Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 6 , Abgabe: 02.06.00 , 13.00 Uhr

Aufgabe 21: (2+2 Punkte) Es sei A eine n×n obere Hessenberg-Matrix und A = QR, A′ = RQ die QR-Transformation von A. Zeigen Sie, daß

1. die Transformation mit O(n^{2}) Rechenschritten durchführbar ist.

2. A′ ebenfalls eine obere Hessenberg-Matrix ist.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Berechnen Sie zu

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

die QR-Transformation A′.

Aufgabe 23: (4 Punkte)

1. Bestimmen Sie per Hand eine Lösung des Anfangwertproblems

y′(x) = 2y^{2} − 8, y(0) = 1, 0 ≤ x

2. Geben Sie den maximalen Existenzbereich [0, d), d ≤ ∞, der Lösung an.

3. Skizzieren Sie die Lösung.

Aufgabe 24: (4 Punkte) A sei eine n × n reelle reguläre Matrix. Zeigen Sie, dass die QR Zerlegung von A = QR eindeutig ist, wobei Q eine orthogonale Matrix ist und R eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen.