Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 3 , Abgabe: 11.05.00 , 13.00 Uhr

Die Gauß-Hermitesche Formel für n = 2 ist

∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}}f(x) dx ≈ A_{1}f(x_{1}) + A_{2}f(x_{2})  (1)

mit

A_{1} = A_{2} = 0, 886227,
x_{1} = −x_{2} = 0, 707107

und p_{2}(x) = (x − x_{1})(x − x_{2}) = x^{2} − \frac{1}{2}.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

1. Approximieren Sie mit der Formel (1) das Integral

∫_{−∞}^{∞} x^{6}e^{−x^{2}} dx.

2. Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler mit Hilfe der entsprechenden Fehlerformel an. (Skript Satz 3.4 (3))

3. Ermitteln Sie den exakten Fehler. Der exakten Wert des Integrals ist Γ(7/2).

Aufgabe 10: (5 Punkte) Betrachten Sie die Integrationsformel nach Gauß

∫_{a}^{b} ω(x)f(x)dx ≈ ∑_{k=1}^{m} a_{k}f(y_{k}) + ∑_{k=1}^{n} ω_{k}f(x_{k}),  (2)

wobei die Abszissen y_{k} vorab fest vorgeschrieben sind. Die m + 2n Konstanten a_{k}, ω_{k} und x_{k} sind so zu bestimmen, dass (2) exakt ist für Polynome mit Grad m + 2n − 1. Betrachten Sie die Polynome

r(x) = (x − y_{1})(x − y_{2}) ⋯ (x − y_{m}),
s(x) = (x − x_{1})(x − x_{2}) ⋯ (x − x_{n}).

Beweisen Sie folgenden Satz: Die Regel (2) ist exakt für alle Polynome mit Grad ≤ m + 2n − 1 genau dann, wenn 1. sie ist exakt für alle Polynome mit Grad ≤ m + n − 1,

2. ∫_{a}^{b} ω(x)r(x)s(x)p(x) dx = 0 für jedes Polynom p(x) vom Grad ≤ n − 1.

Programmieraufgabe 11: Abgabe 18.05.00 (10 Punkte) Benutzen Sie die zusammengesetzte Simpson-Regel mit 2m+1 äquidistanten Stützpunkten x_{0}, ⋯, x_{2m} mit h_{m} = \frac{b−a}{2m}, für m = 2^{k−1}, 1 ≤ k ≤ 10, um das Integral

I = ∫_{−4}^{4} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = 2 arctan 4

zu approximieren. Geben Sie folgendes ab:

1. Eine Auflistung Ihres Programmes,

2. Eine Tabelle des Fehlers F_{m} = I − I_{2}^{NC,m}

3. Einen Graph, z.B. mit gnuplot, von m gegenüber F_{m}/h_{m}^{5}. Führen Sie die Berechnungen mit doppelter Genauigkeit (double) aus.