Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 5 , Abgabe: 25.05.00 , 13.00 Uhr

Aufgabe 16: (4 Punkte) A sei eine n×n reelle symmetrische Matrix mit n paarweise unterschiedlichen Eigenwerten. A_{0} := A, und A_{1}, A_{2}, … werden durch das klassische Jacobi-Verfahren berechnet, wobei die Bedingung |φ_{k}| ≤ \frac{π}{4} eingehalten wird. Es ist bekannt (Skript) das S(A_{k}) → 0. Zeigen Sie:

1. a_{ij}^{(k)} → 0 für k → ∞ für 1 ≤ i < j ≤ n.

2. Die Eigenwerte können so numeriert werden, dass

a_{ii}^{(k)} → λ_{i}, für k → ∞, 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 17: (2 Punkte) Berechnen Sie von Hand die Eigenwerte und -vektoren von

A = ( \begin{matrix}3 & 1 & −1 \\ −2 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} )

mit dem charakteristischen Polynom.

Aufgabe 18: (2+2 Punkte)

1. Führen Sie zu

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} )

die ersten beiden klassischen Jacobi-Iterationen aus.

2. Bestimmen Sie anschließend 3 paarweise disjunkte Gerschgorin–Kreisscheiben.

Aufgabe 19: (4 Punkte) Wieviele Rechenoperationen müssen durchgeführt werden, um einen Schritt des Jacobi-Verfahrens, nach Rutishauser -siehe Skript S. 30, für eine symmetrische n × n Matrix durchzuführen (Additionen,Subtraktionen, Divisionen, Multiplikationen und Wurzel ziehen). Beweisen Sie Ihre Aussage.

Programmieraufgabe 20: Abgabe 01.06.00 (10 Punkte) Es sei

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 1 & −2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix} ) , x^{(0)} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Führen Sie, beginnend mit x^{(0)}, 100 Schritte der Vektoriteration zur Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes λ_{1} von A in Gleitkommaarithmethik durch. Bestimmen Sie dann einen approximativen Eigenvektor mit Hilfe inverser Vektoriteration.

Diplomarbeiten: Wer in absehbarer Zeit eine Diplomarbeit im numerischen Institut schreiben möchte, melde sich bitte bei Herrn Stypa, Zimmer 114, zwecks Vorbesprechung.