d) Es gibt genau ein explizites Einschrittverfahren 2. Ordnung.

Aufgabe 8: Berechnen Sie zu x(t) = 1 + t^{5}, 0 ≤ t ≤ 1, eine Bestapproximation u ∈ Span {1, t}

(a) in L^{2}(0, 1)

(b) in C(0, 1)

Aufgabe 9:

(a) Definieren Sie die Begriffe Konsistenz, Stabilität und Konvergenz für ein lineares r-Schrittverfahren (ϱ, σ).

(b) Sei ξ ∈ ℂ eine Nullstelle von ϱ(z) = ∑_{i=0}^{r} a_{i}z^{i} mit |ξ| = 1. Zeigen Sie, daß y_{k} = ξ^{k} eine

Lösung der Differenzengleichung ∑_{i=0}^{r} a_{i}y_{i+k} = 0 ist.

(c) Zeigen Sie, daß wenn (ϱ, σ) ein konvergentes Verfahren und ϱ(ξ) = 0 für ein ξ ∈ ℂ, dann folgt |ξ| ≤ 1.

Aufgabe 10: Zeigen Sie, dass das Einschrittverfahren zur Lösung von y′ = f(x, y),

y_{i+1}^{h} = y_{i}^{h} + hf(x_{i} + \frac{h}{2}, y_{i}^{h} + \frac{h}{2}f(x_{i}, y_{i}^{h}))

die Ordnung 2 hat.

Aufgabe 11: Es sei

A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Es seien Ax = b, x^{(0)} ∈ ℝ^{2} beliebig, und {x^{(k)}} definiert durch

( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) x^{(k+1)} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) x^{(k)} + b,

k ≥ 0. Zeigen Sie, dass x^{(k)} → x für k → ∞.

Aufgabe 12: Sei A ∈ Mat(n, n, ℝ), und ϵ > 0. Zeigen Sie, dass es eine Vektornorm || · ||_{Δ} gibt, so dass

||A||_{Δ} := sup_{x≠0} \frac{||Ax||_{Δ}}{||x||_{Δ}} < ρ(A) + ϵ.