Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 8 , Abgabe: 22.06.00 , 13.00 Uhr

Aufgabe 28: (4 Punkte) Es werde das durch

η_{j+2} + a_{1}η_{j+1} + a_{0}η_{j} = h[b_{0}f(x_{j}, η_{j}) + b_{1}f(x_{j+1}, η_{j+1})]

gegebene Prediktor-Verfahren betrachtet.

1. Man bestimme a_{0}, b_{0} und b_{1} in Abhängigkeit von a_{1} so, daß man ein Verfahren mindestens 2. Ordnung erhält.

2. Für welche a_{1}-Werte ist das so gewonnene Verfahren stabil?

3. Welche speziellen Verfahren erhält man für a_{1} = 0 und a_{1} = −1 ?

4. Läßt sich a_{1} so wählen, daß man ein stabiles Verfahren 3. Ordnung bekommt ?

In Aufgaben 29 bis 31 betrachte man die Milne Methode (ein lineares Mehrschrittverfahren):

y_{n+2} − y_{n} = \frac{h}{3}(f_{n+2} + 4f_{n+1} + f_{n}).  (1)

Aufgabe 29: (2 Punkte) Überprüfen Sie ob die Milne Methode

1. stabil

2. konsistent

ist.

Aufgabe 30: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Ordnung der Milne Methode.

Aufgabe 31: (6 Punkte) Für die Gleichung

y′ = Ay

nimmt die Milne Methode die einfachere Form an

y_{n+2} − y_{n} = \frac{hA}{3}(y_{n+2} + 4y_{n+1} + y_{n}).  (2)

Seien ξ_{1} und ξ_{2} die Nullstellen von ρ(z) = 0.

1. Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung von (2)

y_{n}^{h} = a_{1}(λ_{1}(h))^{n} + a_{2}(λ_{2}(h))^{n}  (3)

ist, wobei a_{1} und a_{2} beliebige Konstanten sind, und λ_{1}(h) und λ_{2}(h) die Nullstellen des Polynoms

ρ(λ) − hAσ(λ) = 0

sind.

2. Bestimmen Sie μ_{1}, μ_{2} ∈ ℝ, so dass

λ_{1}(h) = ξ_{1}(1 + μ_{1}h) + O(h^{2})  (4)
λ_{2}(h) = ξ_{2}(1 + μ_{2}h) + O(h^{2})  (5)

3. Zeigen Sie, mit Hilfe von (3),(4) und (5), dass

y_{n}^{h} ≈ a_{1}e^{Ax_{n}} + a_{2}(−1)^{n}e^{−(Ax_{n})/3}

mit x_{n} := nh.