Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 4 , Abgabe: 18.05.00 , 13.00 Uhr

Aufgabe 12: (2 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 0 \\ −\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & i & 0 \\ 0 & −\frac{i}{2} & 5 & \frac{i}{2} \\ −1 & 0 & 0 & 5i \end{matrix} ) .

Benutzen Sie den Satz von Gerschgorin für A und A^{T}. Bestimmen Sie damit die beste Abschätzung der Eigenwerte von A.

Aufgabe 13: (7 Punkte)

1. Sei

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

Zeigen Sie, dass e = (1, 1, 1)^{T} ein Eigenvektor von A ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert. (1 Punkt)

2. Berechnen Sie mit Hilfe des charakteristischen Polynoms χ(A) die restlichen Eigenwerte und -vektoren. (2 Punkte)

3. Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und -vektoren von A mit

(a) Matlab, (2 Punkte)

(b) Mathematica. (2 Punkte)

Aufgabe 14: (5 Punkte) Sei A = xy^{H}, wobei x und y Vektoren aus ℂ^{n} sind, mit x ≠ 0 ≠ y. Zeigen Sie:

1. A besitzt höchstens einen von Null verschiedenen Eigenwert λ_{1} mit algebraischer Vielfachheit 1. (2 Punkte)

2. λ_{1} = y^{H}x. (1 Punkt)

3. x ist rechter und y ist linker Eigenvektor zu λ_{1} = y^{H}x. (1 Punkt)

4. Welche geometrische Vielfachheit besitzt der Eigenwert λ_{2} = 0 ? (1 Punkt)

Aufgabe 15: (5 Punkte)

1. A sei eine n × n reelle symmetrische Matrix, L eine normierte linke Dreiecksmatrix, D eine Diagonalmatrix, und

A = LDL^{T} .

Zeigen Sie, dass die Anzahl der negativen Eigenwerte von A gleich die Anzahl der negativen Eigenwerte von D ist. (Hinweis: Sylvesterscher Trägheitssatz)

2. Sei

A := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die LDL^{T} Zerlegung von A−μI für verschiedene μ ∈ ℤ, und bestimme dadurch μ_{i} ∈ ℤ, i = 1, 2, 3, so dass

μ_{1} < λ_{1} < μ_{2} < λ_{2} < μ_{3}

wobei λ_{1}, λ_{2} die Eigenwerte von A sind.