Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 7 , Abgabe: 08.06.00 , 13.00 Uhr

Aufgabe 25: (4 Punkte)

ρ(x) = x^{m} + ∑_{k=0}^{m−1} α_{k}x^{k}

erfülle 1. α_{0} ≠ 0

2. α_{k} ∈ ℤ

3. Alle Wurzeln ζ von ρ erfüllen die Bedingung |ζ| ≤ 1. Zeigen Sie, daß alle Wurzeln von ρ Einheitswurzeln sind, d.h. für jede Wurzel von ρ gibt es ein M ∈ ℕ mit ζ^{M} = 1. (Dieser Satz wird Kronecker zugewiesen.) Aufgabe 26: (4 Punkte) In der Vorlesung, und im Skript, wird das 3-Schritt Adams-Bashforth Verfahren hergeleitet. Bestimmen Sie auf ähnlicher Weise das 3-Schritt Adams-Moulton Verfahren. Aufgabe 27: (3+3+3+10 Punkte) Betrachten Sie das vereinfachte Hase-Luchs System

ẋ_{1} = x_{1} − x_{1}x_{2}  (1)
ẋ_{2} = −x_{2} + x_{1}x_{2}

oder, kurz,

ẋ = f(x).  (2)

1. Bestimmen Sie den nicht trivialen Ruhepunkt x^{(0)}.

2. In der Nähe von x^{(0)} kann die Gleichung (1) linearisiert werden:

ẏ = F (x^{(0)})y  (3)

wo x(t) = x^{(0)} + y(t) und F (x) die Jacobi-Matrix zu f(x) ist. Bestimmen Sie die Gleichung (3).

3. Mit dem Ansatz

y(t) = A( \begin{matrix}sin αt \\ cos αt \end{matrix} ),

A ∈ Mat(2 × 2, ℝ), bestimmen Sie die Lösung von (3) mit der Anfangsbedingung:

y(0) = y^{(0)} := (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2})^{T} .  (4)

Was ist die Periode dieser Lösung ?

4. Abgabe: 15.06.2000 Implementieren Sie das klassische Runge-Kutta Verfahren 4-ter Ordnung und benutzen Sie es, um die periodische Lösung der Anfangswertaufgabe

ẋ = f(x)
x(0) = x^{(0)} + y^{(0)}

zu berechnen. Bestimmen Sie die Periode mit einer Genauigkeit von mindestens 10^{−4}.